Целочисленный треугольник - Integer triangle

Целое число треугольник или интеграл треугольник является треугольник , у которых все стороны имеют длины , которые являются целыми числами . Рациональный треугольник может быть определен как один , имеющим все стороны с рациональной длиной; любой такой рациональный треугольник можно целочисленно перемасштабировать (все стороны могут быть умножены на одно и то же целое число, а именно на общее кратное их знаменателя), чтобы получить целочисленный треугольник, поэтому в этом смысле нет существенной разницы между целочисленными треугольниками и рациональными треугольниками. Однако существуют и другие определения термина «рациональный треугольник»: в 1914 году Кармайкл использовал этот термин в том смысле, в каком мы сегодня употребляем термин « треугольник Герона» ; Сомос использует его для обозначения треугольников, соотношение сторон которых рационально; Конвей и Гай определяют рациональный треугольник как треугольник с рациональными сторонами и рациональными углами, измеряемыми в градусах, и в этом случае единственным рациональным треугольником является равносторонний треугольник с рациональными сторонами .

В первом разделе ниже приведены различные общие свойства целочисленного треугольника. Все остальные разделы относятся к классам целочисленных треугольников с определенными свойствами.

Общие свойства целочисленного треугольника

Целочисленные треугольники с заданным периметром

Любая тройка положительных целых чисел может служить длинами сторон целочисленного треугольника, если она удовлетворяет неравенству треугольника : самая длинная сторона короче суммы двух других сторон. Каждая такая тройка определяет целочисленный треугольник, уникальный с точностью до конгруэнтности . Таким образом , число целых треугольников (до конгруэнтности) с периметром р этого числа перегородок из р в три положительные части , которые удовлетворяют неравенство треугольника. Это целое число , ближе всего к р ² / 48 , когда р является еще и ( р  + 3) ² / 48 , когда р является нечетным . Это также означает, что количество целочисленных треугольников с четными периметрами p  = 2 n такое же, как количество целых треугольников с нечетными номерами периметров p  = 2 n  - 3. Таким образом, не существует целочисленных треугольников с периметрами 1, 2 или 4. , один с периметром 3, 5, 6 или 8 и два с периметром 7 или 10. Последовательность чисел целых треугольников с периметром p , начиная с p = 1, равна:

0, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 4, 3, 5, 4, 7, 5, 8, 7, 10, 8 ... (последовательность A005044 в OEIS )

Целочисленные треугольники с заданной наибольшей стороной

Количество целых треугольников (с точностью до сравнения) с заданной наибольшей стороной c и целой тройкой ( a ,  b ,  c ) - это количество целых троек таких, что a  +  b  >  c и a  ≤  b  ≤  c . Это целое число. Потолок [ ( c  + 1) ⁄ 2 ] * Этаж [ ( c  + 1) ⁄ 2 ]. В качестве альтернативы, для четного c это двойное треугольное число c ⁄ 2 ( c ⁄ 2  + 1), а для нечетного c - квадрат ( c  + 1) ² ⁄ 4 . Это также означает, что количество целых треугольников с наибольшей стороной c превышает количество целых треугольников с наибольшей стороной c - 2 на c . Последовательность числа несовпадающих целочисленных треугольников с наибольшей стороной c , начиная с c  = 1, равна:

1, 2, 4, 6, 9, 12, 16, 20, 25, 30, 36, 42, 49, 56, 64, 72, 81, 90 ... (последовательность A002620 в OEIS )

Количество целочисленных треугольников (с точностью до сравнения) с заданной наибольшей стороной c и целой тройкой ( a ,  b ,  c ), которые лежат на или внутри полукруга диаметра c, - это количество целых троек таких, что a  +  b  >  c  ,  a ²  +  b ²  ≤  c ² и a  ≤  b  ≤  c . Это также количество целочисленных односторонней тупые или вправо (не острые ) треугольники с самой большой стороне с . Последовательность, начинающаяся с c  = 1, следующая:

0, 0, 1, 1, 3, 4, 5, 7, 10, 13, 15, 17, 22, 25, 30, 33, 38, 42, 48 ... (последовательность A236384 в OEIS )

Следовательно, разница между двумя вышеуказанными последовательностями дает количество остроугольных целочисленных треугольников (с точностью до конгруэнтности) с заданной наибольшей стороной c . Последовательность, начинающаяся с c  = 1, следующая:

1, 2, 3, 5, 6, 8, 11, 13, 15, 17, 21, 25, 27, 31, 34, 39, 43, 48, 52 ... (последовательность A247588 в OEIS )

Площадь целочисленного треугольника

По формуле Герона , если T - площадь треугольника, стороны которого имеют длины a , b и c, то

${\ displaystyle 4T = {\ sqrt {(a + b + c) (a + bc) (a-b + c) (- a + b + c)}}.}$

Поскольку все члены под радикалом в правой части формулы являются целыми числами, следует, что все целочисленные треугольники должны иметь целочисленное значение 16T ^2, и T ² будет рациональным.

