Апейрогональная черепица Порядка-3 - Order-3 apeirogonal tiling

Апейрогональная мозаика порядка 3
Пуанкаре диск модель в гиперболической плоскости
Тип	Гиперболический правильный тайлинг
Конфигурация вершины	∞ ³
Символ Шлефли	{∞, 3} t {∞, ∞} t (∞, ∞, ∞)
Символ Wythoff	3 \| ∞ 2 2 ∞ \| ∞ ∞ ∞ ∞ \|
Диаграмма Кокстера
Группа симметрии	[∞, 3], (* ∞32) [∞, ∞], (* ∞∞2) [(∞, ∞, ∞)], (* ∞∞∞)
Двойной	Треугольная мозаика бесконечного порядка
Характеристики	Вершинно-транзитивный , реберно-транзитивный , гранно-транзитивный

В геометрии , то порядок-3 apeirogonal плиточный является регулярным разбиением на гиперболической плоскости . Он представлен символом Шлефли {∞, 3}, имеющим три правильных апейрогона вокруг каждой вершины. Каждый апейрогон вписан в орицикл .

Порядок-2 apeirogonal плиточные представляет собой бесконечный двугранный угол в евклидовой плоскости , как {∞, 2}.

Изображений

Каждый apeirogon лицо ограниченный по орицикла , который выглядит как круг в дисковой модели Пуанкаре , внутренне касательной к проективной границе окружности.

Равномерная окраска

Как и в случае евклидова гексагональной мозаики , существует 3 однородных раскраски апейрогональной мозаики порядка 3 , каждая из разных областей группы отражающих треугольников :

Обычный	Усечения
{∞, 3}	т _0,1 {∞, ∞}	т _1,2 {∞, ∞}	т {∞ ^[3] }
Группы гиперболических треугольников
[∞, 3]	[∞, ∞]		[(∞, ∞, ∞)]

Симметрия

Двойственный к этому замощению представляет фундаментальные области симметрии [(∞, ∞, ∞)] (* ∞∞∞). Есть 15 малых индексных подгрупп (7 уникальных), построенных из [(∞, ∞, ∞)] путем зеркального удаления и чередования. Зеркала могут быть удалены, если все заказы его филиалов равны, и сокращает заказы соседних филиалов вдвое. Удаление двух зеркал оставляет точку вращения половинного порядка, где встречаются снятые зеркала. На этих изображениях основные области попеременно окрашены в черный и белый цвета, а на границах между цветами существуют зеркала. Симметрия может быть удвоена до ∞∞2 симметрии , добавив зеркало, разделяющее фундаментальную область пополам. Разделение фундаментальной области на 3 зеркала создает симметрию ∞32 .

Строится большая подгруппа [(∞, ∞, ∞ ^* )], индекс 8, так как (∞ * ∞ ^∞ ) с удаленными точками вращения становится (* ∞ ^∞ ).

Подгруппы [(∞, ∞, ∞)] (* ∞∞∞)
Показатель	1	2			4
Диаграмма
Coxeter	[(∞, ∞, ∞)]	[(1 ⁺ , ∞, ∞, ∞)] знак равно	[(∞, 1 ⁺ , ∞, ∞)] знак равно	[(∞, ∞, 1 ⁺ , ∞)] знак равно	[(1 ⁺ , ∞, 1 ⁺ , ∞, ∞)]	[(∞ ⁺ , ∞ ⁺ , ∞)]
Орбифолд	* ∞∞∞	* ∞∞∞∞			∞ * ∞∞∞	∞∞∞ ×
Диаграмма
Coxeter		[(∞, ∞ ⁺ , ∞)]	[(∞, ∞, ∞ ⁺ )]	[(∞ ⁺ , ∞, ∞)]	[(∞, 1 ⁺ , ∞, 1 ⁺ , ∞)]	[(1 ⁺ , ∞, ∞, 1 ⁺ , ∞)] знак равно
Орбифолд		∞ * ∞			∞ * ∞∞∞
Прямые подгруппы
Показатель	2	4			8
Диаграмма
Coxeter	[(∞, ∞, ∞)] ⁺	[(∞, ∞ ⁺ , ∞)] ⁺ знак равно	[(∞, ∞, ∞ ⁺ )] ⁺ знак равно	[(∞ ⁺ , ∞, ∞)] ⁺ знак равно	[(∞, 1 ⁺ , ∞, 1 ⁺ , ∞)] ⁺ знак равно
Орбифолд	∞∞∞	∞∞∞∞			∞∞∞∞∞∞
Радикальные подгруппы
Показатель	∞			∞
Диаграмма
Coxeter	[(∞, ∞ *, ∞)]	[(∞, ∞, ∞ *)]	[(∞ *, ∞, ∞)]	[(∞, ∞ *, ∞)] ⁺	[(∞, ∞, ∞ *)] ⁺	[(∞ *, ∞, ∞)] ⁺
Орбифолд	∞ * ∞ ^∞			∞ ^∞

Связанные многогранники и мозаики

Это разбиение топологически связано как часть последовательности правильных многогранников с символом Шлефли {n, 3}.

