Высота (треугольник) - Altitude (triangle)

Три высоты треугольника пересекаются в ортоцентре, который для острого треугольника находится внутри треугольника.

В геометрии , высота из треугольника является отрезок через вершину и перпендикуляр к (то есть, образуя прямой угол с) строкой , содержащего основание ( со стороны , противоположной вершиной). Эта линия, содержащая противоположную сторону, называется расширенной базой высоты. Пересечение расширенной базы и высоты называется подножием высоты. Длина высоты, часто называемая просто «высотой», - это расстояние между расширенным основанием и вершиной. Процесс рисования высоты от вершины до ступни называется понижением высоты в этой вершине. Это частный случай ортогональной проекции .

Высоты можно использовать при вычислении площади треугольника: половина произведения длины высоты и длины основания равна площади треугольника. Таким образом, самая длинная высота перпендикулярна самой короткой стороне треугольника. Высоты также связаны со сторонами треугольника через тригонометрические функции .

В равнобедренном треугольнике (треугольнике с двумя равными сторонами) высота, имеющая неконгруэнтную сторону в качестве основания, будет иметь середину этой стороны в качестве основания. Также высота, в основе которой лежит неконгруэнтная сторона, будет биссектрисой угла при вершине.

Обычно высоту отмечают буквой h (как высота ), часто с нижним индексом с названием стороны, на которой отображается высота.

Высота прямоугольного треугольника от его прямого угла до гипотенузы - это среднее геометрическое длин отрезков, на которые разбита гипотенуза. Используя теорему Пифагора о трех треугольниках сторон ( p + q , r , s ) , ( r , p , h ) и ( s , h , q ) ,

{\ displaystyle {\ begin {align} (p + q) ^ {2} \; \; & = \ quad r ^ {2} \; \; \, + \ quad s ^ {2} \\ p ^ { 2} \! \! + \! 2pq \! + \! Q ^ {2} & = \ overbrace {p ^ {2} \! \! + \! H ^ {2}} + \ overbrace {h ^ { 2} \! \! + \! Q ^ {2}} \\ 2pq \ quad \; \; \; & = 2h ^ {2} \; \ поэтому h \! = \! {\ Sqrt {pq}} \\\ конец {выровнен}}}

В прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе c, делит гипотенузу на два отрезка длиной p и q . Если обозначить длину высоты через h _c , то получим соотношение

{\ displaystyle h_ {c} = {\ sqrt {pq}}}

( Геометрическая теорема о среднем )

В прямоугольном треугольнике высота каждого острого угла совпадает с катетом и пересекает противоположную сторону в прямоугольной вершине, которая является ортоцентром (имеет основание в).

Высоты от каждого из острых углов тупого треугольника лежат полностью вне треугольника, как и ортоцентр H.

Для острых треугольников все основания высот приходятся на стороны треугольника (не вытянутые). В тупоугольном треугольнике (треугольнике с тупым углом ) основание высоты до тупоугольной вершины попадает внутрь противоположной стороны, но основания высот к остроугольным вершинам падают на противоположную вытянутую сторону. , вне треугольника. Это проиллюстрировано на соседней диаграмме: в этом тупом треугольнике высота, пониженная перпендикулярно верхней вершине, имеющей острый угол, пересекает расширенную горизонтальную сторону вне треугольника.

Ортоцентр

Три высоты, пересекающиеся в ортоцентре

Три (возможно , расширено) абсолютные высоты пересекаются в одной точке, называемой ортоцентр треугольника, обычно обозначаемый $Н$ . Ортоцентр лежит внутри треугольника тогда и только тогда, когда треугольник острый (т. Е. Не имеет угла больше или равного прямому углу). Если один угол является прямым углом, ортоцентр совпадает с вершиной под прямым углом.

