Свидетель запутывания - Entanglement witness

В теории квантовой информации , свидетель запутанности является функциональным , который отличает специфические запутаться состоянием от разъемных них. Свидетели запутывания могут быть линейными или нелинейными функционалами матрицы плотности . Если они линейны, то их также можно рассматривать как наблюдаемые, для которых математическое ожидание запутанного состояния строго выходит за пределы диапазона возможных ожидаемых значений любого разделяемого состояния .

Подробности

Пусть составная квантовая система имеет пространство состояний . Смешанное состояние ρ является тогда след класса положительного оператором на пространстве состояний , которая имеет след 1. Мы можем рассматривать семейство состояний как подмножество реального банахового пространства , порожденное эрмитовыми операторами трассировки класса, с нормой следа. Смешанное состояние ρ сепарабельно, если его можно аппроксимировать в норме следа состояниями вида ${\ displaystyle H_ {A} \ иногда H_ {B}}$

${\ displaystyle \ xi = \ sum _ {i = 1} ^ {k} p_ {i} \, \ rho _ {i} ^ {A} \ otimes \ rho _ {i} ^ {B},}$

где 's и ' s - чистые состояния в подсистемах A и B соответственно. Таким образом, семейство сепарабельных состояний - это замкнутая выпуклая оболочка чистых состояний продукта. Мы воспользуемся следующим вариантом теоремы Хана – Банаха : ${\ displaystyle \ rho _ {я} ^ {A}}$${\ Displaystyle \ rho _ {я} ^ {B}}$

Теорема. Пусть и - непересекающиеся выпуклые замкнутые множества в вещественном банаховом пространстве и одно из них компактно , то существует ограниченный функционал f, разделяющий два множества. ${\ displaystyle S_ {1}}$${\ displaystyle S_ {2}}$

Это обобщение того факта, что в реальном евклидовом пространстве с учетом выпуклого множества и внешней точки всегда существует аффинное подпространство, разделяющее их. Аффинное подпространство проявляет себя как функционал f . В данном контексте семейство сепарабельных состояний - это выпуклое множество в пространстве операторов классов трассировки. Если ρ - запутанное состояние (таким образом, лежащее вне выпуклого множества), то по теореме выше существует функционал f, отделяющий ρ от сепарабельных состояний. Именно этот функционал f или его идентификация как оператора мы называем свидетелем запутанности . Существует более одной гиперплоскости, отделяющей замкнутое выпуклое множество от точки, лежащей вне него, поэтому для запутанного состояния существует более одного свидетеля запутанности. Напомним, что двойственное пространство банахова пространства операторов следового класса изоморфно множеству ограниченных операторов . Таким образом, мы можем определить п с эрмитова оператора А . Таким образом, по модулю нескольких деталей, мы показали существование свидетеля запутанности в запутанном состоянии:

Теорема. Для каждого запутанного состояния ρ существует эрмитов оператор A такой, что , и для всех сепарабельных состояний σ. ${\ Displaystyle \ OperatorName {Tr} (A \, \ rho) <0}$${\ Displaystyle \ OperatorName {Tr} (A \, \ sigma) \ geq 0}$

Когда оба и имеют конечную размерность, нет никакой разницы между операторами следового класса и операторами Гильберта – Шмидта . Так что в этом случае A может быть задано теоремой Рисса о представлении . В качестве непосредственного следствия мы имеем: ${\ displaystyle H_ {A}}$${\ displaystyle H_ {B}}$

Теорема Смешанное состояние σ сепарабельно тогда и только тогда, когда

${\ Displaystyle \ OperatorName {Tr} (A \, \ sigma) \ geq 0}$

для любого ограниченного оператора A, удовлетворяющего для всех чистых состояний продукта . ${\ Displaystyle \ OperatorName {Tr} (A \ cdot P \ otimes Q) \ geq 0}$${\ displaystyle P \ otimes Q}$

Если состояние отделимо, очевидно, что желаемое следствие теоремы должно выполняться. С другой стороны, в запутанном состоянии один из свидетелей запутанности нарушит данное условие.

Таким образом, если ограниченный функционал f банахова пространства следового класса и f положителен на произведении чистых состояний, то f или его отождествление с эрмитовым оператором является свидетелем запутанности. Такое f указывает на запутанность некоторого состояния.

Используя изоморфизм между свидетелями запутанности и неполностью положительными отображениями, было показано (Городецкими), что

Теорема. Предположим, что они конечномерны. Смешанное состояние сепарабельно, если для любого положительного отображения Λ от ограниченных операторов на к ограниченным операторам на , оператор положителен, где - тождественное отображение на , ограниченные операторы на . ${\ displaystyle H_ {A}, H_ {B}}$${\ displaystyle \ sigma \ in L (H_ {A}) \ otimes L (H_ {B})}$${\ displaystyle H_ {B}}$${\ displaystyle H_ {A}}$${\ Displaystyle (I_ {A} \ otimes \ Lambda) (\ sigma)}$${\ displaystyle I_ {A}}$${\ displaystyle \; L (H_ {A})}$${\ displaystyle H_ {A}}$

Рекомендации

• Терхал, Барбара М. (2000). «Неравенства Белла и критерий отделимости». Физика Буквы A . 271 (5–6): 319–326. arXiv : квант-ph / 9911057 . Bibcode : 2000PhLA..271..319T . DOI : 10.1016 / S0375-9601 (00) 00401-1 . ISSN  0375-9601 . Также доступно на Quant-ph / 9911057
• РБ Холмс. Геометрический функциональный анализ и его приложения , Springer-Verlag, 1975.
• М. Городецкий, П. Городецкий, Р. Городецкий, Разделимость смешанных состояний: необходимые и достаточные условия , Physics Letters A 223, 1 (1996) и arXiv: Quant-ph / 9605038
• З. Фичек, "Обработка квантовой запутанности с атомами", Appl. Математика. Инф. Sci. 3, 375–393 (2009).
• Барри С. Сандерс и Чон Сан Ким, «Моногамия и полигамия запутанности в многосторонних квантовых системах», Appl. Математика. Инф. Sci. 2010. Т. 4. С. 281–288.
• Gühne, O .; Тот, Г. (2009). «Обнаружение запутывания». Phys. Rep . 474 (1–6): 1–75. arXiv : 0811.2803 . Bibcode : 2009PhR ... 474 .... 1G . DOI : 10.1016 / j.physrep.2009.02.004 .