Теорема Эйлера в геометрии - Euler's theorem in geometry

${\ displaystyle R}$

${\ displaystyle r}$

Из теоремы следует неравенство Эйлера :

$${\ Displaystyle R \ geq 2r,}$$

Более сильная версия неравенства

Более сильная версия

$${\ displaystyle {\ frac {R} {r}} \ geq {\ frac {abc + a ^ {3} + b ^ {3} + c ^ {3}} {2abc}} \ geq {\ frac {a } {b}} + {\ frac {b} {c}} + {\ frac {c} {a}} - 1 \ geq {\ frac {2} {3}} \ left ({\ frac {a} {b}} + {\ frac {b} {c}} + {\ frac {c} {a}} \ right) \ geq 2,}$$

${\ displaystyle a}$

${\ displaystyle b}$

${\ displaystyle c}$

Теорема Эйлера для вписанной окружности

Если и обозначить соответственно радиус

${\ displaystyle r_ {a}}$

${\ displaystyle d_ {a}}$

${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle d_ {a} ^ {2} = R (R + 2r_ {a})}$

Неравенство Эйлера в абсолютной геометрии

Неравенство Эйлера в форме, утверждающей, что для всех треугольников, вписанных в данную окружность, максимум радиуса вписанной окружности достигается для равностороннего треугольника и только для него, справедливо в абсолютной геометрии .

Смотрите также

• Теорема Фусса об отношении одних и тех же трех переменных в бицентрических четырехугольниках
• Теорема Понселе о замыкании , показывающая, что существует бесконечное количество треугольников с одинаковыми двумя окружностями (и, следовательно, с одинаковыми R , r и d )
• Список неравенств треугольника

использованная литература

внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. , «Формула треугольника Эйлера» , MathWorld