Сходство (геометрия) - Similarity (geometry)

Подобные цифры

В евклидовой геометрии два объекта подобны, если они имеют одинаковую форму или один имеет ту же форму, что и зеркальное отображение другого. Точнее, одно можно получить из другого путем равномерного масштабирования (увеличения или уменьшения), возможно, с дополнительным перемещением , поворотом и отражением . Это означает, что любой объект можно масштабировать, перемещать и отражать так, чтобы он точно совпадал с другим объектом. Если два объекта похожи, каждый из них соответствует результату определенного равномерного масштабирования другого.

Перевод

Вращение

Отражение

Масштабирование

Например, все круги похожи друг на друга, все квадраты похожи друг на друга, а все равносторонние треугольники похожи друг на друга. С другой стороны, не все эллипсы похожи друг на друга, не все прямоугольники похожи друг на друга, а не все равнобедренные треугольники похожи друг на друга.

Цифры, показанные в одном цвете, похожи

Если два угла треугольника имеют меры, равные размерам двух углов другого треугольника, то треугольники подобны. Соответствующие стороны похожих многоугольников пропорциональны, а соответствующие углы подобных многоугольников имеют одинаковую меру.

В этой статье предполагается, что масштабирование может иметь коэффициент масштабирования, равный 1, так что все конгруэнтные формы также похожи, но некоторые школьные учебники специально исключают конгруэнтные треугольники из своего определения похожих треугольников, настаивая на том, что размеры должны быть разными, если треугольники должны быть равными. квалифицируются как аналогичные.

Подобные треугольники

Два треугольника, △ ABC и △ A'B'C ' , подобен тогда и только тогда , когда соответствующие углы имеют ту же меру: это означает , что они подобны тогда и только тогда , когда длины соответствующих сторон являются пропорциональны . Можно показать, что два треугольника с равными углами ( равноугольные треугольники ) подобны, то есть можно доказать, что соответствующие стороны пропорциональны. Это известно как теорема подобия AAA. Обратите внимание, что «AAA» - это мнемоника: каждая из трех A относится к «углу». Из-за этой теоремы несколько авторов упрощают определение подобных треугольников, требуя только, чтобы соответствующие три угла были конгруэнтными.

Есть несколько утверждений, каждое из которых необходимо и достаточно для того, чтобы два треугольника были похожими:

• Треугольники имеют два конгруэнтных угла, что в евклидовой геометрии подразумевает, что все их углы совпадают. Это:

Если ∠ BAC равен по мере к ∠ B'A'C ' , и ∠ ABC равен по мере к ∠ А'В'СУ " , то это означает , что ∠ ACB равен по мере к ∠ A'C'B' и треугольники похожи.

• Все соответствующие стороны имеют длину в одинаковом соотношении:

AB/A′B ′ знак равно До нашей эры/ДО НАШЕЙ ЭРЫ' знак равно AC/A′C ′. Это равносильно утверждению, что один треугольник (или его зеркальное отображение) является увеличением другого.

• Две стороны имеют одинаковую длину, и углы, заключенные между этими сторонами, имеют одинаковую меру. Например:

AB/A′B ′ знак равно До нашей эры/ДО НАШЕЙ ЭРЫ'и ∠ ABC равны по мере к ∠ А'В'С ' .

Это известно как критерий подобия SAS. «SAS» - это мнемоника: каждая из двух S относится к «стороне»; «А» обозначает «угол» между двумя сторонами.

Когда два треугольника △ ABC и △ A′B′C ′ подобны, пишется

△ ABC ∼ △ A′B′C ′ .

Есть несколько элементарных результатов о подобных треугольниках в евклидовой геометрии:

• Любые два равносторонних треугольника подобны.
• Два треугольника, похожие на третий, похожи друг на друга ( транзитивность подобия треугольников).
• Соответствующие высоты одинаковых треугольников имеют такое же отношение, как и соответствующие стороны.
• Два прямоугольных треугольника подобны, если гипотенуза и одна другая сторона имеют одинаковое отношение длин. В этом случае существует несколько эквивалентных условий, например, прямоугольные треугольники имеют острый угол одинаковой меры или длины ног (сторон) в одинаковой пропорции.

