Проблема Шенфлиса - Schoenflies problem

В математике , то проблема Шенфлиса или теорема Шенфлиса , из геометрической топологии является заострением теоремы Жордана по Артуре Шёнфлис . Для жордановых кривых на плоскости это часто называют теоремой Жордана – Шенфлиса.

Оригинальная рецептура

Исходная формулировка проблемы Шенфлиса гласит, что не только каждая простая замкнутая кривая на плоскости разделяет плоскость на две области: одну («внутреннюю») ограниченную, а другую («внешнюю») - неограниченную; но также и то, что эти две области гомеоморфны внутренней и внешней сторонам стандартного круга на плоскости.

Альтернативное утверждение состоит в том, что если это простая замкнутая кривая, то существует такой гомеоморфизм , что это единичная окружность на плоскости. Элементарные доказательства можно найти у Ньюмана (1939) , Кэрнса (1951) , Моиса (1977) и Томассена (1992) . Сначала результат может быть доказан для многоугольников, когда гомеоморфизм можно рассматривать как кусочно-линейный и тождественное отображение на некотором компакте; случай непрерывной кривой затем выводится путем аппроксимации многоугольниками. Теорема также является непосредственным следствием теоремы Каратеодори о продолжении для конформных отображений , как обсуждалось в Pommerenke (1992 , p. 25). ${\ Displaystyle С \ подмножество \ mathbb {R} ^ {2}}$ ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {2} \ to \ mathbb {R} ^ {2}}$ ${\ displaystyle f (C)}$

Если кривая гладкая, то гомеоморфизм можно выбрать как диффеоморфизм . Доказательства в этом случае опираются на приемы дифференциальной топологии . Хотя прямые доказательства возможны (начиная, например, с многоугольного случая), существование диффеоморфизма также можно вывести с помощью теоремы о гладком отображении Римана для внутренней и внешней части кривой в сочетании с уловкой Александера для диффеоморфизмов окружности и результат о гладкой изотопии из дифференциальной топологии.

Такая теорема верна только в двух измерениях. В трех измерениях есть контрпримеры, такие как рогатая сфера Александра . Хотя они разделяют пространство на две области, эти области настолько скручены и скручены, что не гомеоморфны внутри и снаружи нормальной сферы.

Доказательства теоремы Жордана – Шенфлиса.

Для гладких или ломаных кривых теорема о жордановой кривой доказывается несложно. Действительно, кривая имеет трубчатую окрестность , определяемую в гладком случае полем единичных нормальных векторов к кривой или в многоугольном случае точками на расстоянии менее ε от кривой. В окрестности дифференцируемой точки на кривой происходит изменение координат, при котором кривая становится диаметром открытого диска. Взяв точку не на кривой, прямая линия, направленная на кривую, начинающуюся в этой точке, в конечном итоге встретится с трубчатой окрестностью; путь можно продолжить рядом с кривой, пока она не встретится с диском. Он встретит его с той или иной стороны. Это доказывает, что дополнение к кривой имеет не более двух компонент связности. С другой стороны, используя интегральную формулу Коши для числа витков , можно видеть, что число витков постоянно на связанных компонентах дополнения кривой, равно нулю вблизи бесконечности и увеличивается на 1 при пересечении кривой. Следовательно, кривая имеет ровно две компоненты: внутреннюю и неограниченную. То же рассуждение работает для кусочно дифференцируемой жордановой кривой.

Полигональная кривая

Для простой замкнутой многоугольной кривой на плоскости кусочно-линейная теорема Жордана – Шенфлиса утверждает, что существует кусочно-линейный гомеоморфизм плоскости с компактной опорой, переносящий многоугольник на треугольник и переносящий внутреннюю и внешнюю части одного на внутреннюю часть. и внешность другого.

Внутренняя часть многоугольника может быть триангулирована маленькими треугольниками, так что края многоугольника образуют ребра некоторых маленьких треугольников. Кусочно-линейные гомеоморфизмы могут быть составлены из специальных гомеоморфизмов, полученных путем удаления ромба с плоскости и взятия кусочно-аффинного отображения, фиксируя края ромба, но перемещая одну диагональ в V-образную форму. Композиции гомеоморфизмов такого типа порождают кусочно линейные гомеоморфизмы компактного носителя; они фиксируют внешнюю часть многоугольника и действуют аффинным образом при триангуляции внутренней части. Простой индуктивный аргумент показывает, что всегда можно удалить свободный треугольник, для которого пересечение с границей представляет собой связное множество, состоящее из одного или двух ребер, оставив простой замкнутый жорданов многоугольник. Специальные гомеоморфизмы, описанные выше или их обратные, обеспечивают кусочно-линейные гомеоморфизмы, которые переносят внутренность большего многоугольника на многоугольник с удаленным свободным треугольником. Итерируя этот процесс, следует, что существует кусочно линейный гомеоморфизм компактного носителя, переносящий исходный многоугольник на треугольник.

