Причина невосприимчивости -Casus irreducibilis

В алгебре , казус irreducibilis ( латинский для «неприводимого случая») является одним из случаев , которые могут возникнуть при попытке решить многочлены степени 3 или выше , с целыми коэффициентами, чтобы получить корни, которые экспрессируются с радикалами . Это показывает, что многие алгебраические числа являются действительными, но не могут быть выражены в радикалах без введения комплексных чисел. Наиболее примечательным случаем casus unducibilis является случай кубических многочленов, которые неприводимы ( не могут быть разложены на многочлены более низкой степени) над рациональными числами и имеют три действительных корня, что было доказано Пьером Ванцелем в 1843 году. данный неприводимый кубический многочлен in casus unducibilis используется дискриминант Δ по формуле Кардано . Пусть кубическое уравнение имеет вид

${\ displaystyle ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d = 0. \,}$

с ≠ 0. Тогда дискриминант, входящий в алгебраическое решение, имеет вид

${\ displaystyle \ Delta = 18abcd-4b ^ {3} d + b ^ {2} c ^ {2} -4ac ^ {3} -27a ^ {2} d ^ {2}. \,}$

• Если Δ <0 , то многочлен имеет два комплексных невещественных корня, поэтому casus unducibilis неприменим.
• Если Δ = 0 , то существует три действительных корня, причем два из них равны и могут быть найдены с помощью алгоритма Евклида и формулы корней квадратного уравнения . Все корни реальны и выражаются настоящими радикалами. Многочлен неприводимый.
• Если Δ > 0 , то существует три различных действительных корня. Либо рациональный корень существует, и его можно найти с помощью критерия рационального корня , и в этом случае кубический многочлен может быть разложен на произведение линейного многочлена и квадратичного многочлена, последний из которых может быть решен с помощью квадратичной формулы; или такая факторизация не может произойти, поэтому многочлен является casus unducibilis : все корни действительны, но для их выражения в радикалах требуются комплексные числа.

Официальное заявление и доказательство

В более общем смысле , предположит , что Р является формально вещественным полем , и что р ( х ) ∈ F [ х ] является кубическим полиномом, неприводит над F , но имеет три действительных корней (корни в реальном замыкании на F ). Тогда casus unducibilis утверждает, что невозможно найти какое-либо решение p ( x ) = 0 с помощью вещественных радикалов.

Чтобы доказать это, заметим, что дискриминант D положительный. Сформируйте расширение поля F ( √ D ) . Так как это F или квадратичное расширение из F ( в зависимости , в том или нет D представляет собой квадрат в F ), р ( х ) остается неприводимым в нем. Следовательно, группа Галуа из р ( х ) над F ( √ D ) представляет собой циклическую группу , С ₃ . Предположим, что p ( x ) = 0 решается вещественными радикалами. Тогда p ( x ) можно разбить башней циклических расширений

${\ displaystyle F \ subset F ({\ sqrt {D}}) \ subset F ({\ sqrt {D}}, {\ sqrt [{p_ {1}}] {\ alpha _ {1}}}) \ подмножество \ cdots \ subset K \ subset K ({\ sqrt [{3}] {\ alpha}})}$

На последнем шаге башни p ( x ) неприводима в предпоследнем поле K , но распадается в K ( ³ √ α ) для некоторого α . Но это расширение циклического поля, поэтому оно должно содержать примитивный корень из единицы .

Однако в реальном замкнутом поле нет примитивных 3-х корней из единицы. Предположим, что ω - примитивный корень третьей степени из единицы. Тогда по аксиомам, определяющим упорядоченное поле , все ω, ω ² и 1 положительны. Но если ω ² > ω, то кубирование обеих сторон дает 1> 1; противоречие; аналогично, если ω> ω ² .

