Гомоморфизм колец - Ring homomorphism

В теории колец , ветви абстрактной алгебры , гомоморфизм колец - это функция, сохраняющая структуру между двумя кольцами . Более явно, если R и S - кольца, то гомоморфизм колец - это функция f  : RS такая, что f :

добавление сохранения:
для всех a и b в R ,
с сохранением умножения:
для всех a и b в R ,
и единица (мультипликативная идентичность) с сохранением:
.

Аддитивные инверсии и аддитивная идентичность также являются частью структуры, но нет необходимости явно требовать, чтобы они тоже соблюдались, потому что эти условия являются следствием трех условий, приведенных выше.

Если к тому же f - биекция , то ее обратный f −1 также является гомоморфизмом колец. В этом случае f называется изоморфизмом колец , а кольца R и S - изоморфными . С точки зрения теории колец изоморфные кольца нельзя выделить.

Если R и S являются РНГС , то соответствующее представление является то , что из RNG гомоморфизм , как определено выше , за исключением без третьего условия F (1 R ) = 1 S . Гомоморфизм между (унитальными) кольцами не обязательно должен быть гомоморфизмом колец.

Композиция из двух кольцевых гомоморфизмов является кольцевым гомоморфизмом. Отсюда следует, что класс всех колец образует категорию с гомоморфизмами колец как морфизмами (ср. Категорию колец ). В частности, получаются понятия кольцевого эндоморфизма, кольцевого изоморфизма и кольцевого автоморфизма.

Характеристики

Позвольте быть гомоморфизмом колец. Тогда непосредственно из этих определений можно вывести:

  • е (0 R ) = 0 S .
  • е (- ) = - F ( ) для всех а в R .
  • Для любого единичного элемента a в R , f ( a ) - такой единичный элемент, что f ( a −1 ) = f ( a ) −1 . В частности, f индуцирует групповой гомоморфизм от (мультипликативной) группы единиц R к (мультипликативной) группе единиц S (или im ( f )).
  • Изображения из F , обозначается им ( ф ), является подкольцом S .
  • Ядро из F , определяется как кег ( е ) = { в R  : F ( ) = 0 S } , является идеальным в R . Таким образом, каждый идеал кольца R возникает из некоторого гомоморфизма колец.
  • Гомоморфизм f инъективен тогда и только тогда, когда ker ( f ) = {0 R } .
  • Если существует кольцевой гомоморфизм F  : RS , то характеристика из S делит характеристику R . Иногда это можно использовать, чтобы показать, что между некоторыми кольцами R и S не может существовать гомоморфизмов колец RS.
  • Если R p - наименьшее подкольцо, содержащееся в R, а S p - наименьшее подкольцо, содержащееся в S , то каждый гомоморфизм колец f  : RS индуцирует гомоморфизм колец f p  : R pS p .
  • Если R - поле (или, в более общем смысле, тело ), а S - не нулевое кольцо , то f инъективно.
  • Если оба R и S являются полями , то им ( е ) представляет собой подпол S , поэтому S можно рассматривать как расширение поля из R .
  • Если R и S коммутируют и я является идеалом S , то F -1 (I) , является идеалом R .
  • Если R и S коммутируют и Р является простым идеалом из S , то F -1 ( Р ) является простым идеалом R .
  • Если R и S коммутируют, М представляет собой максимальный идеал из S , а е сюрьективен, то F -1 (М) представляет собой максимальный идеал R .
  • Если R и S коммутируют и S является областью целостности , то кег ( е ) представляет собой простой идеал R .
  • Если R и S коммутируют, S является полем, а е сюрьективно, то кег ( е ) представляет собой максимальный идеал из R .
  • Если е сюръективна, Р первична (максимальная) идеал в R , и кег ( е ) ⊆ Р , то Р ( Р ) является первичным (максимальная) идеал в S .

Кроме того,

  • Композиция гомоморфизмов колец является гомоморфизмом колец.
  • Для каждого кольца R тождественное отображение RR является гомоморфизмом колец.
  • Следовательно, класс всех колец вместе с гомоморфизмами колец образует категорию, категорию колец .
  • Нулевое отображение RS, переводящее каждый элемент R в 0, является гомоморфизмом колец, только если S - нулевое кольцо (кольцо, единственный элемент которого равен нулю).
  • Для каждого кольца R , существует единственный кольцевой гомоморфизм ZR . Это говорит о том, что кольцо целых чисел является начальным объектом в категории колец.
  • Для каждого кольца R существует единственный кольцевой гомоморфизм из R в нулевое кольцо. Это говорит о том, что нулевое кольцо является конечным объектом в категории колец.