Поскольку гомеоморфизм получается составлением конечного числа гомеоморфизмов плоскости компактного носителя, отсюда следует, что кусочно-линейный гомеоморфизм в формулировке кусочно-линейной теоремы Жордана-Шенфлиса имеет компактный носитель.

Как следствие, отсюда следует, что любой гомеоморфизм между простыми замкнутыми многоугольными кривыми продолжается до гомеоморфизма между их внутренностями. Для каждого многоугольника существует гомеоморфизм данного треугольника на замыкание их внутренней части. Три гомеоморфизма дают единственный гомеоморфизм границы треугольника. С помощью уловки Александера этот гомеоморфизм можно продолжить до гомеоморфизма замыкания внутренности треугольника. Обращая этот процесс вспять, этот гомеоморфизм дает гомеоморфизм между замыканиями внутренностей ломаных.

Непрерывная кривая

Теорема Жордана-Шенфлиса для непрерывных кривых может быть доказана с помощью теоремы Каратеодори о конформном отображении . Он утверждает, что отображение Римана между внутренней частью простой жордановой кривой и открытым единичным кругом непрерывно продолжается до гомеоморфизма между их замыканиями, гомеоморфно отображая жордановую кривую на единичную окружность. Чтобы доказать теорему, теорему Каратеодори можно применить к двум областям на сфере Римана, определяемым жордановой кривой. Это приведет к гомеоморфизму между их замыканиями и замкнутыми дисками | z | ≤ 1 и | z | ≥ 1. Гомеоморфизмы от жордановой кривой до окружности будут отличаться гомеоморфизмом окружности, который можно продолжить до единичного круга (или его дополнения) с помощью уловки Александера . Композиция с этим гомеоморфизмом даст пару гомеоморфизмов, которые совпадают на жордановой кривой и, следовательно, определяют гомеоморфизм сферы Римана, переносящей жордановую кривую на единичную окружность.

Непрерывный случай также может быть выведен из многоугольного случая, аппроксимируя непрерывную кривую многоугольником. Теорема Жордана впервые была получена этим методом. Жорданова кривая задается непрерывной функцией на единичной окружности. Он и обратная функция от его изображения обратно к единичной окружности равномерно непрерывны . Таким образом, разделив круг на достаточно маленькие интервалы, на кривой будут такие точки, что отрезки линии, соединяющие соседние точки, лежат близко к кривой, скажем, на ε. Вместе эти отрезки образуют многоугольную кривую. Если он имеет самопересечения, они также должны образовывать многоугольные петли. Стирание этих петель приводит к получению многоугольной кривой без самопересечений, которая все еще находится близко к кривой; некоторые из его вершин могут не лежать на кривой, но все они лежат в окрестности кривой. Ломаная делит плоскость на две области, одна ограниченной области U и одной неограниченной области V . И U, и V ∪ ∞ являются непрерывными образами замкнутого единичного диска. Поскольку исходная кривая содержится в небольшой окрестности многоугольной кривой, объединение изображений немного меньших концентрических открытых дисков полностью пропускает исходную кривую, и их объединение исключает небольшую окрестность кривой. Одно из изображений представляет собой ограниченное открытое множество, состоящее из точек, вокруг которых кривая имеет виток номер один; другой - неограниченное открытое множество, состоящее из точек с нулевым числом витков. Повторение для последовательности значений ε, стремящихся к 0, приводит к объединению открытых линейно связанных ограниченных множеств точек обмотки номер один и объединению открытых линейно связанных неограниченных множеств с номером обмотки ноль. По построению эти два непересекающихся открытых линейно связных множества заполняют дополнение кривой на плоскости.

Гексагональная мозаика плоскости: если встречаются 2 шестиугольника, у них должно быть общее ребро

Стандартная кладка на плоскость кирпичной кладки

Учитывая теорему Жордана о кривой, теорему Жордана-Шенфлиса можно доказать следующим образом.

