Многокомпонентная запутанность - Multipartite entanglement

В случае систем, состоящих из подсистем, классификация квантово-запутанных состояний богаче, чем в двудольном случае. В самом деле, в многочастной запутанности, помимо полностью разделимых состояний и полностью запутанных состояний , также существует понятие частично разделимых состояний. ${\ displaystyle m> 2}$

Полная и частичная отделимость

Определения полностью отделимых и полностью запутанных многосторонних состояний естественным образом обобщают определения сепарабельных и запутанных состояний в двудольном случае следующим образом.

Полная m -раздельная разделимость ( m- разделимость) m систем

Состояние из подсистем с гильбертова пространства вполне отделимы тогда и только тогда , когда она может быть записана в виде ${\ Displaystyle \; \ varrho _ {A_ {1} \ ldots A_ {m}}}$${\ Displaystyle \; м}$${\ displaystyle \; A_ {1}, \ ldots, A_ {m}}$${\ displaystyle \; {\ mathcal {H}} _ {A_ {1} \ ldots A_ {m}} = {\ mathcal {H}} _ {A_ {1}} \ otimes \ ldots \ otimes {\ mathcal { Ветчина}}}$

${\ displaystyle \; \ varrho _ {A_ {1} \ ldots A_ {m}} = \ sum _ {i = 1} ^ {k} p_ {i} \ varrho _ {A_ {1}} ^ {i} \ otimes \ ldots \ otimes \ varrho _ {A_ {m}} ^ {i}.}$

Соответственно, состояние полностью запутано, если его нельзя записать в указанной выше форме. ${\ Displaystyle \; \ varrho _ {A_ {1} \ ldots A_ {m}}}$

Как и в двудольном случае, множество -сепарабельных состояний выпукло и замкнуто относительно нормы следа, и отделимость сохраняется при -разделимых операциях, которые являются прямым обобщением двудольных: ${\ Displaystyle \; м}$${\ Displaystyle \; м}$${\ displaystyle \; \ sum _ {i} \ Omega _ {i} ^ {1} \ otimes \ ldots \ otimes \ Omega _ {i} ^ {n}}$

${\ displaystyle \; \ varrho _ {A_ {1} \ ldots A_ {m}} \ to {\ frac {\ sum _ {i} \ Omega _ {i} ^ {1} \ otimes \ ldots \ otimes \ Omega _ {i} ^ {n} \ varrho _ {A_ {1} \ ldots A_ {m}} (\ Omega _ {i} ^ {1} \ otimes \ ldots \ otimes \ Omega _ {i} ^ {n} ) ^ {\ dagger}} {\ operatorname {Tr} [\ sum _ {i} \ Omega _ {i} ^ {1} \ otimes \ ldots \ otimes \ Omega _ {i} ^ {n} \ varrho _ { A_ {1} \ ldots A_ {m}} (\ Omega _ {i} ^ {1} \ otimes \ ldots \ otimes \ Omega _ {i} ^ {n}) ^ {\ dagger}]}}.}.$

Однако, как упоминалось выше, в многочастной среде у нас также есть разные понятия частичной отделимости.

Разделимость по перегородкам

Состояние из подсистем отделимо относительно данного раздела , где находятся непересекающиеся подмножества индексов , тогда и только тогда , когда она может быть записана ${\ Displaystyle \; \ varrho _ {A_ {1} \ ldots A_ {m}}}$${\ Displaystyle \; м}$${\ displaystyle \; A_ {1}, \ ldots, A_ {m}}$${\ Displaystyle \; \ {I_ {1}, \ ldots, I_ {k} \}}$${\ displaystyle \; I_ {i}}$${\ displaystyle \; I = \ {1, \ ldots, m \}, \ cup _ {j = 1} ^ {k} I_ {j} = I}$

${\ displaystyle \; \ varrho _ {A_ {1} \ ldots A_ {m}} = \ sum _ {i = 1} ^ {N} p_ {i} \ varrho _ {1} ^ {i} \ otimes \ ldots \ otimes \ varrho _ {k} ^ {i}.}$

