Кольцо Пуассона - Poisson ring

В математике , А Пуассон кольцо является коммутативным кольцом , на котором антикоммутативная и дистрибутивно бинарная операция , удовлетворяющая тождество Якоби и правила продукта определяется. Такая операция называется скобкой Пуассона кольца Пуассона. ${\ Displaystyle [\ cdot, \ cdot]}$

Многие важные операции и результаты симплектической геометрии и гамильтоновой механики могут быть сформулированы в терминах скобки Пуассона и, следовательно, применимы и к алгебрам Пуассона . Это наблюдение имеет важное значение при изучении классического предела в квантовой механике -The некоммутативной алгебра из операторов на гильбертовом пространстве имеет алгебру Пуассона функций на симплектическое многообразии как особый предел, и свойстве некоммутативных алгебр переходит к соответствующие свойства алгебры Пуассона.

Определение

Скобка Пуассона должна удовлетворять тождествам

• ${\ displaystyle [f, g] = - [g, f]}$ (косая симметрия)
• ${\ displaystyle [f + g, h] = [f, h] + [g, h]}$ (распределенность)
• ${\ displaystyle [fg, h] = f [g, h] + [f, h] g}$( происхождение )
• ${\ displaystyle [е, [g, h]] + [g, [h, f]] + [h, [f, g]] = 0}$( Тождество Якоби )

для всех в ринге. ${\ displaystyle f, g, h}$

Алгебра Пуассона является Пуассон кольца , которое также является алгебра над полем . В этом случае добавьте дополнительное требование

${\ Displaystyle [SF, g] = s [f, g]}$

для всех скаляров s .

Для каждого g в кольце Пуассона A операция, определенная как, является производной . Если множество порождает множество выводов A , то A называется невырожденным . ${\ displaystyle ad_ {g}}$${\ displaystyle ad_ {g} (f) = [f, g]}$${\ displaystyle \ {ad_ {g} | g \ in A \}}$

Если невырожденный Пуассон кольцо изоморфно как коммутативное кольцо к алгебре гладких функций на многообразии М , то М должны быть симплектическим многообразием и является скобка Пуассона определяется симплектической формой . ${\ Displaystyle [\ cdot, \ cdot]}$

Ссылки

• «Если алгебра функций на многообразии - кольцо Пуассона, то многообразие симплектическое» . PlanetMath .

Эта статья включает в себя материал из Poisson Ring на PlanetMath , который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .