LOCC - LOCC

Парадигма LOCC: сторонам не разрешается согласованно обмениваться частицами. Разрешены только локальные операции и классическое общение.

LOCC , или локальные операции и классическая коммуникация , - это метод в квантовой теории информации, в котором локальная операция (продукт) выполняется на части системы, и где результат этой операции классически «передается» другой части, где обычно другой локальный операция выполняется на основании полученной информации.

Математические свойства

Формальное определение набора операций LOCC усложняется из-за того, что последующие локальные операции в целом зависят от всех предыдущих классических коммуникаций, а также из-за неограниченного количества раундов коммуникации. Для любого конечного числа можно определить набор операций LOCC, которые могут быть выполнены с помощью раундов классической коммуникации. Набор становится строго больше всякий раз, когда увеличивается, и нужно позаботиться о том, чтобы определить предел бесконечного числа раундов. В частности, множество LOCC не является топологически замкнутым, то есть существуют квантовые операции, которые могут быть сколь угодно близко аппроксимированы LOCC, но сами по себе не являются LOCC. ${\ displaystyle r \ geq 1}$${\ displaystyle \ operatorname {LOCC} _ {r}}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle r}$

Один круглый LOCC является квантовым инструментом , для которого след-невозрастающих полностью положительные карты (CPMS) являются локальными для всех результатов измерений , то есть, и есть один сайт , так что только на карте не прослеживать сохраняющие. Это означает, что инструмент может быть реализован стороной на месте, применяющей (локальный) инструмент и сообщающей классический результат всем другим сторонам, каждая из которых затем выполняет (при условии ) сохраняющие след (детерминированные) локальные квантовые операции . ${\ displaystyle \ operatorname {LOCC} _ {1}}$ ${\ displaystyle \ left \ {{\ mathcal {E}} _ {x} \ right \}}$${\ displaystyle {\ mathcal {E}} _ {x}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle {\ mathcal {E}} _ {x} = \ bigotimes _ {j} ({\ cal {E}} _ {x} ^ {j})}$${\ displaystyle j = K}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle {\ mathcal {E}} _ {x} ^ {K}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {E}} _ {x} = \ bigotimes _ {j \ not = K} ({\ cal {T_ {j} ^ {x}}}) \ otimes {\ cal {E}} _ {K}}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle \ left \ {{\ mathcal {E}} _ {x} ^ {K} \ right \}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle {\ cal {T}} _ {x} ^ {j}}$

Затем рекурсивно определяются как те операции, которые могут быть реализованы после операции с -операцией. Здесь допускается, что сторона, выполняющая последующие операции, зависит от результата предыдущих раундов. Более того, мы допускаем также «грубое зерно», то есть отбрасываем некоторую классическую информацию, закодированную в результатах измерений (всех раундов). ${\ displaystyle \ operatorname {LOCC} _ {r}}$${\ displaystyle \ operatorname {LOCC} _ {r-1}}$${\ displaystyle \ operatorname {LOCC} _ {1}}$

Совокупность всех операций обозначается значком и содержит инструменты, которые можно лучше и лучше аппроксимировать с помощью большего количества раундов LOCC. Его топологическое замыкание содержит все такие операции. ${\ displaystyle \ operatorname {LOCC} _ {r}}$${\ displaystyle \ operatorname {LOCC} _ {\ mathbb {N}}}$${\ displaystyle {\ overline {\ operatorname {LOCC}}} _ {\ mathbb {N}}}$

Можно показать, что все эти наборы разные:

${\ displaystyle \ operatorname {LOCC} _ {r} \ subset \ operatorname {LOCC} _ {r + 1} \ subset \ operatorname {LOCC} _ {\ mathbb {N}} \ subset {\ overline {\ operatorname {LOCC }}} _ {\ mathbb {N}}}$

Набор всех операций LOCC содержится в наборе всех разделимых операций . содержит все операции, которые могут быть записаны с использованием операторов Крауса, которые имеют любую форму продукта, т. е. ${\ displaystyle \ operatorname {SEP}}$${\ displaystyle \ operatorname {SEP}}$

${\ displaystyle {\ cal {E}} (\ rho) = \ sum _ {l} K_ {1} ^ {l} \ otimes K_ {2} ^ {l} \ dots \ otimes K_ {N} \ rho ( K_ {1} ^ {l} \ otimes K_ {2} ^ {l} \ dots \ otimes K_ {N}) ^ {\ dagger},}$

с . Не все операции в LOCC, ${\ displaystyle \ sum _ {l} K_ {1} ^ {l} \ otimes K_ {2} ^ {l} \ dots \ otimes K_ {N} (K_ {1} ^ {l} \ otimes K_ {2} ^ {l} \ dots \ otimes K_ {N}) ^ {\ dagger} = 1}$${\ displaystyle \ operatorname {SEP}}$

${\ displaystyle {\ overline {\ operatorname {LOCC}}} _ {\ mathbb {N}} \ subset \ operatorname {SEP},}$

т.е. есть примеры, которые нельзя реализовать локально даже при бесконечном количестве циклов связи.