Первый шаг - показать, что плотный набор точек кривой доступен изнутри кривой, т. Е. Они находятся в конце отрезка прямой, полностью лежащего внутри кривой. Фактически, данная точка на кривой произвольно близка к некоторой точке внутри, и есть наименьший замкнутый диск вокруг этой точки, который пересекает кривую только на ее границе; эти граничные точки близки к исходной точке на кривой и по конструкции доступны.
Второй шаг - доказать, что для заданного конечного числа доступных точек A _i на кривой, соединенных с отрезками A _i B _i внутри, существуют непересекающиеся многоугольные кривые внутри с вершинами на каждом отрезке, расстояние до которых исходная кривая произвольно мала. Для этого требуется мозаика плоскости равномерно маленькими плитками, так что если две плитки встречаются, у них есть общая сторона или сегмент стороны: примерами являются стандартная шестиугольная мозаика ; или стандартная облицовка кирпичной кладкой прямоугольниками или квадратами с обычными или натяжными связями. Достаточно построить ломаную дорогу так, чтобы расстояние от нее до жордановой кривой было сколь угодно малым. Сориентируйте мозаику так, чтобы ни одна сторона плитки не была параллельна любому A _i B _i . Размер плитки можно принять сколь угодно маленьким. Возьмем объединение всех замкнутых плиток, содержащих хотя бы одну точку жордановой кривой. Его граница состоит из непересекающихся ломаных кривых. Если размер плиток достаточно мал, концы B _i будут находиться внутри ровно одной из многоугольных граничных кривых. Расстояние от нее до жордановой кривой меньше двух диаметров плиток, поэтому оно произвольно мало.
Третий шаг - доказать, что любой гомеоморфизм f между кривой и данным треугольником может быть расширен до гомеоморфизма между замыканиями их внутренностей. Фактически возьмем последовательность ε ₁ , ε ₂ , ε ₃ , ..., убывающую до нуля. Выберем конечное число точек A _i на жордановой кривой Γ с последовательными точками на расстоянии менее ε ₁ . Выполните построение второго шага с плитками диаметром меньше ε ₁ и возьмем C _i в качестве точек ломаной Γ _1, пересекающих A _i B _i . Возьмем точки f ( A _i ) на треугольнике. Зафиксируем начало в треугольнике Δ и масштабируем треугольник, чтобы получить меньшее Δ ₁ на расстоянии менее ε ₁ от исходного треугольника. Пусть D _i - точки на пересечении радиуса через f ( A _i ) и меньшего треугольника. Существует кусочно линейный гомеоморфизм F ₁ ломаной на меньший треугольник, переносящий C _i на D _i . По теореме Жордана-Шенфлиса он продолжается до гомеоморфизма F ₁ между замыканием их внутренностей. Теперь проделаем то же самое для ε ₂ с новым набором точек на жордановой кривой. Это создаст второй многоугольный путь Γ ₂ между Γ ₁ и Γ. Точно так же есть второй треугольник Δ ₂ между Δ ₁ и Δ. Отрезки для доступных точек на Γ делят многоугольную область между Γ ₂ и Γ ₁ на объединение многоугольных областей; аналогично для радиусов для соответствующих точек на Δ делит область между Δ ₂ и Δ ₁ на объединение многоугольных областей. Гомеоморфизм F ₁ может быть расширен до гомеоморфизмов между различными многоугольниками, согласовав общие ребра (отрезки на отрезках или радиусах). По многоугольной теореме Жордана-Шенфлиса каждый из этих гомеоморфизмов продолжается во внутреннюю часть многоугольника. Вместе они дают гомеоморфизм F ₂ замыкания внутренности Γ ₂ на замыкание внутренности Δ ₂ ; F ₂ расширяет F ₁ . Продолжение этого пути дает многоугольные кривые Γ _n и треугольники Δ _n с гомомеоморфизмом F _n между замыканиями их внутренних частей; F _n расширяет F _{n - 1} . Области внутри Γ _n увеличиваются до области внутри Γ; а треугольники Δ _n увеличиваются до Δ. Гомеоморфизмы F _n соединяются вместе, чтобы получить гомеоморфизм F из внутренней части Γ на внутреннюю часть ∆. По построению он имеет предел f на граничных кривых Γ и Δ. Следовательно, F - требуемый гомеоморфизм.
Четвертый шаг - доказать, что любой гомеоморфизм между жордановыми кривыми может быть расширен до гомеоморфизма между замыканиями их внутренностей. По результату третьего шага достаточно показать, что любой гомеоморфизм границы треугольника продолжается до гомеоморфизма замыкания его внутренности. Это следствие уловки Александра. (Уловка Александера также устанавливает гомеоморфизм между твердым треугольником и замкнутым кругом: гомеоморфизм - это просто естественное радиальное расширение проекции треугольника на его описанную окружность относительно его центра описанной окружности.)
Последний шаг - доказать, что для данных двух жордановых кривых существует гомеоморфизм плоскости компактной опоры, переносящей одну кривую на другую. Фактически каждая жорданова кривая лежит внутри одного и того же большого круга, а внутри каждого большого круга есть радиусы, соединяющие две диагонально противоположные точки с кривой. Каждая конфигурация делит плоскость на внешнюю часть большого круга, внутреннюю часть жордановой кривой и область между ними на две ограниченные области, ограниченные жордановыми кривыми (образованными двумя радиусами, полукругом и одной из половин жордановой кривой). изгиб). Возьмем тождественный гомеоморфизм большого круга; кусочно-линейные гомеоморфизмы двух пар радиусов; и гомеоморфизм между двумя парами половин жордановых кривых, заданный линейной репараметризацией. Четыре гомеоморфизма соединяются вместе на граничных дугах, чтобы получить гомеоморфизм плоскости, заданной тождеством на большом круге и переносящим одну жордановую кривую на другую.

