Закон косинусов - Law of cosines

Рис. 1 - Треугольник. Углы

α

(или

A

),

β

(или

B

) и

γ

(или

C

) соответственно противоположны сторонам

a

,

b

и

c

.

В тригонометрии , то закон косинусов (также известный как формулы косинуса , косинусов , или ал-Каши теоремы «ы ) относится длин сторон треугольника на косинус одного из его углов . Используя обозначения, как на рис.1, закон косинусов утверждает

{\ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab \ cos \ gamma,}

где $γ$ обозначает угол, заключенный между сторонами длины $a$ и $b$ и противоположным стороне длины $c$ . Для того же рисунка два других соотношения аналогичны:

{\ displaystyle a ^ {2} = b ^ {2} + c ^ {2} -2bc \ cos \ alpha,}

{\ displaystyle b ^ {2} = a ^ {2} + c ^ {2} -2ac \ cos \ beta.}

Закон косинусов обобщает теорему Пифагора , которая верна только для прямоугольных треугольников : если угол $γ$ является прямым углом (с мерой 90 градусов или $π$ /2 радианы ), то $cos γ = 0$ , и, таким образом, закон косинусов сводится к теореме Пифагора :

{\ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2}.}

Закон косинусов полезен для вычисления третьей стороны треугольника, когда известны две стороны и их внутренний угол, и для вычисления углов треугольника, если известны все три стороны.

История

Рис.2 - Тупой треугольник

ABC

с перпендикуляром

BH

Хотя понятие косинус еще не разработано в свое время, Euclid «s элементы , начиная с 3 - го века до нашей эры, содержит раннюю геометрическую теорему почти эквивалентен закон косинусов. Случаи тупых и острых треугольников (соответствующие двум случаям отрицательного или положительного косинуса) рассматриваются отдельно в предложениях 12 и 13 книги 2. Тригонометрические функции и алгебра (в частности отрицательные числа) отсутствуют во времена Евклида, т.е. утверждение имеет более геометрический оттенок:

Утверждение 12
В треугольниках с тупым углом квадрат на стороне, образующей тупой угол, больше квадратов на сторонах, содержащих тупой угол, в два раза больше прямоугольника, содержащегося на одной из сторон относительно тупого угла, а именно того, на который падает перпендикуляр. , а прямая отрезана снаружи перпендикуляром к тупому углу.

- Евклида элементы , перевод Томаса Л. Хит .

Используя обозначения, как на рис.2, утверждение Евклида можно представить формулой

{\ displaystyle AB ^ {2} = CA ^ {2} + CB ^ {2} +2 (CA) (CH).}

Эту формулу можно преобразовать в закон косинусов, отметив, что $CH = (CB) cos (π - γ) = - (CB) cos γ$ . Предложение 13 содержит полностью аналогичное утверждение для острых треугольников.

Евклид Элементы проложил путь для открытия косинусов. В 15 веке Джамшид аль-Каши , персидский математик и астроном, представил первое явное изложение закона косинусов в форме, пригодной для триангуляции . Он предоставил точные тригонометрические таблицы и выразил теорему в форме, пригодной для современного использования. Начиная с 1990-х годов, во Франции закон косинусов все еще называют Теоретической д'Аль-Каши.

Теорема была популяризировали в западном мире по Вьет в 16 - м века. В начале XIX века современные алгебраические обозначения позволили записать закон косинусов в его нынешней символической форме.

Приложения

Рис. 3 - Применение закона косинусов: неизвестная сторона и неизвестный угол.

Теорема используется в триангуляции для решения треугольника или окружности, т. Е. Для нахождения (см. Рисунок 3):

третья сторона треугольника, если известны две стороны и угол между ними:

{\ displaystyle \, c = {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2} -2ab \ cos \ gamma}} \ ,;}

углы треугольника, если известны три стороны:

{\ displaystyle \, \ gamma = \ arccos \ left ({\ frac {a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2}} {2ab}} \ right) \ ,;}

третья сторона треугольника, если известны две стороны и угол, противоположный одной из них (можно также использовать теорему Пифагора, чтобы сделать это, если это прямоугольный треугольник ):

{\ displaystyle \, a = b \ cos \ gamma \ pm {\ sqrt {c ^ {2} -b ^ {2} \ sin ^ {2} \ gamma}} \ ,.}

Эти формулы приводят к большим ошибкам округления при вычислениях с плавающей запятой, если треугольник очень острый, т. Е. Если $c$ мало относительно $a,$ а $b$ или $γ$ мало по сравнению с 1. Можно даже получить результат немного больше единицы. для косинуса угла.