Углы целочисленного треугольника

По закону косинусов каждый угол целочисленного треугольника имеет рациональный косинус .

Если углы любого треугольника образуют арифметическую прогрессию, то один из его углов должен составлять 60 °. Для целочисленных треугольников оставшиеся углы также должны иметь рациональные косинусы, и метод создания таких треугольников описан ниже. Однако, кроме тривиального случая равностороннего треугольника, не существует целых треугольников, углы которых образуют геометрическую или гармоническую прогрессию . Это потому, что такие углы должны быть рациональными углами вида π p ⁄ q с рациональным 0 < p ⁄ q <1. Но все углы целочисленных треугольников должны иметь рациональные косинусы, и это произойдет только тогда, когда  p ⁄ q  =  1 ⁄ 3   т.е. целочисленный треугольник равносторонний.

Квадрат каждой биссектрисы внутреннего угла целочисленного треугольника является рациональным, потому что общая формула треугольника для биссектрисы внутреннего угла угла A такова, где s - полупериметр (и аналогично для биссектрисы других углов). ${\ displaystyle {\ tfrac {2 {\ sqrt {bcs (sa)}}} {b + c}}}$

Боковое разделение по высоте

Любая высота, сброшенная с вершины на противоположную сторону или ее продолжение, разделит эту сторону или ее продолжение на рациональные длины.

Медианы

Квадрат дважды любой медианы целочисленного треугольника является целым числом, потому что общая формула для квадрата медианы m _a ² на стороне a имеет вид (2 m _a ) ²  = 2 b ²  + 2 c ²  -  a ² (и аналогично для срединных к другим сторонам). ${\ displaystyle {\ tfrac {(2b ^ {2} + 2c ^ {2} -a ^ {2})} {4}}}$

Циркумрадиус и внутренний радиус

Поскольку квадрат площади целочисленного треугольника является рациональным, квадрат его описанного радиуса также является рациональным, как и квадрат внутреннего радиуса .

Отношение inradius к описанной окружности целочисленного треугольника рационально, равному для полупериметра с и площадью Т . ${\ displaystyle {\ tfrac {4T ^ {2}} {sabc}}}$

Произведение внутреннего радиуса и описанного радиуса целочисленного треугольника рационально и равно ${\ displaystyle {\ tfrac {abc} {2 (a + b + c)}}.}$

Таким образом, квадрат расстояния между центром и центром описанной окружности целочисленного треугольника, заданный теоремой Эйлера как R ² - 2 Rr , является рациональным.

Героновские треугольники

Все треугольники Герона могут быть помещены на решетку с каждой вершиной в точке решетки.

Общая формула

Треугольник Герона, также известный как треугольник Герона или треугольник Героя , представляет собой треугольник с целыми сторонами и целой площадью. У каждого треугольника Герона есть стороны, пропорциональные

${\ Displaystyle а = п (м ^ {2} + к ^ {2})}$

${\ Displaystyle б = м (п ^ {2} + к ^ {2})}$

${\ Displaystyle с = (т + п) (мн-к ^ {2})}$

${\ Displaystyle {\ text {Полупериметр}} = мин (м + п)}$

${\ displaystyle {\ text {Area}} = mnk (m + n) (mn-k ^ {2})}$

для целых чисел m , n и k с учетом ограничений:

${\ Displaystyle \ НОД {(т, п, к)} = 1}$

${\ displaystyle mn> к ^ {2} \ geq m ^ {2} n / (2m + n)}$

${\ Displaystyle м \ geq п \ geq 1.}$

Коэффициент пропорциональности обычно является рациональным, где q = gcd ( a , b , c ) уменьшает сгенерированный треугольник Герона до его примитива и масштабирует этот примитив до требуемого размера. ${\ displaystyle {\ frac {p} {q}}}$${\ displaystyle p}$

Пифагоровы треугольники

Треугольник Пифагора является прямоугольным и героническим. Его три целочисленные стороны, известны как Пифагор тройки или Пифагор триплетного или Пифагор триады . Все троек Пифагора с гипотенузой , которые являются примитивными (стороны , не имеющей общим фактором ) могут быть получены путем ${\ Displaystyle (а, б, в)}$ ${\ displaystyle c}$

${\ Displaystyle а = м ^ {2} -n ^ {2}, \,}$

${\ displaystyle b = 2mn, \,}$

${\ Displaystyle с = м ^ {2} + п ^ {2}, \,}$

${\ displaystyle {\ text {Semiperimeter}} = m (m + n) \,}$

${\ displaystyle {\ text {Area}} = mn (m ^ {2} -n ^ {2}) \,}$

где т и п являются взаимно простыми целыми числами , а один из них даже при т  >  п .