LOCC - это «свободные операции» в ресурсных теориях запутанности : запутанность не может быть произведена из разделяемых состояний с помощью LOCC, и если локальные стороны в дополнение к возможности выполнять все операции LOCC также снабжены некоторыми запутанными состояниями, они могут реализовать больше операций, чем только с LOCC.

Примеры

Операции LOCC полезны для государственной подготовки , государственной дискриминации и запутанности преобразований .

Государственная подготовка

Алисе и Бобу дается двухквантовая система в состоянии продукта . Их задача - произвести разделимое состояние . С помощью одних только локальных операций этого нельзя достичь, поскольку они не могут производить (классические) корреляции, присутствующие в . Но с LOCC (с одним раундом связи) можно подготовиться: Алиса бросает беспристрастную монету (которая показывает орел или решку с вероятностью 50%) и переворачивает свой кубит (к ), если монета показывает «решку», в противном случае он остается. без изменений. Затем она отправляет результат подбрасывания монеты (классическую информацию) Бобу, который также переворачивает свой кубит, если получает сообщение «решка». В результате получается состояние . В общем, все разделяемые состояния (и только они) могут быть получены из состояний продукта с помощью только операций LOCC. ${\ displaystyle | 00 \ rangle = | 0 \ rangle _ {A} \ otimes | 0 \ rangle _ {B}}$${\ displaystyle \ rho = {\ frac {1} {2}} | 00 \ rangle \ langle 00 | + {\ frac {1} {2}} | 11 \ rangle \ langle 11 |}$${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle | 1 \ rangle _ {A}}$${\ displaystyle \ rho}$

Государственная дискриминация

Учитывая два квантовых состояния в двух- или многочастном гильбертовом пространстве , задача состоит в том, чтобы определить, какое из двух (или более) возможных состояний это. В качестве простого примера рассмотрим два состояния Белла${\ displaystyle \ psi}$ ${\ displaystyle {\ cal {H}} = {\ cal {H}} _ {A} \ otimes {\ cal {H}} _ {B} \ otimes \ dots {\ cal {H}} _ {Z} }$${\ displaystyle \ psi _ {1}, \ psi _ {2}}$

${\ displaystyle | \ psi _ {1} \ rangle = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} \ left (| 0 \ rangle _ {A} \ otimes | 0 \ rangle _ {B} + | 1 \ rangle _ {A} \ otimes | 1 \ rangle _ {B} \ right)}$

${\ displaystyle | \ psi _ {2} \ rangle = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} \ left (| 0 \ rangle _ {A} \ otimes | 1 \ rangle _ {B} + | 1 \ rangle _ {A} \ otimes | 0 \ rangle _ {B} \ right)}$

Скажем, разделена двухкубитовая система, где первый кубит отдается Алисе, а второй - Бобу. Без связи Алиса и Боб не могут различить два состояния, поскольку для всех локальных измерений все статистические данные измерений одинаковы (оба состояния имеют одинаковую уменьшенную матрицу плотности). Например, предположим, что Алиса измеряет первый кубит и получает результат 0. Поскольку этот результат с равной вероятностью (с вероятностью 50%) произойдет в каждом из двух случаев, она не получает никакой информации о том, какая пара Белла ей была предоставлена. то же самое верно и для Боба, если он выполняет какие-либо измерения. Но теперь позвольте Алисе отправить результат Бобу по классическому каналу. Теперь Боб может сравнить свой результат с ее результатами, и, если они совпадают, он может сделать вывод, что данная пара была такой, поскольку только это позволяет получить совместный результат измерения . Таким образом, с помощью LOCC и двух измерений эти два состояния можно отлично различить. Обратите внимание, что с глобальными ( нелокальными или запутанными ) измерениями одного измерения (в совместном гильбертовом пространстве ) достаточно, чтобы различить эти два (взаимно ортогональных ) состояния. ${\ displaystyle | \ psi _ {1} \ rangle}$${\ displaystyle | 0 \ rangle _ {A} \ otimes | 0 \ rangle _ {B}}$

Есть квантовые состояния, которые нельзя различить с помощью операций LOCC.

Преобразования запутанности

Хотя LOCC не может генерировать запутанные состояния из состояний продукта, их можно использовать для преобразования запутанных состояний в другие запутанные состояния. Ограничение LOCC сильно ограничивает возможные преобразования.

Преобразование запутанности

Нильсен вывел общее условие, чтобы определить, можно ли преобразовать одно чистое состояние двудольной квантовой системы в другое, используя только LOCC. Полную информацию можно найти в упомянутой ранее статье, а здесь в общих чертах представлены результаты.