Пусть $A, B, C$ обозначают вершины, а также углы треугольника, и пусть $a = | BC |, b = | CA |, c = | AB |$ быть длинами сторон. Ортоцентр имеет трилинейные координаты

${\ displaystyle \ sec A: \ sec B: \ sec C = \ cos A- \ sin B \ sin C: \ cos B- \ sin C \ sin A: \ cos C- \ sin A \ sin B,}$

и барицентрические координаты

{\ displaystyle \ displaystyle (a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2}) (a ^ {2} -b ^ {2} + c ^ {2}) :( a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2}) (- a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}) :( a ^ {2} -b ^ {2} + c ^ { 2}) (- a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2})}

{\ displaystyle = \ tan A: \ tan B: \ tan C.}

Поскольку все барицентрические координаты положительны для точки внутри треугольника, но по крайней мере одна отрицательна для точки на внешней стороне, а две из барицентрических координат равны нулю для вершины, барицентрические координаты, данные для ортоцентра, показывают, что ортоцентр находится внутри острого треугольника , в прямоугольной вершине прямоугольного треугольника и вне тупого треугольника .

На комплексной плоскости пусть точки $A, B$ и $C$ представляют числа , и, соответственно, и предположим, что центр описанной окружности треугольника $ABC$ расположен в начале координат плоскости. Тогда комплексное число ${\ displaystyle z_ {A}}$ ${\ displaystyle z_ {B}}$ ${\ displaystyle z_ {C}}$

{\ displaystyle z_ {H} = z_ {A} + z_ {B} + z_ {C}}

представлен точкой $H$ , а именно ортоцентром треугольника $ABC$ . Отсюда легко устанавливаются следующие характеристики ортоцентра $H$ с помощью свободных векторов :

{\ displaystyle {\ vec {OH}} = \ sum \ limits _ {\ scriptstyle {\ rm {cyclic}}} {\ vec {OA}}, \ qquad 2 \ cdot {\ vec {HO}} = \ sum \ limits _ {\ scriptstyle {\ rm {cyclic}}} {\ vec {HA}}.}

Первое из предыдущих векторных тождеств также известно как проблема Сильвестра , предложенная Джеймсом Джозефом Сильвестром .

Характеристики

Пусть $D, E$ и $F$ обозначают основания высот от $A, B$ и $C$ соответственно. Потом:

Произведение длин сегментов, на которые ортоцентр делит высоту, одинаково для всех трех высот:

{\ displaystyle AH \ cdot HD = BH \ cdot HE = CH \ cdot HF.}

Круг с центром в

H,

имеющий радиус квадратный корень из этой константы, является полярным кругом треугольника .

Сумма отношений на трех высотах расстояния ортоцентра от основания к длине высоты равна 1: (Это и следующее свойство являются приложениями более общего свойства любой внутренней точки и трех чевиан через Это.)

{\ displaystyle {\ frac {HD} {AD}} + {\ frac {HE} {BE}} + {\ frac {HF} {CF}} = 1.}

Сумма отношений на трех высотах расстояния ортоцентра от вершины к длине высоты равна 2:

{\ displaystyle {\ frac {AH} {AD}} + {\ frac {BH} {BE}} + {\ frac {CH} {CF}} = 2.}

Изогональный конъюгат из ортоцентра является окружностью треугольника.

Изотомическое сопряжение из ортоцентра является симедиана точкой из антикомплементарную треугольника .

Четыре точки на плоскости, одна из которых является ортоцентром треугольника, образованного другими тремя, называются ортоцентрической системой или ортоцентрическим четырехугольником.

Связь с кругами и кониками

Обозначим описанной окружности треугольника с помощью $R$ . потом

{\ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} + AH ^ {2} + BH ^ {2} + CH ^ {2} = 12R ^ {2}.}

Кроме того, обозначая $r$ как радиус вписанной окружности треугольника , $r a, r b$ и $r c$ как радиусы его вневписанных окружностей , а $R$ снова как радиус его описанной окружности, следующие соотношения справедливы относительно расстояний ортоцентра от вершины:

{\ displaystyle r_ {a} + r_ {b} + r_ {c} + r = AH + BH + CH + 2R,}

{\ displaystyle r_ {a} ^ {2} + r_ {b} ^ {2} + r_ {c} ^ {2} + r ^ {2} = AH ^ {2} + BH ^ {2} + CH ^ {2} + (2R) ^ {2}.}

Если любую высоту, например $AD$ , продолжить до пересечения описанной окружности в точке $P$ , так что $AP$ является хордой описанной окружности, то основание $D$ делит сегмент $HP$ пополам :

{\ displaystyle HD = DP.}

В директрисах всех парабол , которые внешне касательную к одной из сторон треугольника и касательной к продолжениям других сторон проходят через ортоцентр.