Третья показанная формула является результатом решения относительно a в квадратном уравнении $a 2 - 2 ab cos γ + b 2 - c 2 = 0$ . Это уравнение может иметь 2, 1 или 0 положительных решений, соответствующих количеству возможных треугольников с учетом данных. У него будет два положительных решения, если $b sin γ < c < b$ , только одно положительное решение, если $c = b sin γ$ , и никакого решения, если $c < b sin γ$ . Эти разные случаи также объясняются неоднозначностью конгруэнтности стороны-стороны-угла .

Доказательства

Используя формулу расстояния

Рис.4 - Доказательство координатной геометрии

Рассмотрим треугольник со сторонами длиной $a$ , $b$ , $c$ , где $θ$ - угол, противоположный стороне длины $c$ . Этот треугольник можно поместить в декартову систему координат со стороной $a,$ выровненной вдоль оси «x», и углом $θ,$ расположенным в начале координат, путем нанесения компонентов трех точек треугольника, как показано на рисунке 4:

{\ displaystyle A = (b \ cos \ theta, b \ sin \ theta), B = (a, 0), {\ text {and}} C = (0,0).}

По расстоянию формулы ,

{\ displaystyle c = {\ sqrt {(ab \ cos \ theta) ^ {2} + (0-b \ sin \ theta) ^ {2}}}.}

Квадрат с обеих сторон и упрощение

{\ displaystyle {\ begin {align} c ^ {2} & {} = (ab \ cos \ theta) ^ {2} + (- b \ sin \ theta) ^ {2} \\ c ^ {2} & {} = a ^ {2} -2ab \ cos \ theta + b ^ {2} \ cos ^ {2} \ theta + b ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta \\ c ^ {2} & {} = a ^ {2} + b ^ {2} (\ sin ^ {2} \ theta + \ cos ^ {2} \ theta) -2ab \ cos \ theta \\ c ^ {2} & {} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab \ cos \ theta. \ end {align}}}

Преимущество этого доказательства в том, что оно не требует рассмотрения различных случаев, когда треугольник острый, прямой или тупой.

Использование тригонометрии

Рис.5 - Острый треугольник с перпендикуляром

Падение перпендикуляра на сторону $c$ через точку $C$ , высоту треугольника, показывает (см. Рис. 5)

{\ Displaystyle с = а \ соз \ бета + б \ соз \ альфа.}

(Это все еще верно, если $α$ или $β$ тупые, и в этом случае перпендикуляр выходит за пределы треугольника.) Умножение на $c$ дает

{\ displaystyle c ^ {2} = ac \ cos \ beta + bc \ cos \ alpha.}

Рассмотрение двух других высот треугольника дает

{\ displaystyle a ^ {2} = ac \ cos \ beta + ab \ cos \ gamma,}

{\ displaystyle b ^ {2} = bc \ cos \ alpha + ab \ cos \ gamma.}

Добавление двух последних уравнений дает

{\ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} = ac \ cos \ beta + bc \ cos \ alpha + 2ab \ cos \ gamma.}

Вычитание первого уравнения из последнего приводит к

{\ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2} = ac \ cos \ beta + bc \ cos \ alpha + 2ab \ cos \ gamma - (ac \ cos \ beta + bc \ cos \ альфа)}

что упрощает

{\ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab \ cos \ gamma.}

Это доказательство использует тригонометрию в том смысле, что оно рассматривает косинусы различных углов как самостоятельные величины. Он использует тот факт, что косинус угла выражает отношение между двумя сторонами, охватывающими этот угол в любом прямоугольном треугольнике. Другие доказательства (ниже) более геометрические в том , что они относятся к выражению , таким как $через соз Г$ лишь в качестве метки для длины определенного отрезка.

Во многих доказательствах отдельно рассматриваются случаи тупого и острого углов $γ$ .

Использование теоремы Пифагора

Тупой треугольник

ABC

высотой

BH

Теорема косинусов в плоской тригонометрии, доказательство на основе теоремы Пифагора.

