Теорема Хопкинса – Левицки - Hopkins–Levitzki theorem

В ветви абстрактной алгебры называется теорией колец , то Акизуки-Хопкинс-Левицкий теорема связывает условие цепи нисходящей и восходящая цепь состояние в модулях над полупримарными кольцами. Кольцо R (с 1) называется полупримарным, если R / J ( R ) полупросто и J ( R ) - нильпотентный идеал , где J ( R ) обозначает радикал Джекобсона . Теорема утверждает, что если R - полупримарное кольцо, а M - R- модуль, три модульных условия нетерово , артиново и «имеет композиционный ряд » эквивалентны. Без полупервичного условия единственное истинное следствие состоит в том, что если M имеет композиционный ряд, то M одновременно и нетерово, и артиново.

Текущая форма теоремы взята из статьи Чарльза Хопкинса и статьи Якоба Левицки , выпущенных в 1939 году. По этой причине ее часто называют теоремой Хопкинса – Левицки . Однако Ясуо Акизуки иногда включается, поскольку он доказал результат для коммутативных колец несколькими годами ранее, в 1935 году.

Поскольку известно, что артиново справа кольцо полупримарно, прямое следствие теоремы таково: артиново справа кольцо также нётерово справа . Аналогичное утверждение верно и для артиновых левых колец. В целом это неверно для артинианских модулей, потому что есть примеры артиновых модулей, которые не являются нётеровыми .

Другое прямое следствие состоит в том, что если R артиново справа, то R является артиновым слева тогда и только тогда, когда оно нётерово слева.

Эскиз доказательства

Вот доказательство следующего: пусть R - полупримарное кольцо, а M - левый R -модуль. Если M артиново или нетерово, то M имеет композиционный ряд. (Обратное верно для любого кольца.)

Пусть J быть радикалом R . Установить . R модуль может быть затем рассматривать как -модуль , поскольку J содержится в аннуляторе из . Каждый является полупростым -модулем, поскольку является полупростым кольцом. Кроме того, поскольку J нильпотентен, только конечное число ненулевых. Если M артиново (или нетерово), то имеет конечный композиционный ряд. Штабелеры композиционного ряда из конца в конец, мы получим композиционный ряд для М . ${\ displaystyle F_ {i} = J ^ {i-1} M / J ^ {i} M}$${\ displaystyle F_ {i}}$${\ displaystyle R / J}$${\ displaystyle F_ {i}}$${\ displaystyle F_ {i}}$ ${\ displaystyle R / J}$${\ displaystyle R / J}$${\ displaystyle F_ {i}}$${\ displaystyle F_ {i}}$${\ displaystyle F_ {i}}$

В категориях Гротендика

Существует несколько обобщений и расширений теоремы. Один касается категорий Гротендика : если G является категорией Гротендика с артиновым генератором, то каждый артиновский объект в G является нётеровым.

Смотрите также

• Артинианский модуль
• Нётерский модуль
• Композиция серии

Рекомендации

• Кон, PM (2003), Основная алгебра: группы, кольца и поля
• Чарльз Хопкинс (1939) Кольца с минимальным условием для левых идеалов , Ann. математики. (2) 40, страницы 712–730.
• TY Lam (2001) Первый курс некоммутативных колец , Springer-Verlag. стр. 55 ISBN   0-387-95183-0
• Якоб Левицки (1939) О кольцах, удовлетворяющих условию минимума для правых идеалов , Compositio Mathematica, т. 7, стр. 214–222.