Примеры

  • Функция f  : ZZ n , определяемая формулой f ( a ) = [ a ] n = a mod n, является сюръективным кольцевым гомоморфизмом с ядром n Z (см. Модулярную арифметику ).
  • Функция f  : Z 6Z 6, определенная формулой f ([ a ] 6 ) = [ 4a ] 6, является rng-гомоморфизмом (и rng-эндоморфизмом) с ядром 3 Z 6 и образом 2 Z 6 (который изоморфен Z 3 ).
  • Гомоморфизма колец Z nZ при n ≥ 1 не существует .
  • Комплексное сопряжение СС представляет собой кольцевой гомоморфизм (это является примером кольцевого автоморфизме.)
  • Если R и S - кольца, нулевая функция из R в S является гомоморфизмом колец тогда и только тогда, когда S - нулевое кольцо . (В противном случае не удается отобразить 1 R в 1 S. ) С другой стороны, нулевая функция всегда является rng гомоморфизмом.
  • Если R [ X ] обозначает кольцо всех многочленов от переменной X с коэффициентами в действительных числах R , а C обозначает комплексные числа , то функция f  : R [ X ] → C определяется формулой f ( p ) = p ( i ) (подставить мнимую единицу i вместо переменной X в многочлене p ) является сюръективным гомоморфизмом колец. Ядро f состоит из всех многочленов из R [ X ], которые делятся на X 2 + 1 .
  • Если f  : RS - гомоморфизм колец между кольцами R и S , то f индуцирует гомоморфизм колец между кольцами матриц M n ( R ) → M n ( S ) .
  • Унитальная алгебра гомоморфизм между унитальными ассоциативными алгебрами над коммутативным кольцом R представляет собой кольцевой гомоморфизм , который также R -линейными .

Не примеры

  • Для произведения колец естественное включение не является гомоморфизмом колец (если не является нулевым кольцом); это потому, что карта не отправляет мультипликативную идентичность для , а именно .

Категория колец

Эндоморфизмы, изоморфизмы и автоморфизмы

  • Кольцо эндоморфизм является кольцевым гомоморфизмом из кольца к себе.
  • Изоморфизм колец является кольцевым гомоморфизмом , имеющим 2-сторонней обратным , который также является кольцевым гомоморфизм. Можно доказать, что гомоморфизм колец является изоморфизмом тогда и только тогда, когда он биективен как функция на базовых множествах. Если существует изоморфизм колец между двумя кольцами R и S , то R и S называются изоморфными . Изоморфные кольца отличаются только перемаркировкой элементов. Пример: с точностью до изоморфизма существует четыре кольца порядка 4. (Это означает, что существует четыре попарно неизоморфных кольца порядка 4, такие что любое другое кольцо порядка 4 изоморфно одному из них.) С другой стороны, с точностью до изоморфизма одиннадцать рангов четвертого порядка.
  • Кольцо автоморфизм является изоморфизмом колец от кольца к себе.

Мономорфизмы и эпиморфизмы

Инъективные кольцевые гомоморфизмы идентичны мономорфизмы в категории колец: Если F  : RS является мономорфизмом , что это не инъективен, то он посылает некоторый г 1 и г 2 к одному элементу из S . Рассмотрим два отображения g 1 и g 2 из Z [ x ] в R, которые переводят x в r 1 и r 2 соответственно; fg 1 и fg 2 идентичны, но поскольку f - мономорфизм, это невозможно.

Однако сюръективные гомоморфизмы колец сильно отличаются от эпиморфизмов в категории колец. Например, включение ZQ является эпиморфизмом колец, но не сюръекцией. Однако они точно такие же, как сильные эпиморфизмы .

Смотрите также

Цитаты

Примечания

использованная литература

  • Артин, Майкл (1991). Алгебра . Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Prentice Hall.
  • Атья, Майкл Ф .; Макдональд, Ян Г. (1969), Введение в коммутативную алгебру , Addison-Wesley Publishing Co., Reading, Mass.-London-Don Mills, Ont., MR  0242802
  • Бурбаки, Н. (1998). Алгебра I, главы 1–3 . Springer.
  • Эйзенбуд, Дэвид (1995). Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии . Тексты для выпускников по математике . 150 . Нью-Йорк: Springer-Verlag . xvi + 785. ISBN 0-387-94268-8. Руководство по ремонту  1322960 .
  • Hazewinkel, Michiel (2004). Алгебры, кольца и модули . Springer-Verlag . ISBN 1-4020-2690-0.
  • Джейкобсон, Натан (1985). Основная алгебра I (2-е изд.). ISBN 9780486471891.
  • Ланг, Серж (2002), Алгебра , Тексты для выпускников по математике , 211 (пересмотренное третье изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR  1878556