Случай тупого угла

Евклид доказал эту теорему, применив теорему Пифагора к каждому из двух прямоугольных треугольников на показанном рисунке ( $AHB$ и $CHB$ ). Используя $d$ для обозначения отрезка $CH$ и $h$ для высоты $BH$ , треугольник $AHB$ дает нам

{\ displaystyle c ^ {2} = (b + d) ^ {2} + h ^ {2},}

а треугольник $CHB$ дает

{\ displaystyle d ^ {2} + h ^ {2} = a ^ {2}.}

Расширение первого уравнения дает

{\ displaystyle c ^ {2} = b ^ {2} + 2bd + d ^ {2} + h ^ {2}.}

Подставляя в это второе уравнение, можно получить следующее:

{\ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} + 2bd.}

Это предложение Евклида 12 из Книги 2 Элементов . Чтобы преобразовать его в современную форму закона косинусов, обратите внимание, что

{\ Displaystyle d = а \ соз (\ пи - \ гамма) = - а \ соз \ гамма.}

Случай острого угла

Доказательство Евклидом своего предложения 13 происходит по тем же принципам, что и его доказательство предложения 12: он применяет теорему Пифагора к обоим прямоугольным треугольникам, образованным опусканием перпендикуляра на одну из сторон, охватывающих угол $γ,$ и использует биномиальную теорему для упрощения.

Рис.6 - Краткое доказательство с использованием тригонометрии для случая острого угла

Еще одно доказательство в остром случае

Используя больше тригонометрии, закон косинусов можно вывести с помощью теоремы Пифагора только один раз. Фактически, используя правый треугольник в левой части рис. 6, можно показать, что: ${\ displaystyle {\ begin {align} \ quad c ^ {2} & = (ba \ cos \ gamma) ^ {2} + (a \ sin \ gamma) ^ {2} \\ & = b ^ {2} -2ab \ cos \ gamma + a ^ {2} \ cos ^ {2} \ gamma + a ^ {2} \ sin ^ {2} \ gamma \\ & = b ^ {2} + a ^ {2} - 2ab \ cos \ gamma, \ end {выровнено}}}$

используя тригонометрическое тождество

${\ displaystyle \ quad \ cos ^ {2} \ gamma + \ sin ^ {2} \ gamma = 1.}$

Это доказательство требует небольшой модификации, если $b < a cos (γ)$ . В этом случае прямоугольный треугольник, к которому применяется теорема Пифагора, выходит за пределы треугольника $ABC$ . Единственный эффект это оказывает на расчет в том , что величина $б - соз (γ)$ заменяется $через соз (гамма) - б .$ Поскольку эта величина входит в расчет только через свой квадрат, остальная часть доказательства не затрагивается. Однако эта проблема возникает только тогда, когда $β$ тупой, и ее можно избежать, отразив треугольник относительно биссектрисы $γ$ .

Обращаясь к рис.6, стоит отметить, что если угол, противоположный стороне $a,$ равен $α,$ то:

{\ displaystyle \ tan \ alpha = {\ frac {a \ sin \ gamma} {ba \ cos \ gamma}}.}

Это полезно для прямого вычисления второго угла, когда заданы две стороны и включенный угол.

Используя теорему Птолемея

Доказательство закона косинусов с использованием теоремы Птолемея

Ссылаясь на схему, треугольник ABC со сторонами $AB$ = $c$ , $BC$ = $a$ и $AC$ = $b$ нарисован внутри его описанной окружности, как показано. Треугольник $ABD$ построен конгруэнтно треугольнику $ABC$ с $AD$ = $BC$ и $BD$ = $AC$ . Перпендикуляры из $D$ и $C$ пересекаются с основанием $AB$ в $точках E$ и $F$ соответственно. Потом:

{\ Displaystyle {\ begin {align} & BF = AE = BC \ cos {\ hat {B}} = a \ cos {\ hat {B}} \\\ Rightarrow \ & DC = EF = AB-2BF = c-2a \ cos {\ hat {B}}. \ end {align}}}

Теперь закон косинусов передается прямым применением теоремы Птолемея к циклическому четырехугольнику $ABCD$ :

{\ displaystyle {\ begin {align} & AD \ times BC + AB \ times DC = AC \ times BD \\\ Rightarrow \ & a ^ {2} + c (c-2a \ cos {\ hat {B}}) = b ^ {2} \\\ Rightarrow \ & a ^ {2} + c ^ {2} -2ac \ cos {\ hat {B}} = b ^ {2}. \ end {align}}}

Толком если угол $B$ является правом , то $ABCD$ представляет собой прямоугольник и применение теоремы вытекает Птолемей теорема Пифагора :

{\ displaystyle a ^ {2} + c ^ {2} = b ^ {2}. \ quad}

Сравнивая области

Можно также доказать закон косинусов, вычисляя площади . Изменение знака по мере того, как угол $γ$ становится тупым, делает необходимым различие случаев.

