Ортогональное дополнение - Orthogonal complement

В математических областях линейной алгебры и функционального анализ , то ортогональное дополнение из подпространства W из векторного пространства V , снабженное билинейная форма B есть множество W ^⊥ всех векторов в V , которые являются ортогональными к каждому вектору в W . Неформально это называется перп , сокращенно от перпендикулярного дополнения . Это подпространство V .

Пример

В случае, если W является подпространством (с обычным скалярным произведением ), натянутым на строки следующей матрицы, ${\ Displaystyle V = \ mathbb {R} ^ {5}}$

${\ displaystyle \ left ({\ begin {array} {cc | ccc} 1 & 0 & 2 & 3 & 5 \\ 0 & 1 & 6 & 9 & 3 \ end {array}} \ right)}$

его ортогональное дополнение W ^⊥ натянуто на три вектора-строки

${\ displaystyle \ left ({\ begin {array} {c | c | ccc} -2 & -6 & 1 & 0 & 0 \\ - 3 & -9 & 0 & 1 & 0 \\ - 5 & -3 & 0 & 0 & 1 \\\ end {array}} \ right).}$

Тот факт, что каждый вектор в первом списке ортогонален каждому вектору во втором списке, можно проверить прямым вычислением. Тот факт, что промежутки этих векторов ортогональны, следует из билинейности скалярного произведения. Наконец, тот факт, что эти пространства являются ортогональными дополнениями, следует из соотношений размерностей, приведенных ниже.

Общие билинейные формы

Пусть векторное пространство над полем , снабженным билинейной формой Определит быть слева ортогонально , а право-ортогонально , когда для подмножества из определения левого ортогонального дополнения быть ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle F}$ ${\ displaystyle B.}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle v}$${\ displaystyle v}$${\ displaystyle u,}$${\ Displaystyle B (u, v) = 0.}$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle V,}$${\ displaystyle W ^ {\ bot}}$

${\ displaystyle W ^ {\ bot} = \ left \ {x \ in V: B (x, y) = 0 {\ mbox {для всех}} y \ in W \ right \}.}$

Есть соответствующее определение правого ортогонального дополнения. Для рефлексивной билинейной формы , где подразумевается для всех и в левом и правом дополнениях совпадают. Это будет иметь место, если это симметричная или знакопеременная форма . ${\ Displaystyle В (и, v) = 0}$${\ displaystyle B (v, u) = 0}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle v}$${\ displaystyle V,}$${\ displaystyle B}$

Определение распространяется на билинейную форму на свободном модуле над коммутативным кольцом и на полуторалинейную форму, расширенную для включения любого свободного модуля над коммутативным кольцом с сопряжением .

Характеристики

• Ортогональное дополнение - это подпространство ;${\ displaystyle V}$
• Если тогда ;${\ Displaystyle X \ substeq Y}$${\ displaystyle X ^ {\ bot} \ supseteq Y ^ {\ bot}}$
• Радикал из является подпространством любого ортогонального дополнения;${\ displaystyle V ^ {\ bot}}$${\ displaystyle V}$
• ${\ Displaystyle W \ substeq (W ^ {\ bot}) ^ {\ bot}}$;
• Если есть невырожденная и конечномерен, то${\ displaystyle B}$${\ displaystyle V}$${\ Displaystyle \ тусклый (W) + \ тусклый (W ^ {\ bot}) = \ тусклый V.}$
• Если - подпространства конечномерного пространства и тогда${\ Displaystyle L_ {1}, \ ldots, L_ {r}}$${\ displaystyle V}$${\ Displaystyle L _ {*} = L_ {1} \ cap \ cdots \ cap L_ {r},}$${\ displaystyle L _ {*} ^ {\ bot} = L_ {1} ^ {\ bot} + \ cdots + L_ {r} ^ {\ bot}.}$

Внутренние пространства продукта

В этом разделе рассматриваются ортогональные дополнения в пространстве внутреннего продукта Два вектора и называются ортогональными, если это происходит тогда и только тогда, когда для всех скаляров Если это любое подмножество пространства внутреннего продукта, то его${\ displaystyle H.}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle \ langle x, y \ rangle = 0,}$${\ Displaystyle \ | х \ | \ Leq \ | х + sy \ |}$${\ displaystyle s.}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle H}$ ортогональным дополнением в${\ displaystyle H}$является векторное подпространство

$${\ displaystyle {\ begin {alignat} {4} C ^ {\ bot}: & = \ {x \ in H: \ langle x, c \ rangle = 0 {\ text {для всех}} c \ in C \ } \\ & = \ {x \ in H: \ langle c, x \ rangle = 0 {\ text {для всех}} c \ in C \} \ end {alignat}}}$$

которое всегда является замкнутым подмножеством того, что удовлетворяет, а если то также и Если является векторным подпространством внутреннего пространства продукта, то ${\ displaystyle H}$${\ displaystyle C ^ {\ bot} = \ left (\ operatorname {cl} _ {H} \ left (\ operatorname {span} C \ right) \ right) ^ {\ bot}}$${\ displaystyle C \ neq \ varnothing}$${\ displaystyle C ^ {\ bot} \ cap \ operatorname {cl} _ {H} \ left (\ operatorname {span} C \ right) = \ {0 \}}$${\ displaystyle \ operatorname {cl} _ {H} \ left (\ operatorname {span} C \ right) \ substeq \ left (C ^ {\ bot} \ right) ^ {\ bot}.}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle H}$

