Самолет (геометрия) - Plane (geometry)

Уравнение плоскости в нормальной форме

В математике , А плоскость является плоской , двух- мерной поверхностью , которая простирается бесконечно далеко. Самолет представляет собой двумерный аналог из точки (нулевых размеров), A линии (одно измерения) и трехмерное пространство . Плоскости могут возникать как подпространства некоторого многомерного пространства, например, с одной из стен комнаты, бесконечно протяженной, или они могут наслаждаться независимым существованием самостоятельно, как в условиях евклидовой геометрии .

При работе исключительно в двумерном евклидовом пространстве , определенный артикль используется, поэтому самолет относится ко всему пространству. Многие фундаментальные задачи математики, геометрии , тригонометрии , теории графов и построения графиков выполняются в двухмерном пространстве, часто на плоскости.

Евклидова геометрия

Евклид изложил первую великую веху математической мысли - аксиоматическую трактовку геометрии. Он выбрал небольшое ядро ​​неопределенных терминов (называемых общими понятиями ) и постулатов (или аксиом ), которые затем использовал для доказательства различных геометрических утверждений. Хотя плану в его современном понимании нет прямого определения нигде в Элементах , его можно рассматривать как часть общих понятий. Евклид никогда не использовал числа для измерения длины, угла или площади. Таким образом, евклидова плоскость - не совсем то же самое, что декартова плоскость.

Три параллельные плоскости.

Плоскость - это линейчатая поверхность

Представление

Этот раздел касается исключительно плоскостей, встроенных в три измерения: в частности, в R 3 .

Определение по содержащимся точкам и линиям

В евклидовом пространстве любого числа измерений плоскость однозначно определяется любым из следующих условий:

  • Три неколлинеарных точки (точки не на одной прямой).
  • Линия и точка не на этой линии.
  • Две четкие, но пересекающиеся линии.
  • Две четкие, но параллельные линии.

Характеристики

Следующие утверждения верны в трехмерном евклидовом пространстве, но не в более высоких измерениях, хотя у них есть аналоги в более высоких измерениях:

  • Две различные плоскости либо параллельны, либо пересекаются по линии .
  • Линия либо параллельна плоскости, либо пересекает ее в одной точке, либо содержится в плоскости.
  • Две различные прямые, перпендикулярные одной плоскости, должны быть параллельны друг другу.
  • Две разные плоскости, перпендикулярные одной линии, должны быть параллельны друг другу.

Точечно – нормальная форма и общий вид уравнения плоскости.

Подобно тому, как линии в двумерном пространстве описываются с использованием формы точечного наклона для их уравнений, плоскости в трехмерном пространстве имеют естественное описание с помощью точки на плоскости и вектора, ортогонального к ней ( вектор нормали ), чтобы указать его "наклон".

В частности, пусть r 0 будет вектором положения некоторой точки P 0 = ( x 0 , y 0 , z 0 ) , и пусть n = ( a , b , c ) будет ненулевым вектором. Плоскость, определяемая точкой P 0 и вектором n, состоит из этих точек P с вектором положения r , так что вектор, проведенный из P 0 в P , перпендикулярен n . Вспоминая, что два вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю, следует, что искомую плоскость можно описать как множество всех точек r таких, что

Точка здесь означает скалярное произведение .
В расширенном виде это становится

что является точечно-нормальной формой уравнения плоскости. Это просто линейное уравнение

куда

,

которая является расширенной формой

В математике принято выражать нормаль как единичный вектор , но приведенный выше аргумент справедлив для вектора нормали любой ненулевой длины.

И наоборот, легко показать, что если a , b , c и d - константы, а a , b и c не все равны нулю, то график уравнения

плоскость, имеющая в качестве нормали вектор n = ( a , b , c ) . Это знакомое уравнение для плоскости называется общей формой уравнения плоскости.

Так, например, уравнение регрессии вида y = d + ax + czb = −1 ) устанавливает плоскость наилучшего соответствия в трехмерном пространстве, когда есть две независимые переменные.