Рассмотрим две частицы в гильбертовом пространстве размерности с состояниями частиц и с разложениями Шмидта${\ displaystyle d}$${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$${\ displaystyle | \ phi \ rangle}$

${\ displaystyle | \ psi \ rangle = \ sum _ {i} {\ sqrt {\ omega _ {i}}} | i_ {A} \ rangle \ otimes | i_ {B} \ rangle}$

${\ displaystyle | \ phi \ rangle = \ sum _ {i} {\ sqrt {\ omega _ {i} '}} | i_ {A}' \ rangle \ otimes | i_ {B} '\ rangle}$

В «s известны как коэффициенты Шмидта . Если они упорядочены от наибольшего к наименьшему (т. Е. С ), тогда их можно преобразовать в использование только локальных операций тогда и только тогда, когда для всех в диапазоне${\ displaystyle {\ sqrt {\ omega _ {i}}}}$${\ displaystyle \ omega _ {1}> \ omega _ {d}}$${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$${\ displaystyle | \ phi \ rangle}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle 1 \ leq k \ leq d}$

${\ displaystyle \ sum _ {я = 1} ^ {k} \ omega _ {i} \ leq \ sum _ {i = 1} ^ {k} \ omega _ {i} '}$

В более кратких обозначениях:

${\ displaystyle | \ psi \ rangle \ rightarrow | \ phi \ rangle \ quad {\ text {iff}} \ quad \ omega \ prec \ omega '}$

Это более ограничительное условие, чем то, что локальные операции не могут увеличить меры сцепления . Вполне возможно, что и имеют одинаковую степень запутанности, но преобразование одного в другое невозможно, и даже такое преобразование в любом направлении невозможно, потому что ни один набор коэффициентов Шмидта не преобладает над другим. Для больших, если все коэффициенты Шмидта не равны нулю, вероятность того, что один набор коэффициентов превосходит другой, становится незначительной. Следовательно, для больших вероятность того, что любое произвольное состояние может быть преобразовано в другое через LOCC, становится незначительной. ${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$${\ displaystyle | \ phi \ rangle}$${\ displaystyle d}$${\ displaystyle d}$

Описанные до сих пор операции являются детерминированными, т. Е. Они успешны со 100% вероятностью. Если вы удовлетворены вероятностными преобразованиями, с помощью LOCC возможно гораздо больше преобразований. Эти операции называются стохастическими LOCC (SLOCC). В частности, для многочастных состояний изучается конвертируемость в рамках SLOCC, чтобы получить качественное представление о свойствах сцепленности вовлеченных состояний.

Выходя за рамки LOCC: каталитическая конверсия

Если запутанные состояния доступны в качестве ресурса, они вместе с LOCC допускают гораздо больший класс преобразований. Это так, даже если эти состояния ресурсов не потребляются в процессе (как, например, при квантовой телепортации ). Таким образом, преобразования называются катализом запутывания . В этой процедуре преобразование начального состояния в конечное состояние, которое невозможно с LOCC, становится возможным, если взять тензорное произведение начального состояния с «состоянием катализатора» и потребовать, чтобы это состояние оставалось доступным в конце процесс преобразования. То есть состояние катализатора остается неизменным в результате превращения, а затем его можно удалить, оставив только желаемое конечное состояние. Рассмотрим состояния, ${\ displaystyle | c \ rangle}$

${\ displaystyle | \ psi \ rangle = {\ sqrt {0.4}} | 00 \ rangle + {\ sqrt {0.4}} | 11 \ rangle + {\ sqrt {0.1}} | 22 \ rangle + {\ sqrt {0.1} }} | 33 \ rangle}$

${\ displaystyle | \ phi \ rangle = {\ sqrt {0.5}} | 00 \ rangle + {\ sqrt {0.25}} | 11 \ rangle + {\ sqrt {0.25}} | 22 \ rangle}$

${\ displaystyle | c \ rangle = {\ sqrt {0,6}} \ mid \ uparrow \ uparrow \ rangle + {\ sqrt {0.4}} \ mid \ downarrow \ downarrow \ rangle}$

Эти состояния записываются в виде разложения Шмидта в порядке убывания. Сравним сумму коэффициентов при и${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$${\ displaystyle | \ phi \ rangle}$

${\ displaystyle k}$	${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$	${\ displaystyle | \ phi \ rangle}$
0	0,4	0,5
1	0,8	0,75
2	0,9	1.0
3	1.0	1.0