Для треугольника △ ABC и отрезка DE с помощью линейки и циркуля можно найти точку F такую, что △ ABC ∼ △ DEF . Утверждение, что точка F, удовлетворяющая этому условию, существует, является постулатом Уоллиса и логически эквивалентно постулату параллельности Евклида . В гиперболической геометрии (где постулат Уоллиса неверен) подобные треугольники конгруэнтны.

В аксиоматической трактовке евклидовой геометрии, данной Г. Д. Биркгофом (см . Аксиомы Биркгофа ), критерий подобия SAS, приведенный выше, был использован для замены как постулата параллельности Евклида, так и аксиомы SAS, что позволило резко сократить аксиомы Гильберта .

Подобные треугольники служат основой для многих синтетических (без использования координат) доказательств в евклидовой геометрии. Среди элементарных результатов , которые могут быть доказаны таким образом , являются: теорема биссектриса , то средняя геометрическая теорема , теорема Чевы , теорема Менелая и теорема Пифагора . Подобные треугольники также служат основой для тригонометрии прямоугольного треугольника .

Другие похожие полигоны

Понятие подобия распространяется на многоугольники с более чем тремя сторонами. Для любых двух подобных многоугольников соответствующие стороны, взятые в одной и той же последовательности (даже если по часовой стрелке для одного многоугольника и против часовой стрелки для другого), пропорциональны, а соответствующие углы, взятые в той же последовательности, равны по мере. Однако пропорциональности соответствующих сторон недостаточно для доказательства подобия многоугольников за пределами треугольников (в противном случае, например, все ромбы были бы подобны). Точно так же равенства всех углов в последовательности недостаточно, чтобы гарантировать подобие (в противном случае все прямоугольники были бы подобны). Достаточным условием подобия многоугольников является пропорциональность соответствующих сторон и диагоналей.

Для данного n все правильные n -угольники подобны.

Подобные кривые

Некоторые типы кривых обладают тем свойством, что все примеры этого типа похожи друг на друга. К ним относятся:

• Круги
• Параболы
• Гиперболы определенного эксцентриситета
• Эллипсы с определенным эксцентриситетом
• Контактные сети
• Графики функции логарифма для разных оснований
• Графики экспоненциальной функции для разных оснований
• Логарифмические спирали самоподобны

В евклидовом пространстве

Подобия (также называется преобразованием подобия или подобие ) из евклидова пространства является взаимно однозначным соответствием F из пространства на себя, умножает все расстояния по одной и тому же положительному вещественному числу г , так , что для любых двух точек х и у мы имеем

${\ Displaystyle д (е (х), е (у)) = рд (х, у), \,}$

где « d ( x , y ) » - евклидово расстояние от x до y . Скалярный г имеет много имен в литературе , в том числе; отношение сходства , то растяжения фактор и коэффициент подобия . При r = 1 подобие называется изометрией ( жестким преобразованием ). Два набора называются подобными, если одно является изображением другого при сходстве.

Как отображение f  : ℝ ⁿ → ℝ ⁿ , подобие отношения r принимает вид

${\ Displaystyle е (х) = rAx + t,}$

где A ∈ O _n (ℝ) - ортогональная матрица размера n × n, а t ∈ ℝ ⁿ - вектор сдвига.

Сходства сохраняют плоскости, линии, перпендикулярность, параллельность, середины, неравенства между расстояниями и отрезками линий. Сходства сохраняют углы, но не обязательно сохраняют ориентацию, прямые сходства сохраняют ориентацию, а противоположные сходства изменяют ее.

Сходство евклидовой формы пространства А группа под операцией композиции называется сходство группы S . Прямые подобия образуют нормальную подгруппу в S, а евклидова группа изометрий E ( n ) также образует нормальную подгруппу. Группа подобий S сама является подгруппой аффинной группы , поэтому каждое подобие является аффинным преобразованием .