Напомним, что

$a 2$ , $b 2$ и $c 2$ - площади квадратов со сторонами $a$ , $b$ и $c$ соответственно;
если $γ$ острый, то $ab cos γ$ - это площадь параллелограмма со сторонами $a$ и $b,$ образующими угол $γ ' = π / 2 - γ$ ;
если $γ$ тупой, и поэтому $cos γ$ отрицателен, то $- ab cos γ$ - это площадь параллелограмма со сторонами a и b, образующими угол $γ ' = γ - π / 2$ .

Рис. 7a - Доказательство закона косинусов для острого угла

γ

методом «вырезания и склеивания».

Острый случай. На рис. 7а показан семиугольник, разрезанный на более мелкие части (двумя разными способами), чтобы получить доказательство закона косинусов. Различные части

розовым цветом области $a 2$ , $b 2$ слева и области $2 ab cos γ$ и $c 2$ справа;
синим цветом - треугольник $ABC$ , слева и справа;
в серых, вспомогательных треугольников, все конгруэнтны к $ABC$ , равное количество (а именно , 2) как на левой и с правой стороны .

Равенство площадей слева и справа дает

{\ displaystyle \, a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2} + 2ab \ cos \ gamma \ ,.}

Рис. 7b - Доказательство закона косинусов для тупого угла

γ

методом «вырезания и вставки».

Тупой случай. Рисунок 7b разрезает шестиугольник двумя разными способами на более мелкие части, что дает доказательство закона косинусов в случае, когда угол $γ$ тупой. У нас есть

розовым цветом - области $a 2$ , $b 2$ и $-2 ab cos γ$ слева и $c 2$ справа;
синим цветом - треугольник $ABC$ дважды, слева и справа.

Равенство площадей слева и справа дает

{\ displaystyle \, a ^ {2} + b ^ {2} -2ab \ cos (\ gamma) = c ^ {2}.}

Строгое доказательство должно включать доказательства того, что различные формы конгруэнтны и, следовательно, имеют равную площадь. Это будет использовать теорию равных треугольников .

Использование геометрии круга

Используя геометрию круга , можно дать более геометрическое доказательство, чем использование одной только теоремы Пифагора . Алгебраические манипуляции (в частности, биномиальная теорема ) избегаются.

Рис. 8a - Треугольник

ABC

(розовый), вспомогательный круг (голубой) и вспомогательный прямоугольный треугольник (желтый)

Случай острого угла $γ$ , где $a > 2 b cos γ$ . Опустите перпендикуляр из $A$ на $a$ = $BC$ , создав отрезок линии длиной $b cos γ$ . Скопируйте прямоугольный треугольник, чтобы сформировать равнобедренный треугольник $ACP$ . Построить окружность с центром $А$ и радиусом $Ь$ , и его касательную $ч = BH$ через $B$ . Касательная $h$ образует прямой угол с радиусом $b$ ( Элементы Евклида : Книга 3, предложение 18; или см. Здесь ), поэтому желтый треугольник на рисунке 8 является прямым. Примените теорему Пифагора, чтобы получить

{\ displaystyle c ^ {2} = b ^ {2} + h ^ {2}.}

Затем используйте теорему о касательной секущей ( Элементы Евклида : Книга 3, предложение 36), которая гласит, что квадрат на касательной, проходящей через точку $B$ за пределами круга, равен произведению двух отрезков прямых (из $B$ ), созданных любой секущей. окружности через $B$ . В данном случае: $BH 2 = BC \cdot BP$ , или

{\ displaystyle h ^ {2} = a (a-2b \ cos \ gamma).}

Подстановка в предыдущее уравнение дает закон косинусов:

{\ displaystyle c ^ {2} = b ^ {2} + a (a-2b \ cos \ gamma).}

Обратите внимание, что $h 2$ - это степень точки $B$ относительно окружности. Использование теоремы Пифагора и теоремы о касательном секансе может быть заменено однократным применением силы точечной теоремы .