Решение в ненастоящих радикалах

Решение Кардано

Уравнение ax ³ + bx ² + cx + d = 0 может быть сведено к моническому трехчлену путем деления на и замены x = t -${\ displaystyle a}$ б/3 а( преобразование Чирнхауза ), что дает уравнение t ³ + pt + q = 0, где

${\ displaystyle p = {\ frac {3ac-b ^ {2}} {3a ^ {2}}}}$

${\ displaystyle q = {\ frac {2b ^ {3} -9abc + 27a ^ {2} d} {27a ^ {3}}}.}$

Тогда, независимо от количества реальных корней, по решению Кардано три корня имеют вид

${\ displaystyle t_ {k} = \ omega _ {k} {\ sqrt [{3}] {- {q \ over 2} + {\ sqrt {{q ^ {2} \ over 4} + {p ^ { 3} \ более 27}}}}} + \ omega _ {k} ^ {2} {\ sqrt [{3}] {- {q \ over 2} - {\ sqrt {{q ^ {2} \ over 4} + {p ^ {3} \ over 27}}}}}}$

где ( к = 1, 2, 3) представляет собой кубический корень из 1 ( , , и , где я есть мнимая единица ). Здесь, если подкоренные выражения под кубическими корнями не являются действительными, кубические корни, выраженные радикалами, определяются как любая пара комплексно сопряженных кубических корней, в то время как, если они действительны, эти кубические корни определяются как действительные кубические корни. ${\ displaystyle \ omega _ {k}}$${\ displaystyle \ omega _ {1} = 1}$${\ displaystyle \ omega _ {2} = - {\ frac {1} {2}} + {\ frac {\ sqrt {3}} {2}} i}$${\ displaystyle \ omega _ {3} = - {\ frac {1} {2}} - {\ frac {\ sqrt {3}} {2}} i}$

Casus unducibilis возникает, когда ни один из корней не является рациональным и когда все три корня различны и реальны; случай трех различных действительных корней имеет место тогда и только тогда, когдаq ²/4 + стр. ³/27<0 , и в этом случае формула Кардано включает сначала извлечение квадратного корня из отрицательного числа, которое является мнимым , а затем извлечение кубического корня из комплексного числа (кубический корень сам по себе не может быть помещен в форму α + βi со специально заданным выражения в вещественных радикалах для α и β , поскольку для этого потребуется независимо решить исходную кубику). Даже в приводимом случае, когда один из трех действительных корней является рациональным и, следовательно, может быть выделен полиномиальным делением в длину , формула Кардано (без необходимости в данном случае) выражает этот корень (и другие) в терминах нереальных радикалов.

Пример

Кубическое уравнение

${\ displaystyle 2x ^ {3} -9x ^ {2} -6x + 3 = 0}$

является неприводимым, потому что, если бы его можно было разложить на множители, существовал бы линейный фактор, дающий рациональное решение, в то время как ни один из возможных корней, заданных проверкой рационального корня , на самом деле корнями не является. Поскольку его дискриминант положительный, он имеет три действительных корня, так что это пример casus unducibilis. Эти корни можно выразить как

${\ displaystyle t_ {k} = {\ frac {3- \ omega _ {k} {\ sqrt [{3}] {39-26i}} - \ omega _ {k} ^ {2} {\ sqrt [{ 3}] {39 + 26i}}} {2}}}$

для . Решения находятся в радикалах и содержат кубические корни комплексно сопряженных чисел. ${\ Displaystyle к \ в \ влево \ {1,2,3 \ вправо \}}$

Тригонометрическое решение в реальных величинах

Хотя casus unducibilis не может быть решен радикально в терминах реальных величин, он может быть решен тригонометрически в терминах реальных величин. В частности, депрессивное моническое кубическое уравнение решается с помощью ${\ displaystyle t ^ {3} + pt + q = 0}$

${\ displaystyle t_ {k} = 2 {\ sqrt {- {\ frac {p} {3}}}} \ cos \ left [{\ frac {1} {3}} \ arccos \ left ({\ frac { 3q} {2p}} {\ sqrt {\ frac {-3} {p}}} \ right) -k {\ frac {2 \ pi} {3}} \ right] \ quad {\ text {for}} \ quad k = 0,1,2 \ ,.}$

Эти решения выражаются в реальных количествах тогда и только тогда, когда - то есть тогда и только тогда, когда есть три действительных корня. Формула включает в себя начало с угла, косинус которого известен, деление угла пополам путем умножения его на 1/3, взятие косинуса полученного угла и поправку на масштаб. ${\ displaystyle {q ^ {2} \ over 4} + {p ^ {3} \ over 27} <0}$

Хотя косинус и обратная к нему функция (арккосинус) являются трансцендентными функциями , это решение является алгебраическим в том смысле, что оно является алгебраической функцией , эквивалентной трисекции углов . ${\ Displaystyle \ соз \ влево [\ arccos \ влево (х \ вправо) / 3 \ вправо]}$