Circumconic , проходящий через ортоцентр треугольника является прямоугольной гиперболой .

Отношение к другим центрам, девятиточечный круг

Ортоцентр $H$ , центроид $G$ , центр описанной окружности $O$ и центр $N$ окружности из девяти точек лежат на одной прямой, известной как линия Эйлера . Центр окружности из девяти точек находится в средней точке линии Эйлера, между ортоцентром и центром описанной окружности, а расстояние между центром тяжести и центром описанной окружности составляет половину расстояния между центроидом и ортоцентром:

{\ displaystyle OH = 2NH,}

{\ displaystyle 2OG = GH.}

Ортоцентр ближе к центру $I,$ чем к центроиду, а ортоцентр дальше, чем центр тяжести от центроида:

{\ displaystyle HI <HG,}

{\ displaystyle HG> IG.}

С точки зрения сторон $a, b, c$ , радиуса $r$ и радиуса описанной окружности $R$ ,

{\ displaystyle OH ^ {2} = R ^ {2} -8R ^ {2} \ cos A \ cos B \ cos C = 9R ^ {2} - (a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}),}

{\ Displaystyle HI ^ {2} = 2r ^ {2} -4R ^ {2} \ cos A \ cos B \ cos C.}

Ортический треугольник

Треугольник

abc

(соответственно

DEF

в тексте) - это ортический треугольник треугольника

ABC.

Если треугольник $АВС$ является косым (не содержит правый угол), то педаль треугольник из ортоцентра исходного треугольника называется orthic треугольник или высота треугольника . То есть основания высот наклонного треугольника образуют ортический треугольник $DEF$ . Кроме того, центр (центр вписанной окружности) ортогонального треугольника $DEF$ является ортоцентром исходного треугольника $ABC$ .

Трилинейные координаты вершин ортогонального треугольника задаются выражением

$D = 0: сек B : сек C$
$E = сек A : 0: сек C$
$F = сек A : сек B : 0$ .

В протяженной стороны этого треугольника пересекается orthic противоположности расширенной стороны ее опорного треугольника в три коллинеарных точках .

В любом остром треугольнике вписанный треугольник с наименьшим периметром - это ортический треугольник. Это решение проблемы Фаньяно , поставленной в 1775 году. Стороны ортогонального треугольника параллельны касательным к описанной окружности в вершинах исходного треугольника.

Ортический треугольник острого треугольника дает треугольный световой путь.

Касательные линии девятиконечной окружности в серединах сторон $ABC$ параллельны сторонам ортогонального треугольника, образуя треугольник, подобный ортическому треугольнику.

Ортический треугольник тесно связан с касательным треугольником , построенным следующим образом: пусть $L A$ - прямая, касательная к описанной окружности треугольника $ABC$ в вершине $A$ , и аналогично определим $L B$ и $L C.$ Пусть $A " = L B \cap L C$ , $B" = L C \cap L A$ , $C " = L C \cap L A.$ Касательный треугольник - это $A" B "C"$ , стороны которого являются касательными к описанной окружности треугольника $ABC.$ в его вершинах; он гомотетичен ортическому треугольнику. Центр описанной окружности тангенциального треугольника и центр подобия ортического и касательного треугольников находятся на прямой Эйлера .

Трилинейные координаты вершин касательного треугольника задаются выражением

$A " = - a : b : c$
$B " = a : - b : c$
$C " = a : b : - c$ .