Рис. 8b - Треугольник

ABC

(розовый), вспомогательный круг (голубой) и два вспомогательных прямоугольных треугольника (желтый)

Случай острого угла $γ$ , где $a <2 b cos γ$ . Опустите перпендикуляр из $A$ на $a$ = $BC$ , создав отрезок линии длиной $b cos γ$ . Скопируйте прямоугольный треугольник, чтобы сформировать равнобедренный треугольник $ACP$ . Постройте окружность с центром $A$ и радиусом $b$ и хордой, проходящей через $B$ перпендикулярно точке $c = AB,$ половина которой равна $h = BH .$ Примените теорему Пифагора, чтобы получить

{\ displaystyle b ^ {2} = c ^ {2} + h ^ {2}.}

Теперь воспользуйтесь теоремой о хорде ( Элементы Евклида : Книга 3, предложение 35), которая гласит, что если две хорды пересекаются, произведение двух отрезков, полученных на одной хорде, равно произведению двух отрезков, полученных на другой хорде. . В данном случае: $BH 2 = BC \cdot BP,$ или

{\ displaystyle h ^ {2} = a (2b \ cos \ gamma -a).}

Подстановка в предыдущее уравнение дает закон косинусов:

{\ displaystyle b ^ {2} = c ^ {2} + a (2b \ cos \ gamma -a) \ ,.}

Обратите внимание, что мощность точки $B$ относительно окружности имеет отрицательное значение $- h 2$ .

Рис. 9 - Доказательство закона косинусов с использованием теоремы о степени.

Случай тупого угла $γ$ . В этом доказательстве напрямую используется сила точечной теоремы, без вспомогательных треугольников, полученных путем построения касательной или хорды. Построить окружность с центром $B$ и радиусом $а$ (см рисунок 9), которая пересекает секущую через $A$ и $C$ в $C$ и $K$ . Мощность точки $А$ по отношению к окружности равно как $AB 2 - БК 2$ и $переменного тока \cdot АК$ . Следовательно,

{\ displaystyle {\ begin {align} c ^ {2} -a ^ {2} & {} = b (b + 2a \ cos (\ pi - \ gamma)) \\ & {} = b (b-2a \ cos \ gamma), \ end {выровнены}}}

который является законом косинусов.

Используя алгебраические меры для линейных сегментов (допуская отрицательные числа в качестве длины сегментов), случай тупого угла ( $CK > 0$ ) и острого угла ( $CK <0$ ) можно рассматривать одновременно.

Используя закон синусов

Используя закон синусов и зная, что углы треугольника должны составлять в сумме 180 градусов, мы получаем следующую систему уравнений (три неизвестных - это углы):

{\ displaystyle {\ frac {c} {\ sin \ gamma}} = {\ frac {b} {\ sin \ beta}},}

{\ displaystyle {\ frac {c} {\ sin \ gamma}} = {\ frac {a} {\ sin \ alpha}},}

{\ Displaystyle \ альфа + \ бета + \ гамма = \ пи.}

Тогда, используя третье уравнение системы, мы получаем систему двух уравнений с двумя переменными:

{\ displaystyle {\ frac {c} {\ sin \ gamma}} = {\ frac {b} {\ sin (\ alpha + \ gamma)}},}

{\ displaystyle {\ frac {c} {\ sin \ gamma}} = {\ frac {a} {\ sin \ alpha}},}

где мы использовали тригонометрическое свойство, согласно которому синус дополнительного угла равен синусу угла.

Использование тождества (см. Тождества суммы углов и разности )

{\ Displaystyle \ грех (\ альфа + \ гамма) = \ грех \ альфа \ соз \ гамма + \ грех \ гамма \ соз \ альфа}

приводит к

{\ Displaystyle с (\ грех \ альфа \ соз \ гамма + \ грех \ гамма \ соз \ альфа) = Ь \ грех \ гамма,}

{\ Displaystyle с \ грех \ альфа = а \ грех \ гамма.}

Разделив всю систему на $cos γ$ , получим:

{\ Displaystyle с (\ грех \ альфа + \ загар \ гамма \ соз \ альфа) = Ь \ загар \ гамма,}

{\ Displaystyle {\ гидроразрыва {с \ грех \ альфа} {\ соз \ гамма}} = а \ загар \ гамма,}

