Симметричная билинейная форма - Symmetric bilinear form

В математике , A симметричная билинейная форма на векторном пространстве является билинейным отображением из двух экземпляров векторного пространства в поле из скаляров таким образом, что порядок следования двух векторов не влияет на стоимость карты. Другими словами, это билинейная функция, которая отображает каждую пару элементов векторного пространства в базовое поле так, что для каждого и in . Они также называются более кратко просто симметричными формами, когда понимается «билинейные». ${\ displaystyle B}$ ${\ Displaystyle (и, v)}$ ${\ displaystyle V}$ ${\ Displaystyle В (и, v) = В (v, и)}$ ${\ displaystyle u}$ ${\ displaystyle v}$ ${\ displaystyle V}$

Симметричные билинейные формы на конечномерных векторных пространств точности соответствуют симметричных матриц , приведенных в основу для V . Среди билинейных форм важны симметричные, потому что они - те, для которых векторное пространство допускает особенно простой вид базиса, известный как ортогональный базис (по крайней мере, когда характеристика поля не равна 2).

Для симметричной билинейной формы B функция q ( x ) = B ( x , x ) является ассоциированной квадратичной формой в векторном пространстве. Более того, если характеристика поля не равна 2, B - единственная симметричная билинейная форма, связанная с q .

Формальное определение

Пусть V векторное пространство размерности п над полем K . Карта является симметричной билинейной формой на пространстве , если: ${\ displaystyle B: V \ times V \ rightarrow K}$

${\ Displaystyle B (u, v) = B (v, u) \ \ quad \ forall u, v \ in V}$
${\ Displaystyle B (U + v, w) = B (u, w) + B (v, w) \ \ quad \ forall u, v, w \ in V}$
${\ Displaystyle В (\ лямбда v, ш) = \ лямбда В (v, ш) \ \ четырехъядерный \ forall \ лямбда \ в K, \ forall v, ш \ в V}$

Последние две аксиомы устанавливают линейность только по первому аргументу, но первая аксиома (симметрия) сразу же подразумевает линейность и по второму аргументу.

Примеры

Пусть V = R ⁿ , n- мерное вещественное векторное пространство. Тогда стандартное скалярное произведение представляет собой симметричную билинейную форму, B ( x , y ) = x ⋅ y . Матрица, соответствующая этой билинейной форме (см. Ниже) на стандартном базисе, является единичной матрицей.

Пусть V - любое векторное пространство (включая, возможно, бесконечномерное), и предположим, что T - линейная функция от V к полю. Тогда функция, определяемая формулой B ( x , y ) = T ( x ) T ( y ), является симметричной билинейной формой.

Пусть V - векторное пространство непрерывных вещественных функций одной переменной. Ибо можно определить . В силу свойств определенных интегралов , это определяет симметричную билинейную форму на V . Это пример симметричной билинейной формы, которая не связана ни с какой симметричной матрицей (поскольку векторное пространство бесконечномерно). ${\ displaystyle f, g \ in V}$ ${\ displaystyle \ textstyle B (f, g) = \ int _ {0} ^ {1} f (t) g (t) dt}$

Матричное представление

Пусть базис для V . Определим матрицу A размера n × n с помощью . Матрица A является симметричной матрицей именно из-за симметрии билинейной формы. Если матрица x размером n × 1 представляет вектор v относительно этого базиса, и аналогично, y представляет w , то задается следующим образом: ${\ Displaystyle С = \ {е_ {1}, \ ldots, е_ {п} \}}$ ${\ displaystyle A_ {ij} = B (e_ {i}, e_ {j})}$ ${\ displaystyle B (v, w)}$

{\ displaystyle x ^ {\ mathsf {T}} Ay = y ^ {\ mathsf {T}} Ax.}

Пусть C» , является еще одним основанием для V , с: с S обратимого п × п матрицы. Теперь новое матричное представление для симметричной билинейной формы имеет вид ${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} e '_ {1} & \ cdots & e' _ {n} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} e_ {1} & \ cdots & e_ {n} \ end {bmatrix}} S}$

{\ displaystyle A '= S ^ {\ mathsf {T}} AS.}

Ортогональность и сингулярность

Симметричная билинейная форма всегда рефлексивна . Два вектора v и w определяются как ортогональные относительно билинейной формы B, если B ( v , w ) = 0 , что в силу рефлексивности эквивалентно B ( w , v ) = 0 .