Каждое четное число больше 2 может быть катетом треугольника Пифагора (не обязательно примитивным), потому что, если катет задается, и мы выбираем в качестве другого катета, тогда гипотенуза будет . По сути, это приведенная выше формула генерации, для которой установлено значение 1 и допускается диапазон от 2 до бесконечности. ${\ displaystyle a = 2m}$${\ displaystyle b = (a / 2) ^ {2} -1 = m ^ {2} -1}$${\ displaystyle c = m ^ {2} +1}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle m}$

Треугольники Пифагора с целой высотой от гипотенузы

Не существует примитивных треугольников Пифагора с целой высотой от гипотенузы. Это потому, что удвоенная площадь равна любому основанию, умноженному на соответствующую высоту: удвоенная площадь, таким образом, равна как ab, так и cd, где d - высота от гипотенузы c . Три стороны примитивного треугольника взаимно просты, поэтому d  =  ab ⁄ c находится в полностью сокращенной форме; поскольку c не может быть равно 1 для любого примитивного треугольника Пифагора, d не может быть целым числом.

Однако любой треугольник Пифагора с катетами x ,  y и гипотенузой z может создать треугольник Пифагора с целочисленной высотой путем увеличения сторон на длину гипотенузы z . Если d - высота, то сгенерированный треугольник Пифагора с целочисленной высотой задается следующим образом:

${\ displaystyle (a, b, c, d) = (xz, yz, z ^ {2}, xy). \,}$

Следовательно, все треугольники Пифагора с катетами a и b , гипотенузой c и целой высотой d от гипотенузы с НОД ( a, b, c, d ) = 1, которые обязательно удовлетворяют как a ²  +  b ²  = c ^{2, так} и , генерируются ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {a ^ {2}}} + {\ tfrac {1} {b ^ {2}}} = {\ tfrac {1} {d ^ {2}}}}$

${\ displaystyle a = (m ^ {2} -n ^ {2}) (m ^ {2} + n ^ {2}), \,}$

${\ displaystyle b = 2mn (m ^ {2} + n ^ {2}), \,}$

${\ Displaystyle с = (м ^ {2} + п ^ {2}) ^ {2}, \,}$

${\ displaystyle d = 2mn (m ^ {2} -n ^ {2}), \,}$

${\ displaystyle {\ text {Semiperimeter}} = m (m + n) (m ^ {2} + n ^ {2}) \,}$

${\ displaystyle {\ text {Area}} = mn (m ^ {2} -n ^ {2}) (m ^ {2} + n ^ {2}) ^ {2} \,}$

для взаимно простых целых чисел m , n с m  >  n .

Треугольники Герона со сторонами в арифметической прогрессии

Треугольник с целыми сторонами и целой площадью имеет стороны в арифметической прогрессии тогда и только тогда, когда стороны равны ( b - d , b , b + d ), где

${\ displaystyle b = 2 (m ^ {2} + 3n ^ {2}) / g,}$

${\ Displaystyle d = (м ^ {2} -3n ^ {2}) / г,}$

и где г есть наибольший общий делитель из и${\ displaystyle m ^ {2} -3n ^ {2},}$ ${\ displaystyle 2mn,}$${\ displaystyle m ^ {2} + 3n ^ {2}.}$

Треугольники Герона с одним углом, равным дважды другому

Все треугольники Герона с B = 2 A порождаются либо

${\ displaystyle a = {\ tfrac {k ^ {2} (s ^ {2} + r ^ {2}) ^ {2}} {4}},}$

${\ displaystyle b = {\ tfrac {k ^ {2} (s ^ {4} -r ^ {4})} {2}},}$

${\ displaystyle c = {\ tfrac {k ^ {2} (3s ^ {4} -10s ^ {2} r ^ {2} + 3r ^ {4})} {4}},}$

${\ displaystyle {\ text {Area}} = {\ tfrac {k ^ {2} csr (s ^ {2} -r ^ {2})} {2}},}$

с целыми числами k , s , r такими, что s ² > 3 r ² , или

${\ displaystyle a = {\ tfrac {q ^ {2} (u ^ {2} + v ^ {2}) ^ {2}} {4}} \,}$,

${\ displaystyle b = q ^ {2} uv (u ^ {2} + v ^ {2}) \,}$,

${\ displaystyle c = {\ tfrac {q ^ {2} (14u ^ {2} v ^ {2} -u ^ {4} -v ^ {4})} {4}} \,}$,

${\ displaystyle {\ text {Area}} = {\ tfrac {q ^ {2} cuv (v ^ {2} -u ^ {2})} {2}} \,}$,

с целыми числами q , u , v такими, что v > u и v ² <(7 + 4 √ 3 )  u ² .