{\ displaystyle {\ frac {c ^ {2} \ sin ^ {2} \ alpha} {\ cos ^ {2} \ gamma}} = a ^ {2} \ tan ^ {2} \ gamma.}

Следовательно, из первого уравнения системы можно получить

{\ displaystyle {\ frac {c \ sin \ alpha} {bc \ cos \ alpha}} = \ tan \ gamma}

Подставляя это выражение во второе уравнение и используя

{\ displaystyle 1+ \ tan ^ {2} \ gamma = {\ frac {1} {\ cos ^ {2} \ gamma}}}

мы можем получить одно уравнение с одной переменной:

{\ displaystyle c ^ {2} \ sin ^ {2} \ alpha \ left [1 + {\ frac {c ^ {2} \ sin ^ {2} \ alpha} {(bc \ cos \ alpha) ^ {2 }}} \ right] = a ^ {2} \ cdot {\ frac {c ^ {2} \ sin ^ {2} \ alpha} {(bc \ cos \ alpha) ^ {2}}}}

Умножая на $(b - c cos α) 2$ , мы можем получить следующее уравнение:

{\ displaystyle (bc \ cos \ alpha) ^ {2} + c ^ {2} \ sin ^ {2} \ alpha = a ^ {2}.}

Из этого следует

{\ displaystyle b ^ {2} -2bc \ cos \ alpha + c ^ {2} \ cos ^ {2} \ alpha + c ^ {2} \ sin ^ {2} \ alpha = a ^ {2}.}

Вспоминая тождество Пифагора , получаем закон косинусов:

{\ displaystyle a ^ {2} = b ^ {2} + c ^ {2} -2bc \ cos \ alpha.}

Использование векторов

Обозначить

{\ displaystyle {\ overrightarrow {CB}} = {\ vec {a}}, \ {\ overrightarrow {CA}} = {\ vec {b}}, \ {\ overrightarrow {AB}} = {\ vec {c }}}

Следовательно,

{\ displaystyle {\ vec {c}} = {\ vec {a}} - {\ vec {b}}}

Взяв скалярное произведение каждой стороны с собой:

{\ displaystyle {\ vec {c}} \ cdot {\ vec {c}} = ({\ vec {a}} - {\ vec {b}}) \ cdot ({\ vec {a}} - {\ vec {b}})}

{\ displaystyle \ Vert {\ vec {c}} \ Vert ^ {2} = \ Vert {\ vec {a}} \ Vert ^ {2} + \ Vert {\ vec {b}} \ Vert ^ {2} -2 \, {\ vec {a}} \ cdot {\ vec {b}}}

Использование идентичности (см. Точечный продукт )

{\ displaystyle {\ vec {u}} \ cdot {\ vec {v}} = \ Vert {\ vec {u}} \ Vert \, \ Vert {\ vec {v}} \ Vert \ cos \ angle ({ \ vec {u}}, \ {\ vec {v}})}

приводит к

{\ displaystyle \ Vert {\ vec {c}} \ Vert ^ {2} = \ Vert {\ vec {a}} \ Vert ^ {2} + {\ Vert {\ vec {b}} \ Vert} ^ { 2} -2 \, \ Vert {\ vec {a}} \ Vert \! \; \ Vert {\ vec {b}} \ Vert \ cos \ angle ({\ vec {a}}, \ {\ vec { б}})}

Результат следует.

Равнобедренный случай

Когда $a = b$ , т. Е. Когда треугольник равнобедренный, две стороны которого равны под углом $γ$ , закон косинусов значительно упрощается. А именно, поскольку $a 2 + b 2 = 2 a 2 = 2 ab$ , закон косинусов принимает вид

{\ displaystyle \ cos \ gamma = 1 - {\ frac {c ^ {2}} {2a ^ {2}}}}

или

{\ displaystyle c ^ {2} = 2a ^ {2} (1- \ cos \ gamma).}

Аналог для тетраэдров

Аналогичное утверждение начинается с того, что $α$ , $β$ , $γ$ , $δ$ считаются площадями четырех граней тетраэдра . Обозначим двугранные углы через и т. Д. Тогда ${\ displaystyle {\ widehat {\ beta \ gamma}}}$

{\ displaystyle \ alpha ^ {2} = \ beta ^ {2} + \ gamma ^ {2} + \ delta ^ {2} -2 \ left [\ beta \ gamma \ cos \ left ({\ widehat {\ beta \ gamma}} \ right) + \ gamma \ delta \ cos \ left ({\ widehat {\ gamma \ delta}} \ right) + \ delta \ beta \ cos \ left ({\ widehat {\ delta \ beta}} \верно-верно].}