Полуизделимость

Государство является semiseparable тогда и только тогда , когда оно отделимо при всех - перегородок, . ${\ Displaystyle \; \ varrho _ {A_ {1} \ ldots A_ {m}}}$${\ displaystyle \; 1}$${\ Displaystyle \; (м-1)}$${\ displaystyle \; {\ big \ {} I_ {1} = \ {k \}, I_ {2} = \ {1, \ ldots, k-1, k + 1, \ ldots, m \} {\ большой \}}, 1 \ leq k \ leq m}$

s -частичная запутанность

Система -частиц может иметь не более -частичную запутанность, если это смесь всех состояний, каждое из которых отделимо относительно некоторого разбиения , где все наборы индексов имеют мощность . ${\ Displaystyle \; м}$${\ displaystyle \; s}$${\ Displaystyle \; \ {I_ {1}, \ ldots, I_ {k} \}}$${\ displaystyle \; I_ {k}}$${\ displaystyle \; N \ leq s}$

Характеристика и критерии отделимости

Чистые состояния

Эквивалентное определение в полные м-дольной отделимость дается следующим образом : чистое состояние из подсистем полностью -дольные отделимо тогда и только тогда , когда она может быть записана ${\ displaystyle | \ Psi _ {A_ {1} \ ldots A_ {m}} \ rangle}$${\ Displaystyle \; м}$${\ displaystyle \; A_ {1}, \ ldots, A_ {m}}$${\ Displaystyle \; м}$

${\ displaystyle \; | \ Psi _ {A_ {1} \ ldots A_ {m}} \ rangle = | \ psi _ {A_ {1}} \ rangle \ otimes \ ldots \ otimes | \ psi _ {A_ {m }} \ rangle.}$

Чтобы это проверить, достаточно вычислить приведенные матрицы плотности элементарных подсистем и посмотреть, являются ли они чистыми. Однако это не может быть сделано так просто в многочастном случае, так как только многочастные чистые состояния допускают обобщенное разложение Шмидта . Многокомпонентное состояние допускает обобщенное разложение Шмидта, если, отслеживая любую подсистему, остальная часть находится в полностью сепарабельном состоянии. Таким образом, в общем случае запутанность чистого состояния описывается спектрами приведенных матриц плотности всех двудольных разбиений: состояние является действительно -дольным запутанным тогда и только тогда, когда все двудольные разбиения производят смешанные приведенные матрицы плотности. ${\ displaystyle \; | \ Psi _ {A_ {1} \ ldots A_ {m}} \ rangle = \ sum _ {i = 1} ^ {\ min \ {d_ {A_ {1}}, \ ldots, d_ {A_ {m}} \}} a_ {i} | e_ {A_ {1}} ^ {i} \ rangle \ otimes \ ldots \ otimes | e_ {A_ {m}} ^ {i} \ rangle}$${\ Displaystyle \; м}$

Смешанные состояния

В многодольных случае нет простого Необходимого и достаточного условия для отделимости как один данный по критерию РРТА для и случаев. Однако многие критерии разделимости, используемые в двудольном случае, могут быть обобщены на многосторонний случай. ${\ displaystyle 2 \ otimes 2}$${\ displaystyle 2 \ otimes 3}$

Положительные, но не полностью положительные (PnCP) карты и свидетельства запутанности

Характеристика отделимости в терминах положительных, но не полностью положительных отображений может быть естественным образом обобщена из двудольного случая следующим образом.

Любое положительное, но не полностью положительное (PnCP) отображение обеспечивает нетривиальный необходимый критерий отделимости в виде: ${\ displaystyle \; \ Lambda _ {A_ {2} \ ldots A_ {m}}: {\ mathcal {B}} ({\ mathcal {H}} _ {A_ {2} \ ldots A_ {m}}) \ to {\ mathcal {B}} ({\ mathcal {H}} _ {A_ {1}})}$

${\ displaystyle \; (I_ {A_ {1}} \ otimes \ Lambda _ {A_ {2} \ ldots A_ {m}}) [\ varrho _ {A_ {1} \ ldots A_ {m}}] \ geq 0,}$

где - тождество, действующее на первую подсистему . Государство является отделимы тогда и только тогда , когда вышеуказанное условие выполнено для всех PnCP карт . ${\ displaystyle \; I_ {A_ {1}}}$${\ displaystyle \; {\ mathcal {H}} _ {A_ {1}}}$${\ Displaystyle \; \ varrho _ {A_ {1} \ ldots A_ {m}}}$${\ displaystyle \; \ Lambda _ {A_ {2} \ ldots A_ {m}}: {\ mathcal {B}} ({\ mathcal {H}} _ {A_ {2} \ ldots A_ {m}}) \ to {\ mathcal {B}} ({\ mathcal {H}} _ {A_ {1}})}$