Если - замкнутое векторное подпространство гильбертова пространства, то ${\ displaystyle C}$${\ displaystyle H}$ где называется${\ displaystyle H = C \ oplus C ^ {\ bot}}$ортогональное разложение овии это означаетчтоэтодополняемое подпространствовс дополнением${\ displaystyle H}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle C ^ {\ bot}}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle C ^ {\ bot}.}$

Характеристики

Ортогональное дополнение всегда замкнуто в метрической топологии. В конечномерных пространствах это просто пример того факта, что все подпространства векторного пространства замкнуты. В бесконечномерных гильбертовых пространствах некоторые подпространства не замкнуты, но все ортогональные дополнения замкнуты. Если есть векторное подпространство из

внутреннего пространства продукта ортогонального дополнением ортогонального дополнения является замыкание в том , что есть, ${\ displaystyle W}$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle W,}$

$${\ displaystyle \ left (W ^ {\ bot} \ right) ^ {\ bot} = {\ overline {W}}.}$$

Вот некоторые другие полезные свойства, которые всегда сохраняются. Позвольте быть гильбертовым пространством и пусть и быть его линейными подпространствами. Затем: ${\ displaystyle H}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$

• ${\ displaystyle X ^ {\ bot} = {\ overline {X}} ^ {\ bot}}$;
• если тогда ;${\ Displaystyle Y \ substeq X}$${\ displaystyle X ^ {\ bot} \ substeq Y ^ {\ bot}}$
• ${\ displaystyle X \ cap X ^ {\ bot} = \ {0 \}}$;
• ${\ Displaystyle X \ substeq (X ^ {\ bot}) ^ {\ bot}}$;
• если - замкнутое линейное подпространство в then ;${\ displaystyle X}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle (X ^ {\ bot}) ^ {\ bot} = X}$
• если - замкнутое линейное подпространство, то (внутренняя)

прямая сумма .${\ displaystyle X}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle H = X \ oplus X ^ {\ bot},}$

Ортогональное дополнение обобщается на аннулятор и дает связь Галуа на подмножествах внутреннего пространства произведения, с ассоциированным оператором замыкания - топологическим замыканием диапазона.

Конечные размеры

Для конечномерного внутреннего продукта пространства размерности ортогональное дополнение к -мерному подпространству является -мерным подпространством, а двойное ортогональное дополнение является исходным подпространством: ${\ displaystyle n,}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle (nk)}$

$${\ displaystyle \ left (W ^ {\ bot} \ right) ^ {\ bot} = W.}$$

Если это матрица, где и ссылаться на

строки пространства , столбец пространство , и нуль - пространства из (соответственно), а затем ${\ displaystyle A}$${\ Displaystyle м \ раз п}$${\ displaystyle \ operatorname {Row} A,}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Col} A,}$${\ displaystyle \ operatorname {Null} A}$${\ displaystyle A}$

$${\ displaystyle \ left (\ operatorname {Row} A \ right) ^ {\ bot} = \ operatorname {Null} A \ qquad {\ text {and}} \ qquad \ left (\ operatorname {Col} A \ right) ^ {\ bot} = \ operatorname {Null} A ^ {\ operatorname {T}}.}$$

Банаховы пространства

Есть естественный аналог этого понятия в общих банаховых пространствах . В этом случае ортогональное дополнение к W определяется как подпространство двойственного к V, определяемого аналогично аннигилятору

${\ displaystyle W ^ {\ bot} = \ left \ {x \ in V ^ {*}: \ forall y \ in W, x (y) = 0 \ right \}.}$

Это всегда замкнутое подпространство в V ^∗ . Также существует аналог свойства двойного дополнения. W ^⊥⊥ теперь является подпространством в V ^∗∗ (которое не идентично V ). Однако рефлексивные пространства обладают естественным изоморфизмом i между V и V ^∗∗ . В этом случае мы имеем

${\ displaystyle i {\ overline {W}} = W ^ {\ bot \, \ bot}.}$

Это довольно прямое следствие теоремы Хана – Банаха .

Приложения

В специальной теории относительности ортогональное дополнение используется для определения одновременной гиперплоскости в точке мировой линии . Билинейная форма η, используемая в пространстве Минковского, определяет псевдоевклидово пространство событий. Начало координат и все события на световом конусе самоортогональны. Когда временное событие и космическое событие оцениваются равными нулю в билинейной форме, тогда они гиперболо-ортогональны . Эта терминология происходит от использования двух сопряженных гипербол в псевдоевклидовой плоскости: сопряженные диаметры этих гипербол являются гиперболо-ортогональными.

Смотрите также

• Дополненная решетка
• Дополненное подпространство
• Теорема проекции Гильберта
• Ортогональная проекция

Примечания

использованная литература

Список используемой литературы

• Адкинс, Уильям А .; Вайнтрауб, Стивен Х. (1992), Алгебра: подход через теорию модулей , Тексты для выпускников по математике , 136 , Springer-Verlag , ISBN 3-540-97839-9, Zbl  0768,00003
• Халмос, Пол Р. (1974), Конечномерные векторные пространства , Тексты для студентов по математике , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90093-3, Zbl  0288,15002
• Милнор, Дж . ; Хусемоллер, Д. (1973), Симметричные билинейные формы , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete , 73 , Springer-Verlag , ISBN 3-540-06009-Х, Zbl  0292,10016
• Рудин, Вальтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science / Engineering / Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277 .

внешние ссылки

• Ортогональное дополнение; Минута 9.00 в Youtube видео
• Обучающее видео с описанием ортогональных дополнений (Khan Academy)