Можно рассматривать евклидову плоскость как комплексную плоскость , то есть как двумерное пространство над реалами . Двумерные преобразования подобия затем могут быть выражены в терминах комплексной арифметики и задаются формулами f ( z ) = az + b (прямые подобия) и f ( z ) = a z + b (противоположные подобия), где a и b являются комплексными числа, a ≠ 0 . Когда | а | = 1 , эти подобия являются изометриями.

Соотношения сторон, площадей и объемов

Отношение площадей одинаковых фигур равно квадрату отношения соответствующих длин этих фигур (например, когда сторона квадрата или радиус круга умножаются на три, его площадь умножается на девять - т.е. на три в квадрате). Высота подобных треугольников находится в таком же соотношении, как и соответствующие стороны. Если у треугольника есть сторона длины b и высота, проведенная к этой стороне длины h, тогда аналогичный треугольник с соответствующей стороной длины kb будет иметь высоту, проведенную к этой стороне длины kh . Площадь первого треугольника: A =1/2bh , а площадь аналогичного треугольника будет A ′ =1/2( Кб ) ( кк ) = K ² . Подобные фигуры, которые можно разложить на похожие треугольники, будут иметь одинаковые области, связанные с ними. Это соотношение сохраняется и для цифр, которые нельзя исправить.

Соотношение объемов одинаковых фигур равно кубу отношения соответствующих длин этих фигур (например, когда край куба или радиус сферы умножается на три, его объем умножается на 27 - т.е. на три куба).

Закон квадрата-куба Галилея касается подобных тел. Если отношение подобия (отношение соответствующих сторон) между твердыми телами равно k , то отношение площадей поверхности твердых тел будет k ² , а отношение объемов будет k ³ .

В общих метрических пространствах

Треугольник Серпинского . Пространство, имеющее размерность самоподобияжурнал 3/журнал 2= log ₂ 3 , что приблизительно равно 1,58. (Из измерения Хаусдорфа .)

В общем метрическом пространстве ( X , d ) точное подобие - это функция f из метрического пространства X в себя, которая умножает все расстояния на один и тот же положительный скаляр r , называемый коэффициентом сжатия f , так что для любых двух точек x и у нас есть

${\ Displaystyle д (е (х), е (у)) = рд (х, у). \, \,}$

Более слабые версии подобия будет иметь , например, F быть би- Липшица функции и скаляр г предел

${\ displaystyle \ lim {\ frac {d (f (x), f (y))} {d (x, y)}} = r.}$

Эта более слабая версия применяется, когда метрика является эффективным сопротивлением на топологически самоподобном множестве.

Самоподобное подмножество метрического пространства ( X , d ) - это множество K, для которого существует конечное множество подобий { f _s } _{s ∈ S} с коэффициентами сжатия 0 ≤ r _s <1, такое что K - единственный компакт подмножество X, для которого

Самоподобный набор, построенный с двумя подобиями z '= 0,1 [(4 + i) z + 4] и z' = 0,1 [(4 + 7i) z * + 5-2i]

${\ Displaystyle \ bigcup _ {s \ in S} f_ {s} (K) = K. \,}$

Эти самоподобные множества имеют автомодельную меру μ ^D размерности D, задаваемой формулой

${\ Displaystyle \ сумма _ {s \ in S} (r_ {s}) ^ {D} = 1 \,}$

который часто (но не всегда) совпадает с множеством по Хаусдорфа размерности и упаковки размерности . Если перекрытия между f _s ( K ) "малы", мы имеем следующую простую формулу для меры:

${\ displaystyle \ mu ^ {D} (f_ {s_ {1}} \ circ f_ {s_ {2}} \ circ \ cdots \ circ f_ {s_ {n}} (K)) = (r_ {s_ {1 }} \ cdot r_ {s_ {2}} \ cdots r_ {s_ {n}}) ^ {D}. \,}$

Топология

В топологии , метрическое пространство может быть построено путем определения подобия вместо расстояния . Сходство - это функция, значение которой тем больше, чем ближе две точки (в отличие от расстояния, которое является мерой несходства: чем ближе точки, тем меньше расстояние).

