Расширение руды - Ore extension

В математике , особенно в области алгебры, известной как теория колец , расширение Оре , названное в честь Эйстейна Оре , представляет собой особый тип расширения кольца , свойства которого относительно хорошо изучены. Элементы расширения Оре называются многочленами Оре .

Расширения Рудные появляются в нескольких природных условиях, в том числе косых и дифференциальных полиномиальных колец , групповые алгебр из полициклических групп , универсальные огибающие алгебр из разрешимых алгебр Ли и скоординировать кольца из квантовых групп .

Определение

Предположите , что R является (не обязательно коммутативным) кольцом , этим кольцо гомоморфизма , и является σ -дифференцированием из R , что означает , что есть гомоморфизм абелевых групп , удовлетворяющий ${\ Displaystyle \ sigma \ двоеточие R \ to R}$${\ displaystyle \ delta \ двоеточие R \ to R}$ ${\ displaystyle \ delta}$

${\ displaystyle \ delta (r_ {1} r_ {2}) = \ sigma (r_ {1}) \ delta (r_ {2}) + \ delta (r_ {1}) r_ {2}}$ .

Тогда расширение Оре , также называемое косым кольцом многочленов , представляет собой некоммутативное кольцо, полученное путем придания кольцу многочленов нового умножения с учетом тождества ${\ Displaystyle R [х; \ сигма, \ дельта]}$ ${\ displaystyle R [x]}$

${\ displaystyle xr = \ sigma (r) x + \ delta (r)}$ .

Если δ = 0 (т.е. является нулевым отображением), то расширение Оре обозначается R [ x ; σ ]. Если σ = 1 (т. Е. Тождественное отображение), то расширение Оре обозначается R [ x , δ ] и называется кольцом дифференциальных многочленов .

Примеры

Эти алгебры Вейля являются Рудными расширениями, с R коммутативного кольца многочленов , σ тождества кольца эндоморфизма, а & delta ; полином производной. Алгебры Оре - это класс повторных расширений Оре при подходящих ограничениях, которые позволяют развить некоммутативное расширение теории базисов Гребнера .

Характеристики

• Расширение домена Ore - это домен.
• Расширение Оре тела - это некоммутативная область главных идеалов .
• Если σ - автоморфизм и R - нётерово слева кольцо, то расширение Оре R [ λ ; σ , δ ] также нётер слева.

Элементы

Элемент f кольца Орэ R называется

• двусторонний (или инвариантный ), если R · f = f · R , и
• Центральная , если г · F = F · г для всех г ∈ R .

дальнейшее чтение

• Goodearl, KR; Варфилд, РБ, младший (2004), Введение в некоммутативные нётеровы кольца, второе издание , Лондонские тексты студентов математического общества, 61 , Кембридж: Издательство Кембриджского университета , ISBN   0-521-54537-4 , MR   2080008
• МакКоннелл, JC; Робсон, Дж. К. (2001), Некоммутативные нётеровы кольца , Аспирантура по математике , 30 , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN   978-0-8218-2169-5 , MR   1811901
• Азеддин Уарит (1992) Extensions de ore d'anneaux noetheriens á ip, Comm. Алгебра, 20 № 6,1819-1837. https://zbmath.org/?q=an:0754.16014
• Азеддин Уарит (1994) Замечание о свойстве Якобсона расширений П. И. Оре. (Une remarque sur la propriété de Jacobson des extension de Ore a IP) (французский) Zbl 0819.16024. Arch. Математика. 63, № 2, 136-139 (1994). https://zbmath.org/?q=an:00687054
• Роуэн, Луи Х. (1988), Теория колец, т. I, II , Чистая и прикладная математика, 127, 128, Бостон, Массачусетс: Academic Press , ISBN   0-12-599841-4 , Руководство по ремонту   0940245

Рекомендации