Противоположное число - Additive inverse
В математике добавок обратные из числа а это число , которое, когда добавляются к , дает нуль . Это число также известно как противоположность (число), изменение знака и отрицание . Для действительного числа он меняет знак : аддитивное обратное (противоположное число) положительного числа отрицательно, а аддитивное обратное отрицательное число положительно. Ноль - это аддитивная инверсия самого себя.
Аддитивный обратный к a обозначается унарным минусом : - a (см. Также § Связь с вычитанием ниже). Например, аддитивная обратная величина 7 равна −7, потому что 7 + (−7) = 0 , а аддитивная величина, обратная −0,3, равна 0,3, поскольку −0,3 + 0,3 = 0 .
Точно так же аддитивная обратная величина к a - b - это - ( a - b ), которую можно упростить до b - a . Аддитивная величина, обратная 2 x - 3, равна 3-2 x , потому что 2 x - 3 + 3-2 x = 0 .
Аддитивная инверсия определяется как ее обратный элемент при бинарной операции сложения (см. Также § Формальное определение ниже), что позволяет сделать широкое обобщение на математические объекты, отличные от чисел. Как и любая обратная операция, двойная аддитивная обратная операция не имеет чистого эффекта : - (- x ) = x .
Общие примеры
Для числа (и вообще в любом кольце ) аддитивная обратная величина может быть вычислена с помощью умножения на -1 ; то есть - n = −1 × n . Примерами колец чисел являются целые числа , рациональные числа , действительные числа и комплексные числа .
Отношение к вычитанию
Аддитивное обратное тесно связано с вычитанием , которое можно рассматривать как дополнение противоположного:
- а - Ь = а + (- Ь ) .
И наоборот, аддитивное обратное можно рассматривать как вычитание из нуля:
- - а = 0 - а .
Следовательно, унарное обозначение знака минус можно рассматривать как сокращение для вычитания (с опущенным символом «0»), хотя в правильной типографике после унарного «-» не должно быть пробелов .
Прочие свойства
В дополнение к тождествам, перечисленным выше, отрицание обладает следующими алгебраическими свойствами:
- - (- a ) = a , это операция инволюции
- - ( а + б ) = (- а ) + (- б )
- - ( а - б ) = б - а
- а - (- Ь ) = а + Ь
- (- а ) × Ь = а × (- Ь ) = - ( а × Ь )
-
(- а ) × (- б ) = а × б
- в частности, (- a ) 2 = a 2
Формальное определение
Обозначение + обычно зарезервировано для коммутативных бинарных операций (операций, где x + y = y + x для всех x , y ). Если такая операция допускает единичный элемент o (такой, что x + o (= o + x ) = x для всех x ), то этот элемент уникален ( o ′ = o ′ + o = o ). Для данного x , если существует x ′ такое, что x + x ′ (= x ′ + x ) = o , то x ′ называется аддитивным обратным к x .
Если + ассоциативен , т. Е. ( X + y ) + z = x + ( y + z ) для всех x , y , z , то аддитивный обратный элемент единственен. Чтобы убедиться в этом, пусть x ′ и x ″ являются аддитивными обратными x ; тогда
- x ′ = x ′ + o = x ′ + ( x + x ″ ) = ( x ′ + x ) + x ″ = o + x ″ = x ″ .
Например, поскольку сложение действительных чисел ассоциативно, каждое действительное число имеет уникальную аддитивную инверсию.
Другие примеры
Все следующие примеры на самом деле являются абелевыми группами :
- Комплексные числа : - ( a + bi ) = (- a ) + (- b ) i . На комплексной плоскости эта операция поворачивает комплексное число на 180 градусов вокруг начала координат (см. Изображение выше ).
- Сложение действительных и комплексных функций: здесь аддитивная обратная функция к функции f - это функция - f, определенная формулой (- f ) ( x ) = - f ( x ) для всех x , таких что f + (- f ) = o , нулевая функция ( o ( x ) = 0 для всех x ).
- В более общем плане то, что предшествует, применяется ко всем функциям со значениями в абелевой группе («ноль» означает единичный элемент этой группы):
- Последовательности , матрицы и сети также являются особыми видами функций.
- В векторном пространстве аддитивное обратное - v часто называют вектором, противоположным v ; он имеет ту же величину, что и исходный, и противоположное направление. Аддитивная инверсия соответствует скалярному умножению на -1. Для евклидова пространства это точечное отражение в начале координат. Векторы в точно противоположных направлениях (умноженные на отрицательные числа) иногда называют антипараллельными .
- функции со значениями в векторном пространстве (не обязательно линейные),
- В модульной арифметике , то модульные аддитивные обратный из й также определенно: это числа таким образом, что + х ≡ 0 ( по модулю п ) . Эта аддитивная инверсия существует всегда. Например, 3 по модулю 11 равно 8, потому что это решение 3 + x ≡ 0 (mod 11) .
Не примеры
Натуральные числа , кардинальные числа и порядковые числа не имеют аддитивных обратных чисел в соответствующих наборах . Таким образом, можно сказать, что , например, натуральные числа действительно имеют аддитивные инверсии, а потому , что эти добавки не являются обратными самими натуральными числами, множество натуральных чисел , не закрыто при принятии аддитивных обратимо.
Смотрите также
- −1
- Абсолютное значение (связано через тождество | - x | = | x | ).
- Аддитивная идентичность
- Обратная функция
- Инволюция (математика)
- Мультипликативный обратный
- Симметрия отражения
- Полугруппа
- Моноид
- Группа (математика)