Отношение к трисекции угла

Различие между приводимыми и неприводимыми кубическими случаями с тремя действительными корнями связано с вопросом о том, может ли угол быть тройным с помощью классических средств циркуля и немаркированной линейки . Для любого угла θ одна треть этого угла имеет косинус, который является одним из трех решений

${\ displaystyle 4x ^ {3} -3x- \ cos (\ theta) = 0.}$

Точно так же θ ⁄ 3 имеет синус, который является одним из трех реальных решений

${\ displaystyle 4y ^ {3} -3y + \ sin (\ theta) = 0.}$

В любом случае, если проверка рационального корня выявляет рациональное решение, x или y минус этот корень можно вычленить из многочлена в левой части, оставив квадратичный, который может быть решен для оставшихся двух корней в терминах квадратного корня. ; тогда все эти корни можно построить классически, поскольку они выражаются не более чем в квадратных корнях, поэтому, в частности, можно построить cos ( θ ⁄ 3 ) или sin ( θ ⁄ 3 ), а также связанный с ним угол θ ⁄ 3 . С другой стороны, если проверка рационального корня показывает, что рационального корня нет, то применяется casus unducibilis , cos ( θ ⁄ 3 ) или sin ( θ ⁄ 3 ) не могут быть построены, угол θ ⁄ 3 не является конструктивным и угол θ классически не делится на три части.

Например, в то время как угол 180 ° можно разделить пополам на три угла по 60 °, угол 60 ° нельзя разделить пополам с помощью только циркуля и линейки. Используя формулы тройного угла, можно увидеть, что cosπ/3= 4 x ³ - 3 x, где x = cos (20 °) . Перестановка дает 8 x ³ - 6 x - 1 = 0 , что не проходит проверку рационального корня, поскольку ни одно из рациональных чисел, предложенных теоремой, на самом деле не является корнем. Следовательно, минимальный многочлен cos (20 °) имеет степень 3, тогда как степень минимального многочлена любого конструктивного числа должна быть степенью двойки.

Выражение cos (20 °) в радикалах приводит к

${\ displaystyle \ cos \ left ({\ frac {\ pi} {9}} \ right) = {\ frac {{\ sqrt [{3}] {1-i {\ sqrt {3}}}} + { \ sqrt [{3}] {1 + i {\ sqrt {3}}}}} {2 {\ sqrt [{3}] {2}}}}}$

который включает извлечение кубического корня из комплексных чисел. Обратите внимание на сходство с e ^{iπ / 3} =1+ я √ 3/2и e ^{−iπ / 3} =1− я √ 3/2.

Связь между рациональными корнями и тройностью также может быть распространена на некоторые случаи, когда синус и косинус данного угла иррациональны. Рассмотрим в качестве примера случай, когда заданный угол 3θ является углом при вершине правильного пятиугольника, многоугольника, который можно построить классическим способом . Для этого угла 5θ равен 180 °, и стандартные тригонометрические тождества дают

${\ Displaystyle \ соз (3 \ тета) + \ соз (\ тета) = 2 \ соз (\ тета) \ соз (2 \ тета) = - 2 \ соз (\ тета) \ соз (3 \ тета)}$

таким образом

${\ Displaystyle \ соз (\ тета) = - \ соз (3 \ тета) / (1 + 2 \ соз (3 \ тета)).}$

Косинус тройного угла отображается как рациональное выражение в терминах косинуса данного угла, поэтому угол при вершине правильного пятиугольника может быть разрезан на три части (механически, просто нарисовав диагональ).

Обобщение

Casus unducibilis можно обобщить на многочлены более высокой степени следующим образом. Пусть p  ∈  F [ x ] - неприводимый многочлен, который распадается в формально вещественном расширении R поля F (т. Е. P имеет только действительные корни). Предположим, что p имеет корень, в котором расширение F радикалами. Тогда степень р является степенью 2, а его поле расщепления является итерированным квадратичным расширением F . ${\ displaystyle K \ substeq R}$

Таким образом, для любого неприводимого многочлена, степень которого не является степенью двойки и у которого все корни действительны, ни один корень не может быть выражен только в терминах вещественных радикалов. Более того, если степень полинома является степенью двойки и все корни действительны, то, если есть корень, который может быть выражен в действительных радикалах, он может быть выражен в терминах квадратных корней, а не корней более высокой степени, как может другие корни, и поэтому корни классически конструктивны .

Причина неприводимости для многочленов пятой степени обсуждается Даммитом.