Никакие треугольники Герона с B = 2 A не являются равнобедренными или прямыми треугольниками, потому что все результирующие комбинации углов образуют углы с нерациональными синусами , что дает нерациональную площадь или сторону.

Равнобедренные героновские треугольники

Все равнобедренные треугольники Герона разложимы. Они образованы соединением двух конгруэнтных треугольников Пифагора вдоль любого из их общих катетов так, что равные стороны равнобедренного треугольника являются гипотенусами треугольников Пифагора, а основание равнобедренного треугольника вдвое больше другого катета Пифагора. Следовательно, каждый треугольник Пифагора является строительным блоком для двух равнобедренных треугольников Герона, поскольку соединение может быть вдоль любой стороны. Все пары равнобедренных треугольников Герона задаются рациональными кратными

${\ displaystyle a = 2 (u ^ {2} -v ^ {2}),}$

${\ displaystyle b = u ^ {2} + v ^ {2},}$

${\ displaystyle c = u ^ {2} + v ^ {2},}$

а также

${\ displaystyle a = 4uv,}$

${\ displaystyle b = u ^ {2} + v ^ {2},}$

${\ displaystyle c = u ^ {2} + v ^ {2},}$

для взаимно простых целых чисел u и v с u > v и u + v нечетным.

Треугольники Герона, периметр которых в четыре раза больше простого

Было показано , что героны треугольника, периметр четыре раза в премьер однозначно связана с премьером и что премьер является конгруэнтна с или по модулю . Хорошо известно, что такое простое число может быть однозначно разделено на целые числа и такие, что (см . Идонеальные числа Эйлера ). Кроме того, было показано, что такие треугольники Герона примитивны, поскольку наименьшая сторона треугольника должна быть равна штриху, составляющему одну четверть его периметра. ${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle 3}$${\ displaystyle 8}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle p = m ^ {2} + 2n ^ {2}}$

Следовательно, все примитивные треугольники Герона, периметр которых в четыре раза больше простого числа, могут быть порождены формулой

${\ Displaystyle а = м ^ {2} + 2n ^ {2}}$

${\ displaystyle b = m ^ {2} + 4n ^ {2}}$

${\ Displaystyle с = 2 (м ^ {2} + п ^ {2})}$

${\ displaystyle {\ text {Semiperimeter}} = 2a = 2 (m ^ {2} + 2n ^ {2})}$

${\ displaystyle {\ text {Area}} = 2mn (m ^ {2} + 2n ^ {2})}$

для целых чисел и таких, что это простое число. ${\ displaystyle m}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle m ^ {2} + 2n ^ {2}}$

Кроме того, разложение в области является , где первично. Однако площадь треугольника Герона всегда делится на . Это дает результат, кроме того, когда и который дает все остальные разделения, и должен иметь нечетный результат только с одним из них, делимым на . ${\ displaystyle 2mnp}$${\ displaystyle p = m ^ {2} + 2n ^ {2}}$${\ displaystyle 6}$${\ displaystyle m = 1}$${\ Displaystyle п = 1,}$${\ displaystyle p = 3,}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle 3}$

Треугольники Герона с целыми inradius и exradii

Существует бесконечно много разложимых и бесконечно много неразложимых примитивных героновских ( непифагоровых ) треугольников с целыми радиусами вписанной и каждой вневписанной окружностей . Семейство разложимых дается формулой

${\ displaystyle a = 4n ^ {2}, \ quad \ quad b = (2n + 1) (2n ^ {2} -2n + 1), \ quad \ quad c = (2n-1) (2n ^ {2 } + 2n + 1),}$

${\ displaystyle r = 2n-1, \ quad \ quad r_ {a} = 2n + 1, \ quad \ quad r_ {b} = 2n ^ {2}, \ quad \ quad r_ {c} = {\ text { Площадь}} = 2n ^ {2} (2n-1) (2n + 1);}$