Плавная кривая

Доказательства в гладком случае зависят от нахождения диффеоморфизма между внутренним / внешним видом кривой и замкнутым единичным кругом (или его дополнением в расширенной плоскости). Это может быть решено, например, с помощью теоремы о гладком отображении Римана , для которой доступен ряд прямых методов, например, с помощью задачи Дирихле на кривой или ядер Бергмана . (Такие диффеоморфизмы будут голоморфны внутри и снаружи кривой; более общие диффеоморфизмы можно легче построить с помощью векторных полей и потоков.) Если рассматривать гладкую кривую как лежащую внутри расширенной плоскости или 2-сферы, эти аналитические методы дают гладкую отображает до границы между замыканием внутренней / внешней гладкой кривой и замкнутой окружности. Два отождествления гладкой кривой и единичной окружности будут отличаться диффеоморфизмом единичной окружности. С другой стороны, диффеоморфизм $f$ единичной окружности продолжается до диффеоморфизма $F$ единичного круга расширением Александера :

{\ Displaystyle \ Displaystyle {F (re ^ {я \ тета}) = г \ ехр [я \ пси (г) г (\ тета) + я (1- \ пси (г)) \ тета],}}

где $ψ$ - гладкая функция со значениями в [0,1], равными 0 около 0 и 1 около 1, и $f (e i θ) = e ig (θ)$ , причем $g (θ + 2π) = g (θ ) + 2π$ . Составление одного из диффеоморфизмов с расширением Александера позволяет соединить два диффеоморфизма вместе, чтобы получить гомеоморфизм 2-сферы, который ограничивается диффеоморфизмом на замкнутом единичном круге и замыканиями его дополнения, которое он переносит на внутреннюю и внешнюю части. исходной гладкой кривой. По теореме изотопии в дифференциальной топологии гомеоморфизм может быть приведен в соответствие с диффеоморфизмом на всей 2-сфере, не изменяя его на единичной окружности. Затем этот диффеоморфизм обеспечивает гладкое решение проблемы Шенфлиса.

Теорема Жордана-Шенфлиса может быть получена с помощью дифференциальной топологии . Фактически это непосредственное следствие классификации с точностью до диффеоморфизма гладких ориентированных двумерных многообразий с краем, как описано в Hirsch (1994) . Действительно, гладкая кривая делит 2-сферу на две части. По классификации каждая из них диффеоморфна единичному кругу и - с учетом теоремы об изотопии - склеена диффеоморфизмом границы. По уловке Александера такой диффеоморфизм распространяется на сам диск. Таким образом, существует диффеоморфизм 2-сферы, переносящий гладкую кривую на единичную окружность.