Радикалом билинейной формы B есть множество векторов , ортогональных с каждым вектором в V . То, что это подпространство V, следует из линейности B по каждому из его аргументов. При работе с матричным представлением A относительно некоторого базиса v , представленная x , находится в радикале тогда и только тогда, когда

{\ displaystyle Ax = 0 \ Longleftrightarrow x ^ {\ mathsf {T}} A = 0.}

Матрица A сингулярна тогда и только тогда, когда радикал нетривиален.

Если W является подмножеством V , то его ортогональное дополнение W ^⊥ - это множество всех векторов в V , которые ортогональны каждому вектору в W ; это подпространство V . Когда B невырожден, радикал B тривиален и размерность W ^⊥ равна dim ( W ^⊥ ) = dim ( V ) - dim ( W ) .

Ортогональный базис

Базис ортогонален относительно B тогда и только тогда, когда: ${\ Displaystyle С = \ {е_ {1}, \ ldots, е_ {п} \}}$

{\ displaystyle B (e_ {i}, e_ {j}) = 0 \ \ forall i \ neq j.}

Когда характеристика поля не равна двум, V всегда имеет ортогональный базис. Это можно доказать по индукции .

Базис C ортогонален тогда и только тогда, когда матричное представление A является диагональной матрицей .

Подпись и закон инерции Сильвестра

В более общей форме закон инерции Сильвестра гласит, что при работе с упорядоченным полем числа диагональных элементов в диагонализованной форме матрицы, которые являются положительными, отрицательными и нулевыми соответственно, не зависят от выбранного ортогонального базиса. Эти три числа образуют сигнатуру билинейной формы.

Реальный случай

При работе с пространством над реалами можно пойти немного дальше. Позвольте быть ортогональным базисом. ${\ Displaystyle С = \ {е_ {1}, \ ldots, е_ {п} \}}$

Определяем новую основу ${\ Displaystyle C '= \ {е' _ {1}, \ ldots, e '_ {п} \}}$

{\ displaystyle e '_ {i} = {\ begin {cases} e_ {i} & {\ text {if}} B (e_ {i}, e_ {i}) = 0 \\ {\ frac {e_ { i}} {\ sqrt {B (e_ {i}, e_ {i})}}} & {\ text {if}} B (e_ {i}, e_ {i})> 0 \\ {\ frac { e_ {i}} {\ sqrt {-B (e_ {i}, e_ {i})}}} & {\ text {if}} B (e_ {i}, e_ {i}) <0 \ end { случаи}}}

Теперь новое матричное представление A будет диагональной матрицей только с 0, 1 и −1 на диагонали. Нули появятся тогда и только тогда, когда радикал нетривиален.

Сложный случай

Работая в пространстве над комплексными числами, можно пойти и дальше, и это даже проще. Позвольте быть ортогональным базисом. ${\ Displaystyle С = \ {е_ {1}, \ ldots, е_ {п} \}}$

Определяем новую основу : ${\ Displaystyle C '= \ {е' _ {1}, \ ldots, e '_ {п} \}}$

{\ displaystyle e '_ {i} = {\ begin {case} e_ {i} & {\ text {if}} \; B (e_ {i}, e_ {i}) = 0 \\ e_ {i} / {\ sqrt {B (e_ {i}, e_ {i})}} & {\ text {if}} \; B (e_ {i}, e_ {i}) \ neq 0 \\\ end {case }}}

Теперь новое матричное представление A будет диагональной матрицей только с 0 и 1 на диагонали. Нули появятся тогда и только тогда, когда радикал нетривиален.

Ортогональные полярности

Пусть B - симметричная билинейная форма с тривиальным радикалом на пространстве V над полем K с характеристикой не 2. Теперь можно определить отображение из D ( V ), множества всех подпространств в V , в себя:

{\ Displaystyle \ альфа: D (V) \ rightarrow D (V): W \ mapsto W ^ {\ perp}.}

Это отображение является ортогональной полярностью на проективном пространстве PG ( W ). Наоборот, можно доказать, что все ортогональные полярности индуцированы таким образом, и что две симметричные билинейные формы с тривиальным радикалом индуцируют одну и ту же полярность тогда и только тогда, когда они равны с точностью до скалярного умножения.

Languages

In other projects