а семейство неразложимых дается выражением

${\ displaystyle a = 5 (5n ^ {2} + n-1), \ quad \ quad b = (5n + 3) (5n ^ {2} -4n + 1), \ quad \ quad c = (5n- 2) (5n ^ {2} + 6n + 2),}$

${\ displaystyle r = 5n-2, \ quad \ quad r_ {a} = 5n + 3, \ quad \ quad r_ {b} = 5n ^ {2} + n-1, \ quad \ quad r_ {c} = {\ text {Area}} = (5n-2) (5n + 3) (5n ^ {2} + n-1).}$

Героновские треугольники как грани тетраэдра

Существуют тетраэдры с целочисленным объемом и треугольниками Герона в качестве граней . В одном примере один край 896, противоположный край 190 и четыре других края 1073; две грани имеют площадь 436800, а два других имеют площадь 47120, а объем равен 62092800.

Треугольники Герона в двумерной решетке

Двумерная решетка - это регулярный массив изолированных точек, где, если какая-либо одна точка выбрана как декартово начало координат (0, 0), то все другие точки находятся в ( x, y ), где x и y изменяются по всем положительным и отрицательным целым числам. . Решетчатый треугольник - это любой треугольник, нарисованный внутри двумерной решетки, все вершины которого лежат в точках решетки. По теореме Пика решетчатый треугольник имеет рациональную площадь, которая является либо целым, либо полуцелым числом (знаменатель равен 2). Если решетчатый треугольник имеет целые стороны, то это эроновский треугольник с целой площадью.

Кроме того, было доказано, что все треугольники Герона можно нарисовать в виде решетчатых треугольников. Следовательно, целочисленный треугольник является эероновским тогда и только тогда, когда его можно нарисовать как решетчатый треугольник.

Существует бесконечно много примитивных треугольников Герона (непифагорова), которые можно разместить на целочисленной решетке со всеми вершинами, центром и всеми тремя эксцентрами в точках решетки. Два семейства таких треугольников - это те, с параметризацией, приведенной выше, в треугольниках Эрона с целыми числами inradius и exradii .

Целочисленные автомедианные треугольники

Автомедианный треугольник - это треугольник, медианы которого имеют те же пропорции (в обратном порядке), что и стороны. Если x , y и z - три стороны прямоугольного треугольника, отсортированные в порядке возрастания по размеру, и если 2 x  <  z , то z , x  +  y и y  -  x - три стороны автомедианного треугольника. Например, прямоугольный треугольник с длинами сторон 5, 12 и 13 может быть использован таким образом, чтобы сформировать наименьший нетривиальный (т.е. неравносторонний) целочисленный автомедианный треугольник с длинами сторон 13, 17 и 7.

Следовательно, используя формулу Евклида , которая генерирует примитивные треугольники Пифагора, можно генерировать примитивные целочисленные автомедианные треугольники как

${\ displaystyle a = | m ^ {2} -2mn-n ^ {2} |}$

${\ displaystyle b = m ^ {2} + 2mn-n ^ {2}}$

${\ displaystyle c = m ^ {2} + n ^ {2}}$

с и взаимно простыми и нечетными, и   (если величина внутри знаков абсолютного значения отрицательна) или   (если эта величина положительна), чтобы удовлетворить неравенству треугольника . ${\ displaystyle m}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle m + n}$${\ Displaystyle п <м <п {\ sqrt {3}}}$${\ displaystyle m> (2 + {\ sqrt {3}}) n}$

Важной характеристикой автомедианного треугольника является то, что квадраты его сторон образуют арифметическую прогрессию . Конкретно так${\ displaystyle c ^ {2} -a ^ {2} = b ^ {2} -c ^ {2}}$${\ displaystyle 2c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2}.}$

Целочисленные треугольники с определенными угловыми свойствами

Целочисленные треугольники с биссектрисой рационального угла

Семейство треугольников с целыми сторонами и рациональной биссектрисой угла A задается формулой ${\ displaystyle a, b, c}$${\ displaystyle d}$

${\ displaystyle a = 2 (k ^ {2} -m ^ {2}),}$

${\ displaystyle b = (км) ^ {2},}$

${\ Displaystyle с = (к + м) ^ {2},}$

${\ displaystyle d = {\ tfrac {2 км (k ^ {2} -m ^ {2})} {k ^ {2} + m ^ {2}}},}$

с целыми числами . ${\ displaystyle k> m> 0}$

Целочисленные треугольники с целыми n -секторами всех углов

Там существуют бесконечно много не- подобных треугольников , в которых три стороны и биссектриса каждый из трех углов являются целыми числами.