Определение свидетелей запутанности и изоморфизм Чоя – Ямиолковского, который связывает карты PnCP со свидетелями запутанности в двудольном случае, также можно обобщить на многосторонний случай. Таким образом, мы получаем условие отделимости от свидетелей зацепления для многочастных состояний: состояние отделимо, если оно имеет неотрицательное среднее значение для всех свидетелей зацепления . Соответственно, запутывание обнаруживается свидетелем тогда и только тогда, когда . ${\ Displaystyle \; \ varrho _ {A_ {1} \ ldots A_ {m}}}$${\ Displaystyle \; \ OperatorName {Tr} (W \ varrho _ {A_ {1} \ ldots A_ {m}}) \ geq 0}$${\ displaystyle W}$${\ Displaystyle \; \ varrho _ {A_ {1} \ ldots A_ {m}}}$${\ displaystyle \; W}$${\ Displaystyle \; \ OperatorName {Tr} (W \ varrho _ {A_ {1} \ ldots A_ {m}}) <0}$

Приведенное выше описание дает полную характеристику разделимости систем. ${\ Displaystyle \; м}$${\ Displaystyle \; м}$

Критерий дальности

«Критерий диапазона» также может быть немедленно обобщен от двудольного к многочастному случаю. В последнем случае диапазон должен охватываться векторами , в то время как диапазон частично транспонированных по отношению к подмножеству должен охватываться произведениями этих векторов, где векторы с индексами комплексно сопряжены. Если состояние является разъемным , то всеми такими частичными транспонированными должны привести к матрицам с неотрицательным спектром, т.е. всех матриц должны быть сами государства. ${\ Displaystyle \; \ varrho _ {A_ {1} \ ldots A_ {m}}}$${\ Displaystyle \; \ {| \ phi _ {A_ {1}} \ rangle, \ ldots, | \ phi _ {A_ {m}} \ rangle \}}$${\ displaystyle \; \ varrho _ {A_ {1} \ ldots A_ {m}} ^ {T_ {A_ {k_ {1}} \ ldots A_ {k_ {l}}}}}$${\ displaystyle \; \ {A_ {k_ {1}} \ ldots A_ {k_ {l}} \} \ subset \ {A_ {1} \ ldots A_ {m} \}}$${\ displaystyle \; k_ {1}, \ ldots, k_ {l}}$${\ Displaystyle \; \ varrho _ {A_ {1} \ ldots A_ {m}}}$${\ displaystyle \; \ varrho _ {A_ {1} \ ldots A_ {m}} ^ {T_ {A_ {k_ {1}} \ ldots A_ {k_ {l}}}}}$

Критерии реорганизации

«Критерии перестройки» из двудольного случая обобщаются до перестановочных критериев в многочастной установке: если состояние является сепарабельным, то матрица , полученная из исходного состояния посредством перестановки индексов матрицы в базисе произведения, удовлетворяет . ${\ displaystyle \ varrho _ {A_ {1} \ ldots A_ {m}}}$${\ displaystyle \; [R _ {\ pi} (\ varrho _ {A_ {1} \ ldots A_ {m}})] _ {i_ {1} j_ {1}, i_ {2} j_ {2}, \ ldots, i_ {n} j_ {n}} \ Equiv \ varrho _ {\ pi (i_ {1} j_ {1}, i_ {2} j_ {2}, \ ldots, i_ {n} j_ {n}) }}$${\ displaystyle \; \ pi}$${\ displaystyle \; || R _ {\ pi} (\ varrho _ {A_ {1} \ ldots A_ {m}})] || _ {\ operatorname {Tr}} \ leq 1}$

Критерий сокращения

Наконец, критерий сжатия немедленно обобщается от двудольного к многочастному случаю.

Меры множественной запутанности

Многие из аксиоматических показателей запутанности для двудольных состояний, такие как относительная энтропия запутанности , устойчивость запутанности и сжатая запутанность, могут быть обобщены для многочастной ситуации.

