Идонеальный номер - Idoneal number

В математике идонеальные числа Эйлера (также называемые подходящими числами или удобными числами ) - это такие положительные целые числа D , что любое целое число, выражаемое только одним способом как x 2  ±  Dy 2 (где x 2 является взаимно простым с Dy 2 ), является степенью простого числа или вдвое большей мощности. В частности, число, которое имеет два различных представления в виде суммы двух квадратов, является составным . Каждое идонеальное число порождает набор, содержащий бесконечно много простых чисел и пропущенный бесконечно много других простых чисел.

Определение

Положительное целое число n является идонеальным тогда и только тогда, когда оно не может быть записано как ab  +  bc  +  ac для различных положительных целых чисел a, b и  c .

Достаточно рассмотреть множество { n + k 2 | k 2 ≤ 3 · n ∧ НОД ( n , k ) = 1} ; если все эти числа имеют вид p , p 2 , 2 · p или 2 s для некоторого целого числа s , где p - простое число, то n является идонеальным.

Предположительно полный список

Нерешенная задача по математике :

Есть ли идонеальные номера 65, 66 или 67?

(больше нерешенных задач по математике)

65 идонеальных чисел, найденных Леонардом Эйлером и Карлом Фридрихом Гауссом и предположительно единственными такими числами, являются

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 15, 16, 18, 21, 22, 24, 25, 28, 30, 33, 37, 40, 42, 45, 48, 57, 58, 60, 70, 72, 78, 85, 88, 93, 102, 105, 112, 120, 130, 133, 165, 168, 177, 190, 210, 232, 240, 253, 273, 280, 312, 330, 345, 357, 385, 408, 462, 520, 760, 840, 1320, 1365 и 1848 (последовательность A000926 в OEIS ).

В 2011 году Эрнст Кани показал, что работа Питера Дж. Вайнбергера предполагает, что существует не более двух других идонеальных чисел, и что приведенный выше список является полным, если выполняется обобщенная гипотеза Римана .

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Эрик Рейнс, OEIS :  A000926 Комментарии к A000926, декабрь 2007 г.
  2. ^ Робертс, Джо: Приманка целых чисел. Математическая ассоциация Америки, 1992 г.
  3. ^ Энн. Sci. Математика. Квебек 35, № 2, (2011), 197-227
  4. ^ Acta Arith., 22 (1973), стр. 117-124

использованная литература

  • З. И. Боревич, И. Р. Шафаревич, Теория чисел . Academic Press, NY, 1966, стр. 425–430.
  • Д.А. Кокс (1989). Простые числа вида x 2  + ny 2 . Wiley-Interscience. п. 61. ISBN 0-471-50654-0.
  • Л. Эйлер, « Иллюстрация парадокса об идонеальных, или подходящих, числах », 1806 г.
  • Г. Фрей, Удобные числа Эйлера, Math. Intell. Vol. 7 № 3 (1985), 55–58 и 64.
  • ОЙ. Келлер, Ueber die "Numeri idonei" von Euler, Beitraege Algebra Geom., 16 (1983), 79–91. [Математика. Ред. 85м: 11019]
  • Г. Б. Мэтьюз, Теория чисел , Челси, без даты, стр. 263.
  • П. Рибенбойм , «Galimatias Arithmeticae», в Mathematics Magazine 71 (5) 339 1998 MAA или «Мои числа, мои друзья», глава 11 Springer-Verlag 2000 NY
  • Дж. Стейниг, Об идеонеальных числах Эйлера, Elemente Math., 21 (1966), 73–88.
  • А. Вейль , теория чисел: подход через историю; от Хаммурапи до Лежандра , Биркхойзер, Бостон, 1984; см. стр. 188.
  • П. Вайнбергер, Экспоненты групп классов комплексных квадратичных полей, Acta Arith., 22 (1973), 117–124.
  • Эрнст Кани, Идеальные числа и некоторые обобщения, Ann. Sci. Математика. Квебек 35, № 2, (2011), 197-227.

внешние ссылки