Существует бесконечно много непохожих треугольников, в которых три стороны и два трисектора каждого из трех углов являются целыми числами.

Однако для n > 3 не существует треугольников, в которых три стороны и ( n  - 1) n -сектора каждого из трех углов являются целыми числами.

Целочисленные треугольники с одним углом и заданным рациональным косинусом

Некоторые целочисленные треугольники с одним углом в вершине A и заданным рациональным косинусом h  /  k ( h <0 или> 0; k > 0) имеют вид

${\ displaystyle a = p ^ {2} -2pqh + q ^ {2} k ^ {2},}$

${\ displaystyle b = p ^ {2} -q ^ {2} k ^ {2},}$

${\ Displaystyle с = 2qk (п-qh),}$

где p и q - любые взаимно простые положительные целые числа такие, что p > qk .

Целочисленные треугольники с углом 60 ° (углы в арифметической прогрессии)

Все целые треугольники с углом 60 ° имеют свои углы в арифметической прогрессии. Все такие треугольники пропорциональны:

${\ displaystyle a = 4mn,}$

${\ displaystyle b = 3m ^ {2} + n ^ {2},}$

${\ displaystyle c = 2mn + | 3m ^ {2} -n ^ {2} |}$

с взаимно простыми целыми числами m , n и 1 ≤  n  ≤  m или 3 m  ≤  n . Отсюда все примитивные решения могут быть получены делением a , b и c на их наибольший общий делитель.

Целочисленные треугольники с углом 60 ° также могут быть созданы с помощью

${\ displaystyle a = m ^ {2} -mn + n ^ {2},}$

${\ displaystyle b = 2mn-n ^ {2},}$

${\ displaystyle c = m ^ {2} -n ^ {2},}$

с взаимно простыми целыми числами m , n с 0 <  n  <  m (угол 60 ° противоположен стороне длины a ). Отсюда все примитивные решения могут быть получены путем деления a , b и c на их наибольший общий делитель (например, решение равностороннего треугольника получается, взяв m = 2 и n = 1 , но это дает a = b = c = 3 , что не является примитивным решением). Смотрите также

Точнее, если , то иначе . Две разные пары и генерируют одну и ту же тройку. К сожалению, обе пары могут иметь gcd = 3, поэтому мы не можем избежать дублирования, просто пропустив этот случай. Вместо этого можно избежать дублирования, перейдя только в кассу . Нам все равно нужно разделить на 3, если gcd = 3. Единственное решение для при указанных выше ограничениях - для . С этим дополнительным ограничением все тройки могут быть сгенерированы однозначно. ${\ Displaystyle м \ эквив-п \ ({\ текст {мод}} \ 3)}$${\ displaystyle gcd (a, b, c) = 3}$${\ displaystyle gcd (a, b, c) = 1}$${\ Displaystyle (м, п)}$${\ Displaystyle (м, мин)}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle m / 2}$${\ Displaystyle п = м / 2}$${\ Displaystyle (3,3,3) \ эквив (1,1,1)}$${\ displaystyle m = 2, n = 1}$${\ Displaystyle п \ Leq м / 2}$

Эйзенштейн тройной представляет собой набор целых чисел , которые являются длинами сторон треугольника , где один из углов равны 60 градусов.

Целочисленные треугольники с углом 120 °

Целочисленные треугольники с углом 120 ° могут быть созданы с помощью

${\ displaystyle a = m ^ {2} + mn + n ^ {2},}$

${\ displaystyle b = 2mn + n ^ {2},}$

${\ displaystyle c = m ^ {2} -n ^ {2},}$

с взаимно простыми целыми числами m ,  n с 0 <  n  <  m (угол 120 ° противоположен стороне длины a ). Отсюда все примитивные решения могут быть получены делением a , b и c на их наибольший общий делитель. Наименьшее решение для m = 2 и n = 1 - треугольник со сторонами (3,5,7). Смотрите также.

Точнее, если , то иначе . Поскольку самая большая сторона a может быть сгенерирована только с помощью одной пары, каждая примитивная тройка может быть сгенерирована ровно двумя способами: один раз напрямую с gcd = 1 и один раз косвенно с gcd = 3. Следовательно, чтобы однозначно сгенерировать все примитивные тройки , можно просто добавить дополнительное условие. ${\ Displaystyle м \ эквив п \ ({\ текст {мод}} \ 3)}$${\ displaystyle gcd (a, b, c) = 3}$${\ displaystyle gcd (a, b, c) = 1}$${\ Displaystyle (м, п)}$${\ Displaystyle м \ не \ эквив п \ (мод \ 3)}$