Относительная энтропия запутанности, например, может быть обобщена на многочастный случай, взяв подходящий набор вместо набора двудольных разделимых состояний. Можно взять набор полностью разделимых состояний, даже если при этом выборе мера не будет различать действительно многочастную запутанность и несколько случаев двудольной запутанности, например . Чтобы проанализировать действительно многочастичную запутанность, необходимо рассмотреть множество состояний, содержащих не более чем -частичную запутанность. ${\ Displaystyle \ mathrm {EPR} _ {AB} \ otimes \ mathrm {EPR} _ {CD}}$${\ displaystyle k}$

В случае сжатой запутанности ее многосторонняя версия может быть получена путем простой замены взаимной информации двудольной системы ее обобщением для многочастных систем, т . Е. ${\ Displaystyle I (A_ {1}: \ ldots: A_ {N}) = S (A_ {1}) + \ ldots + S (A_ {N}) - S (A_ {1} \ ldots A_ {N} )}$

Однако в многочастной настройке требуется гораздо больше параметров для описания запутанности состояний, и поэтому было построено много новых мер запутанности, особенно для чистых многочастных состояний.

Меры множественной запутанности для чистых состояний

В многостороннем сеттинге есть меры запутанности, которые просто являются функциями сумм двудольных мер запутанности, как, например, глобальная запутанность , которая задается суммой совпадений между одним кубитом и всеми остальными. Для этих многочастичных мер зацепления монотонность при LOCC просто наследуется от двудольных мер. Но есть также меры запутанности, которые были созданы специально для многочастных состояний, а именно:

Клубок

Первая мера многодольной запутанности, которая не является ни прямым обобщением, ни простой комбинацией двудольных мер, была введена Коффманом и др. и называется клубок.

Определение:

${\ Displaystyle \; \ тау (A: B: C) = \ тау (A: BC) - \ тау (AB) - \ тау (AC),}$

где -клапаны в правой части - это квадраты совпадения . ${\ displaystyle \; 2}$

Мера клубка пермутационно инвариантна; он исчезает во всех состояниях, разделимых при любом разрезе; он отличен от нуля, например, в GHZ-состоянии; его можно считать равным нулю для состояний, которые являются 3-запутанными (т.е. которые не являются продуктом по отношению к какому-либо разрезу), как, например, W-состояние . Кроме того, может быть возможность получить хорошее обобщение клубка для систем multiqubit с помощью hyperdeterminant .

Мера Шмидта

Это была одна из первых мер сцепленности, созданных специально для многочастных государств.

Определение:

Минимум , где - количество условий в расширении состояния в базе продукта. ${\ Displaystyle \; \ журнал г}$${\ displaystyle \; r}$

Эта мера равна нулю тогда и только тогда, когда состояние полностью является продуктом; следовательно, он не может различить действительно многочастную запутанность и двудольную запутанность, но, тем не менее, может быть полезен во многих контекстах.

Меры, основанные на нормальных формах

Это интересный класс мер многочастной запутанности, полученный в контексте классификации состояний. А именно, рассматривается любая однородная функция состояния: если она инвариантна относительно операций SLOCC (стохастических LOCC) с определителем, равным 1, то она является монотонной запутанности в сильном смысле , т.е. удовлетворяет условию сильной монотонности.

Меры, основанные на гипердетерминанте

Мияке доказал, что гипердетерминанты являются монотонными связями , и они описывают действительно многочастную сцепленность в том смысле, что состояния, такие как продукты 's, имеют нулевую сцепленность. В частности, совпадение и путаница являются частными случаями гипердетерминанта. Действительно, для двух кубитов совпадение - это просто модуль определителя, который является гипердетерминантом первого порядка; тогда как клубок является гипердетерминантом второго порядка, т. е. функцией тензоров с тремя индексами. ${\ displaystyle EPR}$

Геометрическая запутанность

Геометрическая мера запутанности - это минимум ${\ displaystyle \ psi}$

${\ displaystyle \ | \ psi - \ phi \ | _ {2}}$

по всем сепарабельным состояниям

${\ displaystyle \ phi = \ bigotimes _ {i = 1} ^ {N} \ phi _ {i}.}$

Этот подход работает для различимых частиц или спиновых систем. Для идентичных или неотличимых фермионов или бозонов полное гильбертово пространство не является тензорным произведением таковых каждой отдельной частицы. Следовательно, необходима простая модификация. Например, для идентичных фермионов, поскольку полная волновая функция теперь полностью антисимметрична, требуется для . Это означает, что приближение должно быть детерминантной волновой функцией Слейтера . ${\ displaystyle \ psi}$${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle \ psi}$