В таблице красный цвет ставится, если , зеленый цвет ставится, если , и белый цвет остается, если . Составив таблицу, можно легко определить, являются ли и конвертируемыми, посмотрев на цвет в направлении. могут быть преобразованы в LOCC, если все цвета зеленые или белые, и могут быть преобразованы в LOCC, если все цвета красные или белые. Когда таблица представлена ​​как красным, так и зеленым цветом, состояния не могут быть преобразованы. ${\ displaystyle \ sum _ {я = 0} ^ {k} \ omega _ {i}> \ sum _ {i = 0} ^ {k} \ omega '_ {i}}$${\ displaystyle \ sum _ {я = 0} ^ {k} \ omega _ {i} <\ sum _ {i = 0} ^ {k} \ omega '_ {i}}$${\ displaystyle \ sum _ {я = 0} ^ {k} \ omega _ {i} = \ sum _ {i = 0} ^ {k} \ omega '_ {i}}$${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$${\ displaystyle | \ phi \ rangle}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$${\ displaystyle | \ phi \ rangle}$${\ displaystyle | \ phi \ rangle}$${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$

Теперь рассмотрим состояния продукта и ： ${\ displaystyle | \ psi \ rangle | c \ rangle}$${\ displaystyle | \ phi \ rangle | c \ rangle}$

${\ displaystyle {\ begin {align} | \ psi \ rangle | c \ rangle & = {\ sqrt {0.24}} | 00 \ rangle \ mid \ uparrow \ uparrow \ rangle + {\ sqrt {0.24}} | 11 \ rangle \ mid \ uparrow \ uparrow \ rangle + {\ sqrt {0.16}} | 00 \ rangle \ mid \ downarrow \ downarrow \ rangle + {\ sqrt {0.16}} | 11 \ rangle \ mid \ downarrow \ downarrow \ rangle \ \ & + {\ sqrt {0.06}} | 22 \ rangle \ mid \ uparrow \ uparrow \ rangle + {\ sqrt {0.06}} | 33 \ rangle \ mid \ uparrow \ uparrow \ rangle + {\ sqrt {0.04}} | 22 \ rangle \ mid \ downarrow \ downarrow \ rangle + {\ sqrt {0.04}} | 33 \ rangle \ mid \ downarrow \ downarrow \ rangle \ end {align}}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} | \ phi \ rangle | c \ rangle & = {\ sqrt {0.30}} | 00 \ rangle \ mid \ uparrow \ uparrow \ rangle + {\ sqrt {0.20}} | 00 \ rangle \ mid \ downarrow \ downarrow \ rangle + {\ sqrt {0.15}} | 11 \ rangle \ mid \ uparrow \ uparrow \ rangle + {\ sqrt {0.15}} | 22 \ rangle \ mid \ uparrow \ uparrow \ rangle \ \ & + {\ sqrt {0.10}} | 11 \ rangle \ mid \ downarrow \ downarrow \ rangle + {\ sqrt {0.10}} | 22 \ rangle \ mid \ downarrow \ downarrow \ rangle \ end {align}}}$

Аналогично составляем таблицу:

${\ displaystyle k}$	${\ displaystyle | \ psi \ rangle | c \ rangle}$	${\ displaystyle | \ phi \ rangle | c \ rangle}$
0	0,24	0,30
1	0,48	0,50
2	0,64	0,65
3	0,80	0,80
4	0,86	0,90
5	0,92	1,00
6	0,96	1,00
7	1,00	1,00

Цвет в направлении - зеленый или белый, поэтому, согласно теореме Нильсена, можно преобразовать в LOCC. Катализатор состояние снимается после преобразования. Наконец мы находим по LOCC. ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle | \ psi \ rangle | c \ rangle}$${\ displaystyle | \ phi \ rangle | c \ rangle}$${\ displaystyle | c \ rangle}$${\ displaystyle | \ psi \ rangle {\ overset {| c \ rangle} {\ rightarrow}} | \ phi \ rangle}$

Если корреляции между системой и катализатором разрешены, каталитические превращения между двудольными чистыми состояниями характеризуются энтропией сцепленности . Более подробно, чистое состояние может быть преобразовано в другое чистое состояние посредством каталитического LOCC тогда и только тогда, когда ${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$${\ displaystyle | \ phi \ rangle}$

${\ Displaystyle S (\ psi ^ {A}) \ geq S (\ phi ^ {A})}$,

где это фон Нейман энтропия , а и являются уменьшенным состоянием из и , соответственно. В общем, преобразование не точное, но может быть выполнено с произвольной точностью. Количество корреляций между системой и катализатором также можно сделать сколь угодно малым. ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle \ psi ^ {A}}$${\ displaystyle \ phi ^ {A}}$${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$${\ displaystyle | \ phi \ rangle}$

использованная литература

дальнейшее чтение

• https://quantiki.org/wiki/locc-operations
• Нильсен М.А. (1999). «Условия одного класса преобразований сцепленности». Phys. Rev. Lett . 83 (2): 436–439. arXiv : квант-ph / 9811053 . Bibcode : 1999PhRvL..83..436N . DOI : 10.1103 / physrevlett.83.436 .