Целочисленные треугольники с одним углом, равным произвольному рациональному числу, умноженному на другой угол

Для положительных целых взаимно простых ч и к , треугольник со следующими сторонами имеет углы , и и , следовательно , два угла в соотношении ч  :  К , а его стороны являются целыми числами: ${\ displaystyle h \ alpha}$${\ Displaystyle к \ альфа}$${\ Displaystyle \ пи - (ч + к) \ альфа}$

${\ displaystyle a = q ^ {h + k-1} {\ frac {\ sin h \ alpha} {\ sin \ alpha}} = q ^ {k} \ cdot \ sum _ {0 \ leq i \ leq { \ frac {h-1} {2}}} (- 1) ^ {i} {\ binom {h} {2i + 1}} p ^ {h-2i-1} (q ^ {2} -p ^ {2}) ^ {i},}$

${\ displaystyle b = q ^ {h + k-1} {\ frac {\ sin k \ alpha} {\ sin \ alpha}} = q ^ {h} \ cdot \ sum _ {0 \ leq i \ leq { \ frac {k-1} {2}}} (- 1) ^ {i} {\ binom {k} {2i + 1}} p ^ {k-2i-1} (q ^ {2} -p ^ {2}) ^ {i},}$

${\ displaystyle c = q ^ {h + k-1} {\ frac {\ sin (h + k) \ alpha} {\ sin \ alpha}} = \ sum _ {0 \ leq i \ leq {\ frac { h + k-1} {2}}} (- 1) ^ {i} {\ binom {h + k} {2i + 1}} p ^ {h + k-2i-1} (q ^ {2}) -p ^ {2}) ^ {i},}$

где и p и q - любые взаимно простые целые числа такие, что . ${\ displaystyle \ alpha = \ cos ^ {- 1} \! {\ frac {p} {q}}}$${\ displaystyle \ cos {\ frac {\ pi} {h + k}} <{\ frac {p} {q}} <1}$

Целочисленные треугольники с одним углом, дважды равным другому

С угол А со стороны , противоположной и угла B противоположной стороны , некоторые треугольники с B  = 2 A генерируются ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$

${\ Displaystyle а = п ^ {2},}$

${\ displaystyle b = mn,}$

${\ displaystyle c = m ^ {2} -n ^ {2},}$

с целыми числами m , n такими, что 0 <  n  <  m  <2 n .

Все треугольники с B  = 2 A (целые или нет) удовлетворяют${\ displaystyle a (a + c) = b ^ {2}.}$

Целочисленные треугольники с одним углом, равным 3/2 другого.

Класс эквивалентности подобных треугольников с порожден ${\ displaystyle B = {\ tfrac {3} {2}} A}$

${\ displaystyle a = mn ^ {3},}$

${\ displaystyle b = n ^ {2} (m ^ {2} -n ^ {2}),}$

${\ displaystyle c = (m ^ {2} -n ^ {2}) ^ {2} -m ^ {2} n ^ {2},}$

с такими целыми числами , что , где - золотое сечение . ${\ displaystyle m, n}$${\ displaystyle 0 <\ varphi n <m <2n}$${\ displaystyle \ varphi}$ ${\ displaystyle \ varphi = {\ frac {1 + {\ sqrt {5}}} {2}} \ приблизительно 1.61803}$

Все треугольники с (с целыми сторонами или без) удовлетворяют${\ displaystyle B = {\ tfrac {3} {2}} A}$${\ displaystyle (b ^ {2} -a ^ {2}) (b ^ {2} -a ^ {2} + bc) = a ^ {2} c ^ {2}.}$

Целочисленные треугольники с одним углом трижды другим

Мы можем сгенерировать полный класс эквивалентности подобных треугольников, удовлетворяющих B  = 3 A, с помощью формул

${\ Displaystyle а = п ^ {3}, \,}$

${\ Displaystyle Ь = п (м ^ {2} -n ^ {2}), \,}$

${\ Displaystyle с = м (м ^ {2} -2n ^ {2}), \,}$

где и - такие целые числа, что . ${\ displaystyle m}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle {\ sqrt {2}} n <m <2n}$

Все треугольники с B = 3 A (с целыми сторонами или без) удовлетворяют${\ displaystyle ac ^ {2} = (ba) ^ {2} (b + a).}$

Целочисленные треугольники с тремя рациональными углами

Единственный целочисленный треугольник с тремя рациональными углами (рациональное число градусов или, что эквивалентно, рациональные доли полного поворота) - это равносторонний треугольник . Это потому, что целые стороны подразумевают три рациональных косинуса по закону косинусов , а по теореме Нивена рациональный косинус совпадает с рациональным углом тогда и только тогда, когда косинус равен 0, ± 1/2 или ± 1. Единственные из них, дающие угол строго между 0 ° и 180 °, - это значение косинуса 1/2 с углом 60 °, значение косинуса –1/2 с углом 120 ° и значение косинуса 0 с углом 90 °. °. Единственная комбинация трех из них, позволяющая многократно использовать любой из них и в сумме 180 °, - это три угла по 60 °.