Описание плоскости точкой и лежащими на ней двумя векторами

В качестве альтернативы, плоскость может быть описана параметрически как совокупность всех точек вида

Векторное описание самолета

где s и t пробегают все действительные числа, v и w задаются линейно независимыми векторами, определяющими плоскость, а r 0 - вектор, представляющий положение произвольной (но фиксированной) точки на плоскости. Векторы v и w могут быть визуализированы как векторы, начинающиеся с r 0 и указывающие в разных направлениях вдоль плоскости. Векторы v и w могут быть перпендикулярны , но не могут быть параллельны.

Описание самолета через три точки

Пусть p 1 = ( x 1 , y 1 , z 1 ) , p 2 = ( x 2 , y 2 , z 2 ) и p 3 = ( x 3 , y 3 , z 3 ) неколлинеарные точки.

Способ 1

Плоскость, проходящая через точки p 1 , p 2 и p 3, может быть описана как совокупность всех точек ( x , y , z ), которые удовлетворяют следующим определяющим уравнениям:

Способ 2

Чтобы описать плоскость уравнением вида , решите следующую систему уравнений:

Эта система может быть решена с помощью правила Крамера и основных матричных манипуляций. Позволять

.

Если D не равно нулю (то есть для плоскостей, не проходящих через начало координат), значения для a , b и c могут быть вычислены следующим образом:

Эти уравнения параметрически по d . Приняв d равным любому ненулевому числу и подставив его в эти уравнения, мы получим один набор решений.

Способ 3

Эта плоскость также может быть описана вышеописанным предписанием « точка и вектор нормали ». Подходящий вектор нормали дается перекрестным произведением

и точка r 0 может быть принята как любая из данных точек p 1 , p 2 или p 3 (или любая другая точка на плоскости).

Операции

Расстояние от точки до плоскости

Для плоскости и точки, не обязательно лежащей на плоскости, кратчайшее расстояние от плоскости до плоскости равно

Отсюда следует, что лежит в плоскости тогда и только тогда, когда D = 0 .

Если это означает, что a , b и c нормализованы, тогда уравнение принимает вид

Другой вектор форма для уравнения плоскости, известной как Hesse нормальной форма зависит от параметра D . Эта форма:

где - единичный вектор нормали к плоскости, вектор положения точки плоскости и D 0 расстояние плоскости от начала координат.

Общая формула для более высоких измерений может быть быстро получена с использованием векторной записи . Пусть гиперплоскость есть уравнение , где является нормальным вектором и является положение вектора в точке гиперплоскости . Мы хотим, чтобы расстояние до точки было перпендикулярно . Гиперплоскость также может быть представлена скалярным уравнением для констант . Аналогичным образом, соответствующий может быть представлен как . Нам нужна скалярная проекция вектора в направлении . Отметив, что (поскольку удовлетворяет уравнению гиперплоскости ), мы имеем

.

Пересечение прямой и плоскости

В аналитической геометрии пересечение линии и плоскости в трехмерном пространстве может быть пустым множеством , точкой или линией.

Линия пересечения двух плоскостей

Две пересекающиеся плоскости в трехмерном пространстве

Линия пересечения между двумя плоскостями и где нормализованы, задается формулой

куда

Это можно найти, заметив, что линия должна быть перпендикулярна обеим нормальным плоскостям и, следовательно, параллельна их перекрестному произведению (это перекрестное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда плоскости параллельны и, следовательно, не пересекаются или полностью совпадают).

Остальная часть выражения достигается путем нахождения произвольной точки на линии. Для этого учтите, что любая точка в пространстве может быть записана как , поскольку является базой . Мы хотим найти точку, которая находится на обеих плоскостях (т.е. на их пересечении), поэтому вставьте это уравнение в каждое из уравнений плоскостей, чтобы получить два одновременных уравнения, которые можно решить для и .

Если далее предположить , что и являются ортонормированный , то ближайшая точка на линии пересечения в начале координат . Если это не так, необходимо использовать более сложную процедуру.

Двугранный угол

Для двух пересекающихся плоскостей, описываемых и , двугранный угол между ними определяется как угол между их нормальными направлениями:

Самолеты в различных областях математики

В дополнение к своей знакомой геометрической структуре с изоморфизмами, которые являются изометриями по отношению к обычному внутреннему продукту, плоскость может рассматриваться на различных других уровнях абстракции . Каждому уровню абстракции соответствует определенная категория .