С другой стороны, диффеоморфизм также может быть построен непосредственно с использованием теоремы Жордана-Шенфлиса для многоугольников и элементарных методов из дифференциальной топологии, а именно потоков, определяемых векторными полями. Когда жорданова кривая является гладкой (параметризованной длиной дуги), единичные нормальные векторы дают отличное от нуля векторное поле X ₀ в трубчатой окрестности U ₀ кривой. Возьмем многоугольную кривую внутри кривой близко к границе и поперек кривой (в вершинах векторное поле должно находиться строго в пределах угла, образованного краями). По кусочно-линейной теореме Жордана – Шенфлиса существует кусочно линейный гомеоморфизм, аффинный на подходящей триангуляции внутренней части многоугольника, переводящий многоугольник в треугольник. Возьмите внутреннюю точку P в одном из маленьких треугольников триангуляции. Он соответствует точке Q на изображении треугольника. Существует радиальное векторное поле на треугольнике изображения, образованное из прямых линий , указывающих в направлении Q . Это дает серию линий в маленьких треугольниках, составляющих многоугольник. Каждый определяет векторное поле X _i в окрестности U _i замыкания треугольника. Каждое векторное поле поперечно сторонам, при условии, что Q выбрано в «общем положении», так что оно не коллинеарно ни одному из конечного числа ребер в триангуляции. Сдвигая, если необходимо, можно предположить, что P и Q находятся в нуле. На треугольнике, содержащем P, векторное поле можно принять за стандартное радиальное векторное поле. Точно так же ту же процедуру можно применить к внешней стороне гладкой кривой после применения преобразования Мёбиуса, чтобы отобразить ее в конечную часть плоскости и ∞ в 0. В этом случае окрестности U _i треугольников имеют отрицательные индексы. Возьмем векторные поля X _i со знаком минус, направленным от бесконечно удаленной точки. Вместе U ₀ и U _i с i ≠ 0 образуют открытую оболочку 2-сферы. Возьмем гладкое разбиение единицы ψ _i, подчиненное покрытию U _i, и положим

{\ displaystyle \ displaystyle {X = \ sum \ psi _ {i} \ cdot X_ {i}.}}

X - гладкое векторное поле на двух сферах, исчезающее только в точках 0 и ∞. Он имеет индекс 1 в 0 и -1 в ∞. Вблизи 0 векторное поле равно радиальному векторному полю, направленному в сторону 0. Если α _t - плавный поток, определяемый X , точка 0 - точка притяжения, а ∞ - точка отталкивания. Когда t стремится к + ∞, поток отправляет указывает на 0; а когда t стремится к –∞, точки отправляются на ∞. Замена X на ф ⋅ X с ф гладкого положительной функцией, изменяет параметризацию интегральных кривых в X , а не интегральный кривой сам. При соответствующем выборе f, равного 1, вне малого кольца около 0, все интегральные кривые, начинающиеся в точках гладкой кривой, будут достигать меньшего круга, ограничивающего кольцо в то же время s . Таким образом, диффеоморфизм α _s переносит гладкую кривую на эту малую окружность. Масштабирующее преобразование, фиксирующее 0 и ∞, затем переносит маленький кружок на единичный круг. Составление этих диффеоморфизмов дает диффеоморфизм, переносящий гладкую кривую на единичную окружность.

Обобщения

Существует многомерное обобщение, полученное Мортоном Брауном ( 1960 ) и независимо Барри Мазуром ( 1959 ) с Морсом (1960) , которое также называют обобщенной теоремой Шенфлиса . Она утверждает , что, если ( п - 1) -мерная сфера S вкладывается в п - мерной сферы S ^п в локально плоском пути (то есть, вложение распространяется на том , что из утолщенной области), то пара ( S ⁿ , S ) гомеоморфна паре ( S ⁿ , S ^{n −1} ), где S ^{n −1} - экватор n -сферы. Браун и Мазур получили премию Веблена за свой вклад. Доказательства Брауна и Мазура считаются «элементарными» и используют индуктивные аргументы.

Проблема Шенфлиса может быть поставлена в категориях, отличных от топологически локально плоской категории, т.е. ограничивает ли гладко (кусочно-линейно) вложенная ( n - 1) -сфера в n -сферу гладкий (кусочно-линейный) n- шар? При n = 4 проблема остается открытой для обеих категорий. См. Коллектор Мазура . При n ≥ 5 вопрос в гладкой категории имеет положительный ответ и следует из теоремы о h-кобордизме .

Languages

In other projects