Целочисленные треугольники с целым отношением радиуса описанной окружности к внутреннему радиусу

Условия известны в терминах эллиптических кривых для целого треугольника , чтобы иметь соотношение целого числа N от описанной окружности к inradius . В самом маленьком случае, равностороннем треугольнике , N = 2. Во всех известных случаях N 2 (mod 8), то есть N - 2 делится на 8.

Пары треугольников 5-Con

Пара треугольников 5-Con - это пара треугольников, которые похожи, но не совпадают, и которые имеют три угла и две стороны. Примитивные целочисленные треугольники 5-Con, в которых четыре различных целочисленных стороны (две стороны, каждая из которых встречается в обоих треугольниках, и одна другая сторона в каждом треугольнике) не имеют общего делителя, имеют тройки сторон

${\ Displaystyle (х ^ {3}, х ^ {2} у, ху ^ {2})}$ а также ${\ Displaystyle (х ^ {2} у, ху ^ {2}, у ^ {3})}$

для положительных взаимно простых целых чисел x и y . Самый маленький пример - пара (8, 12, 18), (12, 18, 27), порожденная x = 2, y = 3.

Конкретные целые треугольники

• Единственный треугольник с последовательными целыми числами для сторон и площади имеет стороны (3, 4, 5) и площадь 6.
• Единственный треугольник с последовательными целыми числами для высоты и сторон имеет стороны (13, 14, 15) и высоту со стороны 14, равную 12.
• Треугольник (2, 3, 4) и его кратные - единственные треугольники с целыми сторонами в арифметической прогрессии и обладающие свойством дополнительного внешнего угла. Это свойство указывает, что если угол C тупой, и если сегмент отброшен от B , пересекая перпендикулярно AC, продолженному в P, то ∠CAB = 2∠CBP.
• Треугольник (3, 4, 5) и его кратные - единственные целые прямоугольные треугольники, стороны которых указаны в арифметической прогрессии.
• Треугольник (4, 5, 6) и его кратные - единственные треугольники, у которых один угол равен двум другим и имеет целые стороны в арифметической прогрессии.
• Треугольник (3, 5, 7) и его кратные - единственные треугольники с углом 120 ° и целыми сторонами в арифметической прогрессии.
• Единственный целочисленный треугольник с площадью = полупериметр имеет стороны (3, 4, 5).
• Единственные целочисленные треугольники с площадью = периметр имеют стороны (5, 12, 13), (6, 8, 10), (6, 25, 29), (7, 15, 20) и (9, 10, 17). . Из них первые два, но не последние три, являются прямоугольными треугольниками.
• Существуют целочисленные треугольники с тремя рациональными медианами . У самого маленького есть стороны (68, 85, 87). Другие включают (127, 131, 158), (113, 243, 290), (145, 207, 328) и (327, 386, 409).
• Равнобедренных треугольников Пифагора нет.
• Единственными примитивными треугольниками Пифагора, у которых квадрат периметра равен целому числу, кратному площади, являются (3, 4, 5) с периметром 12 и площадью 6 и с отношением квадрата периметра к площади 24; (5, 12, 13) с периметром 30 и площадью 30 и с отношением квадрата периметра к площади 30; и (9, 40, 41) с периметром 90 и площадью 180 и с отношением квадрата периметра к площади 45.
• Существует единственная (с точностью до подобия) пара рационального прямоугольного треугольника и рационального равнобедренного треугольника, имеющих одинаковый периметр и одинаковую площадь. Уникальная пара состоит из треугольника (377, 135, 352) и треугольника (366, 366, 132). Не существует пары таких треугольников, если требуется, чтобы они также были примитивными целыми треугольниками. Авторы подчеркивают поразительный факт, что второе утверждение может быть доказано элементарной аргументацией (они делают это в своем приложении А), в то время как первое утверждение требует современной весьма нетривиальной математики.

Смотрите также

• Пятиугольник Роббинса , циклический пятиугольник с целыми сторонами и целой площадью
• Кирпич Эйлера , кубоид с целыми ребрами и целыми диагоналями граней
• Тетраэдр # Целочисленные тетраэдры

использованная литература