* n 32 изменение симметрии правильных мозаик: { n , 3} v т е
Сферический				Евклидово	Компактная гиперболия.		Paraco.	Некомпактный гиперболический

{2,3}	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞, 3}	{12i, 3}	{9i, 3}	{6i, 3}	{3i, 3}

Паракомпактные равномерные мозаики в семействе [∞, 3] v т е
Симметрия: [∞, 3], (* ∞32)							[∞, 3] ⁺ (∞32)	[1 ⁺ , ∞, 3] (* ∞33)		[∞, 3 ⁺ ] (3 * ∞)

		знак равно	знак равно	знак равно				знак равно или же	знак равно или же	знак равно

{∞, 3}	т {∞, 3}	г {∞, 3}	т {3, ∞}	{3, ∞}	rr {∞, 3}	tr {∞, 3}	sr {∞, 3}	h {∞, 3}	h ₂ {∞, 3}	s {3, ∞}
Униформа двойников


V∞ ³	V3.∞.∞	V (3.∞) ²	V6.6.∞	V3 ^∞	V4.3.4.∞	V4.6.∞	V3.3.3.3.∞	V (3.∞) ³		V3.3.3.3.3.∞

Паракомпактные равномерные мозаики в семействе [∞, ∞] v т е
знак равно знак равно	знак равно знак равно	знак равно знак равно	знак равно знак равно	знак равно знак равно	знак равно	знак равно

{∞, ∞}	т {∞, ∞}	г {∞, ∞}	2t {∞, ∞} = t {∞, ∞}	2r {∞, ∞} = {∞, ∞}	rr {∞, ∞}	tr {∞, ∞}
Двойные мозаики


V∞ ^∞	V∞.∞.∞	V (∞.∞) ²	V∞.∞.∞	V∞ ^∞	V4.∞.4.∞	V4.4.∞
Чередования
[1 ⁺ , ∞, ∞] (* ∞∞2)	[∞ ⁺ , ∞] (∞ * ∞)	[∞, 1 ⁺ , ∞] (* ∞∞∞∞)	[∞, ∞ ⁺ ] (∞ * ∞)	[∞, ∞, 1 ⁺ ] (* ∞∞2)	[(∞, ∞, 2 ⁺ )] (2 * ∞∞)	[∞, ∞] ⁺ (2∞∞)


h {∞, ∞}	s {∞, ∞}	hr {∞, ∞}	s {∞, ∞}	h ₂ {∞, ∞}	чрр {∞, ∞}	sr {∞, ∞}
Двойное чередование


V (∞.∞) ^∞	V (3.∞) ³	V (∞.4) ⁴	V (3.∞) ³	V∞ ^∞	V (4.∞.4) ²	V3.3.∞.3.∞

Паракомпактные равномерные мозаики в семействе [(∞, ∞, ∞)] v т е



(∞, ∞, ∞) h {∞, ∞}	r (∞, ∞, ∞) h ₂ {∞, ∞}	(∞, ∞, ∞) h {∞, ∞}	r (∞, ∞, ∞) h ₂ {∞, ∞}	(∞, ∞, ∞) h {∞, ∞}	r (∞, ∞, ∞) r {∞, ∞}	t (∞, ∞, ∞) t {∞, ∞}
Двойные мозаики

V∞ ^∞	V∞.∞.∞.∞	V∞ ^∞	V∞.∞.∞.∞	V∞ ^∞	V∞.∞.∞.∞	V∞.∞.∞
Чередования
[(1 ⁺ , ∞, ∞, ∞)] (* ∞∞∞∞)	[∞ ⁺ , ∞, ∞)] (∞ * ∞)	[∞, 1 ⁺ , ∞, ∞)] (* ∞∞∞∞)	[∞, ∞ ⁺ , ∞)] (∞ * ∞)	[(∞, ∞, ∞, 1 ⁺ )] (* ∞∞∞∞)	[(∞, ∞, ∞ ⁺ )] (∞ * ∞)	[∞, ∞, ∞)] ⁺ (∞∞∞)


Двойное чередование

V (∞.∞) ^∞	V (∞.4) ⁴	V (∞.∞) ^∞	V (∞.4) ⁴	V (∞.∞) ^∞	V (∞.4) ⁴	V3.∞.3.∞.3.∞

Смотрите также

Замощения правильных многоугольников
Список однородных плоских мозаик
Список правильных многогранников
Шестигранный черепичный сотовый заполнитель , аналогичный сотовому {6,3,3} в H ³ .

использованная литература

Джон Х. Конвей , Хайди Берджел, Хаим Гудман-Штрасс, Симметрии вещей 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Глава 19, Гиперболические архимедовы мозаики)
«Глава 10: Обычные соты в гиперболическом пространстве». Красота геометрии: двенадцать очерков . Dover Publications. 1999. ISBN 0-486-40919-8 . LCCN 99035678 .

Languages

In other projects