Дополнительную информацию об ортическом треугольнике см. Здесь .

Некоторые дополнительные теоремы о высоте

Высота по сторонам

Для любого треугольника со сторонами $a, b, c$ и полупериметром $s = (a + b + c) / 2$ высота со стороны $a$ определяется выражением

{\ displaystyle h_ {a} = {\ frac {2 {\ sqrt {s (sa) (sb) (sc)}}} {a}}.}

Это следует из сочетания формулы Герона для площади треугольника с точкой зрения сторон с формулой площади (1/2) × × высота базы, где основание берутся в качестве бокового $а$ , а высота высоты от $A$ .

Теоремы Инрадиуса

Рассмотрим произвольный треугольник со сторонами $a, b, c$ и соответствующими высотами $h a, h b$ и $h c$ . Высота и радиус вписанной окружности $r$ связаны соотношением

{\ displaystyle \ displaystyle {\ frac {1} {r}} = {\ frac {1} {h_ {a}}} + {\ frac {1} {h_ {b}}} + {\ frac {1} {h_ {c}}}.}

Циркумрадиус теорема

Обозначая высоту от одной стороны треугольника как $ч а$ , а две другие стороны , как $Ь$ и $с$ , и треугольника описанной окружности (радиус описанной окружности треугольника) в качестве $R$ , высота задается

{\ displaystyle h_ {a} = {\ frac {bc} {2R}}.}

Внутренняя точка

Если $p 1, p 2$ и $p 3$ - перпендикулярные расстояния от любой точки $P$ до сторон, а $h 1, h 2$ и $h 3$ - высоты до соответствующих сторон, то

{\ displaystyle {\ frac {p_ {1}} {h_ {1}}} + {\ frac {p_ {2}} {h_ {2}}} + {\ frac {p_ {3}} {h_ {3) }}} = 1.}

Теорема площади

Обозначая высоты любого треугольника со сторон $,$ $б$ и $с$ , соответственно , как , , и , и обозначая полусумму обратных высот , как мы ${\ displaystyle h_ {a}}$ ${\ displaystyle h_ {b}}$ ${\ displaystyle h_ {c}}$ ${\ displaystyle H = (h_ {a} ^ {- 1} + h_ {b} ^ {- 1} + h_ {c} ^ {- 1}) / 2}$

{\ displaystyle \ mathrm {Area} ^ {- 1} = 4 {\ sqrt {H (H-h_ {a} ^ {- 1}) (H-h_ {b} ^ {- 1}) (H-h_ {c} ^ {- 1})}}.}

Общая точка на высоте

Если $E$ - любая точка на высоте $AD$ любого треугольника $ABC$ , то

{\ displaystyle AC ^ {2} + EB ^ {2} = AB ^ {2} + CE ^ {2}.}

Треугольники особого случая

Равносторонний треугольник

Для любой точки $P$ внутри равностороннего треугольника сумма перпендикуляров к трем сторонам равна высоте треугольника. Это теорема Вивиани .

Прямоугольный треугольник

Сравнение обратной теоремы Пифагора с теоремой Пифагора

В прямоугольном треугольнике три высоты $h a, h b$ и $h c$ (первые две из которых равны длинам катетов $b$ и $a$ соответственно) связаны в соответствии с

{\ displaystyle {\ frac {1} {h_ {a} ^ {2}}} + {\ frac {1} {h_ {b} ^ {2}}} = {\ frac {1} {h_ {c}) ^ {2}}}.}

Это также известно как обратная теорема Пифагора .

История

Теорема о том, что три высоты треугольника пересекаются в одной точке, ортоцентре, была впервые доказана в публикации 1749 года Уильямом Чапплом .

Смотрите также

Заметки

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. «Высота» . MathWorld .
Ортоцентр треугольника С интерактивной анимацией
Анимированная демонстрация построения ортоцентра. Компас и линейка.
Проблема Фаньяно Джея Варендорфа, Wolfram Demonstrations Project .

Languages

In other projects