Определение сходства может варьироваться среди авторов в зависимости от желаемых свойств. Основные общие свойства:

1. Положительно определено:

   ${\ Displaystyle \ forall (а, б), S (а, б) \ geq 0}$

2. Специализировался сходством одного элемента на себя ( авто-подобия ):

   ${\ Displaystyle S (a, b) \ leq S (a, a) \ quad {\ text {and}} \ quad \ forall (a, b), S (a, b) = S (a, a) \ Leftrightarrow a = b}$

Могут быть вызваны дополнительные свойства, такие как отражательная способность ( ) или конечность ( ). Верхнее значение часто устанавливается равным 1 (что создает возможность для вероятностной интерпретации подобия). ${\ Displaystyle \ forall (a, b) \ S (a, b) = S (b, a)}$${\ Displaystyle \ forall (a, b) \ S (a, b) <\ infty}$

Обратите внимание, что в используемом здесь топологическом смысле подобие - это своего рода мера . Это использование не то же самое, что преобразование подобия в разделах § В евклидовом пространстве и § В общих разделах о метрических пространствах этой статьи.

Самоподобие

Самоподобие означает, что образец нетривиально подобен самому себе, например, набор {…, 0,5, 0,75, 1, 1,5, 2, 3, 4, 6, 8, 12,…} чисел вида { 2 ⁱ , 3 · 2 ⁱ }, где i пробегает все целые числа. Когда этот набор нанесен на график в логарифмической шкале, он имеет одномерную трансляционную симметрию : добавление или вычитание логарифма двух к логарифму одного из этих чисел дает логарифм другого из этих чисел. В данном наборе чисел это соответствует преобразованию подобия, в котором числа умножаются или делятся на два.

Психология

Интуиция к понятию геометрического подобия уже появляется у человеческих детей, как это видно на их рисунках.

Смотрите также

• Конгруэнтность (геометрия)
• Расстояние Хэмминга (сходство строки или последовательности)
• Преобразование Гельмерта
• Инверсивная геометрия
• Индекс Жаккара
• Пропорциональность
• Основная теорема пропорциональности
• Семантическое сходство
• Поиск сходства
• Сходство (философия)
• Пространство сходства в числовой таксономии
• Гомеоид (оболочка из концентрических, подобных эллипсоидов)
• Решение треугольников

Примечания

использованная литература

• Хендерсон, Дэвид В .; Таймина, Дайна (2005), Опыт геометрии / Евклидова и неевклидова с историей (3-е изд.), Пирсон Прентис-Холл, ISBN 978-0-13-143748-7
• Джейкобс, Гарольд Р. (1974), Геометрия , WH Freeman and Co., ISBN 0-7167-0456-0
• Педо, Дэн (1988) [1970], Геометрия / Комплексный курс , Дувр, ISBN 0-486-65812-0
• Сибли, Томас К. (1998), Геометрическая точка зрения / Обзор геометрий , Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-87450-1
• Смарт, Джеймс Р. (1998), Современная геометрия (5-е изд.), Брукс / Коул, ISBN 0-534-35188-3
• Шталь, Саул (2003), Геометрия / От Евклида до узлов , Прентис-Холл, ISBN 978-0-13-032927-1
• Венема, Джерард А. (2006), Основы геометрии , Пирсон Прентис-Холл, ISBN 978-0-13-143700-5
• Йель, Пол Б. (1968), геометрия и симметрия , Холден-Дэй

дальнейшее чтение

• Джудит Н. Седерберг (1989, 2001) Курс современной геометрии , глава 3.12 Преобразования подобия, стр. 183–9, Springer ISBN  0-387-98972-2 .
• HSM Coxeter (1961,9) Введение в геометрию , §5 «Подобие в евклидовой плоскости», стр. 67–76, §7 «Изометрия и подобие в евклидовом пространстве», стр. 96–104, John Wiley & Sons .
• Гюнтер Эвальд (1971) Геометрия: Введение , стр 106, 181, Wadsworth Publishing .
• Джордж Э. Мартин (1982) Преобразовательная геометрия: введение в симметрию , глава 13 «Сходства на плоскости», стр. 136–46, Springer ISBN  0-387-90636-3 .

внешние ссылки

• Анимированная демонстрация похожих треугольников