Версия для малых углов

Когда угол $γ$ мал и смежные стороны $a$ и $b$ имеют одинаковую длину, правая часть стандартной формы закона косинусов может потерять большую точность, что приведет к потере значимости числовых значений . В ситуациях, когда это важно , может оказаться полезной математически эквивалентная версия закона косинусов, аналогичная формуле гаверсинуса :

{\ displaystyle {\ begin {align} c ^ {2} & = (ab) ^ {2} + 4ab \ sin ^ {2} \ left ({\ frac {\ gamma} {2}} \ right) \\ & = (ab) ^ {2} + 4ab \ operatorname {haversin} (\ gamma). \ end {align}}}

В пределе бесконечно малого угла закон косинусов вырождается в формулу длины дуги окружности $c = a γ$ .

В сферической и гиперболической геометрии

Сферический треугольник решается по закону косинусов.

Версии, подобные закону косинусов для евклидовой плоскости, также справедливы для единичной сферы и в гиперболической плоскости. В сферической геометрии треугольник определяется тремя точками $u$ , $v$ и $w$ на единичной сфере и дугами больших окружностей, соединяющими эти точки. Если эти большие круги образуют углы $A$ , $B$ и $C$ с противоположными сторонами $a$ , $b$ , $c,$ то сферический закон косинусов утверждает, что выполняются оба следующих соотношения:

{\ Displaystyle {\ begin {выровнен} \ соз a & = \ соз b \ соз с + \ грех б \ грех с \ соз А \\\ соз А & = - \ соз В \ соз С + \ грех В \ грех С \ соз а . \ end {выровнено}}}

В гиперболической геометрии пара уравнений в совокупности известна как гиперболический закон косинусов . Первый - это

{\ Displaystyle \ сш а = \ сш б \ сш с- \ зп б \ зп с \ соз А}

где $sinh$ и $cosh$ - гиперболические синус и косинус , а второй -

{\ Displaystyle \ соз А = - \ соз В \ соз С + \ грех В \ грех С \ сш а.}

Как и в евклидовой геометрии, можно использовать закон косинусов для определения углов $A$ , $B$ , $C$ из знания сторон $a$ , $b$ , $c$ . В отличие от евклидовой геометрии обратное также возможно в обеих неевклидовых моделях: углы $A$ , $B$ , $C$ определяют стороны $a$ , $b$ , $c$ .

Единая формула для поверхностей постоянной кривизны

Определение двух функций и как ${\ displaystyle \ cos _ {R}}$ ${\ displaystyle \ sin _ {R}}$

{\ Displaystyle \ соз _ {R} (х) = \ соз (х / р) \ квад}

а также

{\ displaystyle \ quad \ sin _ {R} (x) = R \ cdot \ sin (x / R)}

позволяет объединить формулы для плоскости , сферы и псевдосферы в:

{\ displaystyle \ cos _ {R} (BC) = \ cos _ {R} (AB) \ cdot \ cos _ {R} (AC) + {\ frac {1} {R ^ {2}}} \ sin _ {R} (AB) \ cdot \ sin _ {R} (AC) \ cdot \ cos ({\ widehat {BAC}}).}

В этом обозначении - комплексное число , обозначающее радиус кривизны поверхности . ${\ displaystyle R}$

Ибо поверхность - это сфера радиуса , а ее постоянная кривизна равна ${\ Displaystyle R \ in \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle R}$ ${\ Displaystyle 1 / R ^ {2};}$

поскольку поверхность представляет собой псевдосферу (мнимого) радиуса с постоянной кривизной, равной ${\ Displaystyle R = iR '\ двоеточие R' \ in \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle R,}$ ${\ Displaystyle 1 / R ^ {2} = - 1 / R '^ {2};}$

для : поверхность стремится к евклидовой плоскости с постоянной нулевой кривизной. ${\ displaystyle R \ to \ infty}$

Проверка формулы неевклидовой геометрии

В первых двух случаях, и четко определены по всей комплексной плоскости для всех , и извлечения предыдущих результатов просто. ${\ displaystyle \ cos _ {R}}$ ${\ displaystyle \ sin _ {R}}$ ${\ Displaystyle R \ neq 0}$