Локализуемая запутанность

Эта мера запутанности является обобщением запутанности помощи и была построена в контексте спиновых цепочек. А именно, выбираются два спина и выполняются операции LOCC, направленные на получение максимально возможной двудольной запутанности между ними (измеряемой в соответствии с выбранной мерой запутанности для двух двудольных состояний).

Источники и примечания

дальнейшее чтение

• Городецкий Р. (1994). «Информационно-когерентные квантовые системы». Физика Буквы A . 187 (2): 145. Bibcode : 1994PhLA..187..145H . DOI : 10.1016 / 0375-9601 (94) 90052-3 .
• Коффман, В .; Кунду, Джойдип; Wootters, Уильям К. (2000). «Распределенная запутанность». Physical Review . 61 (5): 052306. Arxiv : колич-фот / 9907047 . Bibcode : 2000PhRvA..61e2306C . DOI : 10.1103 / PhysRevA.61.052306 .
• Barnum, H .; Линден, Н. (2001). «Монотоны и инварианты для многочастичных квантовых состояний». Журнал Physics A . 34 (35): 6787. Arxiv : колич-фот / 0103155 . Bibcode : 2001JPhA ... 34.6787B . DOI : 10.1088 / 0305-4470 / 34/35/305 .
• Bourennane, M .; Karlsson, A .; Бьорк, Г. (2001). «Квантовое распределение ключей с использованием многоуровневого кодирования». Physical Review . 64 (2): 022306. Bibcode : 2001PhRvA..64a2306B . DOI : 10.1103 / PhysRevA.64.012306 .
• Мейер, Д.А.; Валлах, Н.Р. (2001). «Глобальная запутанность в многочастичных системах». Журнал математической физики . 43 : 4273–4278. arXiv : квант-ph / 0108104 . Bibcode : 2002JMP .... 43.4273M . DOI : 10.1063 / 1.1497700 .
• Мияке, А. (2003). «Классификация многочастных запутанных состояний по многомерным детерминантам». Physical Review . 67 (1): 012108. Arxiv : колич-фот / 0206111 . Bibcode : 2003PhRvA..67a2108M . DOI : 10.1103 / PhysRevA.67.012108 .
• Verstraete, F .; Dehaene, J .; Де Моор, Б. (2003). «Нормальные формы и меры сцепленности для многочастичных квантовых состояний». Physical Review . 68 (1): 012103. Arxiv : колич-фот / 0105090 . Bibcode : 2003PhRvA..68a2103V . DOI : 10.1103 / PhysRevA.68.012103 .
• Boileau, J.C .; Готтесман, Д .; Laflamme, R .; Poulin, D .; Спеккенс, Р. (2004). "Робастное квантовое распределение ключей на основе поляризации по каналу коллективных шумов". Письма с физическим обзором . 92 (2): 027901. Arxiv : колич-фот / 0306199 . Bibcode : 2004PhRvL..92a7901B . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.92.017901 . PMID   14754020 .
• Мияке, А. (2004). «Многосторонняя запутанность при стохастических локальных операциях и классической коммуникации». Международный журнал квантовой информации . 2 : 65. arXiv : Quant-ph / 0401023 . Bibcode : 2004quant.ph..1023M . DOI : 10.1142 / s0219749904000080 .
• Городецкий, Р .; Городецкий, П .; Городецкий, М .; Городецкий, К. (2009). «Квантовая запутанность». Обзоры современной физики . 81 (2): 865–942. arXiv : квант-ph / 0702225 . Bibcode : 2009RvMP ... 81..865H . DOI : 10.1103 / RevModPhys.81.865 .
• Gühne, O .; Тот, Г. (2009). «Обнаружение запутывания». Отчеты по физике . 474 : 1–75. arXiv : 0811.2803 . Bibcode : 2009PhR ... 474 .... 1G . DOI : 10.1016 / j.physrep.2009.02.004 .