С одной стороны, все геометрические и метрические концепции могут быть отброшены, чтобы покинуть топологическую плоскость, которую можно рассматривать как идеализированный гомотопически тривиальный бесконечный резиновый лист, который сохраняет понятие близости, но не имеет расстояний. В топологической плоскости есть понятие линейного пути, но нет понятия прямой линии. Топологическая плоскость или ее эквивалент открытый диск - это основная топологическая окрестность, используемая для построения поверхностей (или 2-многообразий), классифицируемых по топологии малой размерности . Все изоморфизмы топологической плоскости являются непрерывными биекциями . Топологическая плоскость - естественный контекст для раздела теории графов, который имеет дело с плоскими графами и такими результатами, как теорема о четырех цветах .

Плоскость также можно рассматривать как аффинное пространство , изоморфизмы которого являются комбинациями сдвигов и неособых линейных отображений. С этой точки зрения расстояний нет, но сохраняются коллинеарность и соотношения расстояний на любой линии.

Дифференциальная геометрия рассматривает плоскость как двумерное реальное многообразие , топологическую плоскость, которая имеет дифференциальную структуру . Опять же, в этом случае нет понятия расстояния, но теперь есть понятие гладкости отображений, например дифференцируемый или гладкий путь (в зависимости от типа применяемой дифференциальной структуры). Изоморфизмы в этом случае являются биекциями с выбранной степенью дифференцируемости.

В направлении, противоположном абстракции, мы можем применить совместимую структуру поля к геометрической плоскости, создав комплексную плоскость и основную область комплексного анализа . Комплексное поле имеет только два изоморфизма, которые оставляют вещественную прямую фиксированной: тождество и сопряжение .

Так же, как и в реальном случае, плоскость также может рассматриваться как простейшее одномерное (над комплексными числами) комплексное многообразие , иногда называемое комплексной линией. Однако эта точка зрения резко контрастирует со случаем плоскости как двумерного вещественного многообразия. Изоморфизмы - все конформные биекции комплексной плоскости, но единственные возможности - это отображения, которые соответствуют композиции умножения на комплексное число и сдвига.

Кроме того, евклидова геометрия (которая везде имеет нулевую кривизну ) - не единственная геометрия, которую может иметь плоскость. Плоскости можно придать сферическую геометрию с помощью стереографической проекции . Это можно представить как размещение сферы на плоскости (точно так же, как шар на полу), удаление верхней точки и проецирование сферы на плоскость из этой точки). Это одна из проекций, с помощью которых можно составить плоскую карту части поверхности Земли. Полученная геометрия имеет постоянную положительную кривизну.

В качестве альтернативы плоскости также можно присвоить метрику, которая придает ей постоянную отрицательную кривизну, определяющую гиперболическую плоскость . Последняя возможность находит применение в специальной теории относительности в упрощенном случае, когда есть два пространственных измерения и одно временное измерение. (Гиперболическая плоскость - это времениподобная гиперповерхность в трехмерном пространстве Минковского .)

Топологические и дифференциально-геометрические понятия

Одноточечная компактификация плоскости гомеоморфно сфере (см стереографическую проекцию ); открытый диск гомеоморфен сфере без «северного полюса»; добавление этой точки завершает (компактную) сферу. Результатом этой компактификации является многообразие, называемое сферой Римана или комплексной проективной прямой . Проекция с евклидовой плоскости на сферу без точки является диффеоморфизмом и даже конформным отображением .

Сама плоскость гомеоморфна (и диффеоморфна) открытому диску . Для гиперболической плоскости такой диффеоморфизм конформен, а для евклидовой плоскости - нет.

Смотрите также

Примечания

использованная литература

  • Антон, Ховард (1994), Элементарная линейная алгебра (7-е изд.), John Wiley & Sons, ISBN 0-471-58742-7
  • Ив, Ховард (1963), Обзор геометрии , I , Бостон: Allyn and Bacon, Inc.

внешние ссылки