Отношение к пентасекции (квинтисекции) и выше

Различие между приводимыми и неприводимыми квинтическими случаями с пятью действительными корнями связано с вопросом о том, может ли угол с рациональным косинусом или рациональным синусом быть пентасборным (может быть разделен на пять равных частей) с помощью классических средств компаса и без меток. прямая грань. Для любого угла θ одна пятая этого угла имеет косинус, который является одним из пяти действительных корней уравнения

${\ displaystyle 16x ^ {5} -20x ^ {3} + 5x- \ cos (\ theta) = 0.}$

Так же, θ/5 имеет синус, который является одним из пяти действительных корней уравнения

${\ displaystyle 16y ^ {5} -20y ^ {3} + 5y- \ sin (\ theta) = 0.}$

В любом случае, если проверка рационального корня дает рациональный корень x ₁ , то квинтика приводима, поскольку ее можно записать как множитель ( x — x ₁ ), умноженный на многочлен четвертой степени . Но если проверка показывает, что рационального корня нет, то многочлен может быть неприводимым, и в этом случае применяется casus unducibilis , cos ( θ ⁄ 5 ) и sin ( θ ⁄ 5 ) не могут быть построены, угол θ ⁄ 5 не является конструктивным. конструктивно, а угол θ не поддается классическому пятиугольнику. Примером этого является попытка построить 25-угольник (икосипентагон) с помощью циркуля и линейки. В то время как пятиугольник относительно легко построить, 25-угольник требует пентасектора угла, поскольку минимальный многочлен для cos (14,4 °) имеет степень 10:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ cos \ left ({\ frac {2 \ pi} {5}} \ right) & = {\ frac {{\ sqrt {5}} - 1} {4}} \ \ 16x ^ {5} -20x ^ {3} + 5x + {\ frac {1 - {\ sqrt {5}}} {4}} & = 0 \ qquad \ qquad x = \ cos \ left ({\ frac { 2 \ pi} {25}} \ right) \\ 4 \ left (16x ^ {5} -20x ^ {3} + 5x + {\ frac {1 - {\ sqrt {5}}} {4}} \ right ) \ left (16x ^ {5} -20x ^ {3} + 5x + {\ frac {1 + {\ sqrt {5}}} {4}} \ right) & = 0 \\ 4 \ left (16x ^ { 5} -20x ^ {3} + 5x \ right) ^ {2} +2 \ left (16x ^ {5} -20x ^ {3} + 5x \ right) -1 & = 0 \\ 1024x ^ {10} - 2560x ^ {8} + 2240x ^ {6} + 32x ^ {5} -800x ^ {4} -40x ^ {3} + 100x ^ {2} + 10x-1 & = 0. \ End {выровнено}}}$

Таким образом,

${\ displaystyle {\ begin {align} e ^ {2 \ pi i / 5} & = {\ frac {-1 + {\ sqrt {5}}} {4}} + {\ frac {\ sqrt {10+) 2 {\ sqrt {5}}}} {4}} i \\ e ^ {- 2 \ pi i / 5} & = {\ frac {-1 + {\ sqrt {5}}} {4}} - {\ frac {\ sqrt {10 + 2 {\ sqrt {5}}}} {4}} i \\\ cos \ left ({\ frac {2 \ pi} {25}} \ right) & = {\ гидроразрыв {{\ sqrt [{5}] {- 1 + {\ sqrt {5}} - i {\ sqrt {10 + 2 {\ sqrt {5}}}}}} + {\ sqrt [{5}] {-1 + {\ sqrt {5}} + i {\ sqrt {10 + 2 {\ sqrt {5}}}}}}} {2 {\ sqrt [{5}] {4}}}}. \ конец {выровнен}}}$

Примечания

использованная литература

• Кокс, Дэвид А. (2012), Теория Галуа , чистая и прикладная математика (2-е изд.), John Wiley & Sons, DOI : 10.1002 / 9781118218457 , ISBN 978-1-118-07205-9. См., В частности, раздел 1.3 Кубические уравнения над действительными числами (стр. 15–22) и раздел 8.6 «Casus Irreducibilis» (стр. 220–227).
• ван дер Варден, Бартель Леендерт (2003), Современная алгебра I , Ф. Блюм, Дж. Р. Шуленберг, Springer, ISBN 978-0-387-40624-4

внешние ссылки

• casus irducibilis в PlanetMath .