Алгебра Пуассона - Poisson algebra

В математике , алгебра Пуассона является ассоциативной алгеброй вместе с кронштейном Ли , что также удовлетворяет закон Лейбница ; то есть скобка также является производной . Алгебры Пуассона естественным образом возникают в гамильтоновой механике , а также занимают центральное место в изучении квантовых групп . Многообразия со структурой алгебры Пуассона известны как многообразия Пуассона , частным случаем которых являются симплектические многообразия и группы Пуассона – Ли . Алгебра названа в честь Симеона Дени Пуассона .

Определение

Алгебра Пуассона - это векторное пространство над полем K, снабженное двумя билинейными произведениями, ⋅ и {,}, обладающими следующими свойствами:

Произведение ⋅ образует ассоциативную K -алгебру .
Произведение {,}, называемое скобкой Пуассона , образует алгебру Ли , поэтому оно антисимметрично и подчиняется тождеству Якоби .
Скобка Пуассона действует как вывод ассоциативного произведения ⋅, так что для любых трех элементов x , y и z в алгебре выполняется { x , y ⋅ z } = { x , y } ⋅ z + y ⋅ { x , z }.

Последнее свойство часто позволяет дать множество различных формулировок алгебры, как отмечено в примерах ниже.

Примеры

Алгебры Пуассона встречаются в различных условиях.

Симплектические многообразия

Пространство вещественнозначных гладких функций над симплектическим многообразием образует алгебру Пуассона. На симплектическом многообразии каждая вещественнозначная функция H на многообразии индуцирует векторное поле X _H , гамильтоново векторное поле . Тогда для любых двух гладких функций F и G над симплектическим многообразием скобка Пуассона может быть определена как:

{\ Displaystyle \ {F, G \} = dG (X_ {F}) = X_ {F} (G) \,}

.

Это определение совместимо отчасти потому, что скобка Пуассона действует как вывод. Эквивалентно, можно определить скобку {,} как

{\ Displaystyle X _ {\ {F, G \}} = [X_ {F}, X_ {G}] \,}

где [,] - производная Ли . Когда симплектическое многообразие R ^{2 n} со стандартной симплектической структурой, то скобка Пуассона принимает хорошо известный вид

{\ displaystyle \ {F, G \} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial F} {\ partial q_ {i}}} {\ frac {\ partial G} {\ partial p_ {i}}} - {\ frac {\ partial F} {\ partial p_ {i}}} {\ frac {\ partial G} {\ partial q_ {i}}}.}.

Аналогичные соображения применимы к пуассоновым многообразиям , которые обобщают симплектические многообразия, позволяя симплектическому бивектору обращаться в нуль на некотором (или тривиально на всех) многообразии.

Алгебры Ли

Тензор алгебра из алгебры Ли имеет структуру алгебры Пуассона. Очень явная конструкция этого дана в статье об универсальных обертывающих алгебрах .

Конструкция начинается с построения тензорной алгебры основного векторного пространства алгебры Ли. Тензорная алгебра - это просто несвязное объединение ( прямая сумма ⊕) всех тензорных произведений этого векторного пространства. Затем можно показать, что скобка Ли может быть последовательно поднята на всю тензорную алгебру: она подчиняется как правилу произведения, так и тождеству Якоби скобки Пуассона и, таким образом, является скобкой Пуассона при поднятии. Тогда пара произведений {,} и ⊗ образует алгебру Пуассона. Заметим, что не коммутативно и не антикоммутативно: оно просто ассоциативно.

Таким образом, имеется общее утверждение, что тензорная алгебра любой алгебры Ли является алгеброй Пуассона. Универсальная обертывающая алгебра получается путем модификации структуры алгебры Пуассона.

Ассоциативные алгебры

Если является ассоциативной алгеброй , то навязывание коммутатора [ х , у ] = х - ух превращает его в алгебру Пуассона (и , таким образом, также алгебра Ли) _L . Обратите внимание, что полученный A _L не следует путать с конструкцией тензорной алгебры, описанной в предыдущем разделе. При желании можно было бы также применить эту конструкцию, но это дало бы другую алгебру Пуассона, гораздо более крупную.

Вершинные операторные алгебры

Для вертексной операторной алгебры (V, Y, ω, 1) пространство V / C ₂ (V) является алгеброй Пуассона с {a, b} = a ₀ b и a ⋅ b = a ₋₁ b . Для некоторых вершинных операторных алгебр эти пуассоновы алгебры конечномерны.

Languages

In other projects