Идеальное кольцо - Perfect ring

В области абстрактной алгебры, известной как теория колец , совершенное слева кольцо - это тип кольца, в котором все левые модули имеют проективные покрытия . Правый случай определяется аналогично, и условие не является симметричным слева направо; то есть существуют кольца, идеально подходящие с одной стороны, но не с другой. Идеальные кольца были представлены в книге Басса.

Полусовершенное кольцо представляет собой кольцо , над которыми каждый конечно порожденный левый модуль имеет проективное покрытие. Это свойство симметрично слева и справа.

Идеальное кольцо

Определения

Следующие эквивалентные определения совершенного слева кольца R были найдены у Адерсона и Фуллера:

• Каждый левый R- модуль имеет проективное покрытие.
• R / J ( R ) полупросто, а J ( R ) T-нильпотентно слева (то есть для каждой бесконечной последовательности элементов J ( R ) существует n такое, что произведение первых n членов равняется нулю), где J ( R ) является радикал Джекобсона из R .
• ( Теорема Басса P ) R удовлетворяет условию убывающей цепи для главных правых идеалов. (Здесь нет ошибки; это условие на правые главные идеалы эквивалентно совершенству слева кольца .)
• Каждый плоский левый R -модуль проективен .
• R / J ( R ) полупрост, и каждый ненулевой левый R- модуль содержит максимальный подмодуль .
• R не содержит бесконечного ортогонального множества идемпотентов , и каждый ненулевой правый модуль R содержит минимальный подмодуль.

Примеры

• Правые или левые артиновы кольца и полупримарные кольца, как известно, совершенны справа и слева.
• Ниже приведен пример (из-за Баса) местного кольца, которое является правильным, но не идеальным слева. Пусть F быть полем, и рассмотрим некоторое кольцо бесконечных матриц над F .

Возьмем множество бесконечных матриц с элементами, индексированными × ℕ и имеющими только конечное число ненулевых элементов, все они выше диагонали, и обозначим это множество через . Также возьмите матрицу со всеми единицами по диагонали и сформируйте набор${\ displaystyle J}$${\ Displaystyle I \,}$

${\ Displaystyle R = \ {е \ cdot I + j \ mid f \ in F, j \ in J \} \,}$

Можно показать , что R представляет собой кольцо с единицей, которой радикал Джекобсона является J . Кроме того, R / J является полем, так что R локально, а R совершенен справа, но не совершенен слева.

Характеристики

Для левого совершенного кольца R :

• Из эквивалентностей выше, каждый левый R- модуль имеет максимальный подмодуль и проективное покрытие, а плоские левые R- модули совпадают с проективными левыми модулями.
• Аналог критерия Бэра справедлив для проективных модулей.

Полусовершенное кольцо

Определение

Пусть R кольцо. Тогда R полусовершенно, если выполнено одно из следующих эквивалентных условий:

• R / J ( R ) является полупрост и идемпотентами поднимать по модулю J ( R ), где J ( R ) является радикал Джекобсона из R .
• R имеет полный ортогональный набор идемпотентов e ₁ , ..., e _n, причем каждое e _i R e _i является локальным кольцом .
• Каждый простой левый (правый) R -модуль имеет проективное покрытие .
• Каждый конечно порожденный левый (правый) R -модуль имеет проективное покрытие.
• Категория конечно порожденных проективных -модулей - это категория Крулля-Шмидта .${\ displaystyle R}$

Примеры

Примеры полусовершенных колец включают:

• Слева (справа) идеальные кольца.
• Местные кольца .
• Теорема Капланского о проективных модулях
• Слева (справа) артиновы кольца .
• Конечномерные k -алгебры .

Характеристики

Поскольку кольцо R полусовершенно тогда и только тогда, когда каждый простой левый R -модуль имеет проективное покрытие, каждое кольцо Морита, эквивалентное полусовершенному кольцу, также является полусовершенным.

Цитаты

Рекомендации