Критерий Переса – Городецкого - Peres–Horodecki criterion

Критерий Перес-Horodecki является необходимым условием для совместной матрицы плотности два механических систем квантовых и , быть отделимы . Его также называют критерием PPT для положительного частичного транспонирования . В случаях размерностей 2x2 и 2x3 условие также является достаточным. Он используется для определения разделимости смешанных состояний , где разложение Шмидта не применяется. Теорема была открыта в 1996 году Ашером Пересом и семьей Городецких ( Михал , Павел и Рышард ). ${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$

В более высоких измерениях тест неубедителен, и его следует дополнить более продвинутыми тестами, такими как тесты, основанные на свидетелях запутанности .

Определение

Если у нас есть общее состояние, которое действует на${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle {\ mathcal {H}} _ {A} \ otimes {\ mathcal {H}} _ {B}}$

${\ displaystyle \ rho = \ sum _ {ijkl} p_ {kl} ^ {ij} | i \ rangle \ langle j | \ otimes | k \ rangle \ langle l |}$

Его частичное транспонирование (относительно стороны B) определяется как

${\ displaystyle \ rho ^ {T_ {B}}: = (I \ otimes T) (\ rho) = \ sum _ {ijkl} p_ {kl} ^ {ij} | i \ rangle \ langle j | \ otimes ( | k \ rangle \ langle l |) ^ {T} = \ sum _ {ijkl} p_ {kl} ^ {ij} | i \ rangle \ langle j | \ otimes | l \ rangle \ langle k | = \ sum _ {ijkl} p_ {lk} ^ {ij} | i \ rangle \ langle j | \ otimes | k \ rangle \ langle l |}$

Обратите внимание, что партиал в имени подразумевает, что транспонируется только часть состояния. Точнее, карта идентичности применяется к стороне A, а карта транспонирования применяется к стороне B. ${\ Displaystyle (I \ otimes T) (\ rho)}$

Это определение можно увидеть более четко, если мы запишем состояние в виде блочной матрицы:

${\ displaystyle \ rho = {\ begin {pmatrix} A_ {11} & A_ {12} & \ dots & A_ {1n} \\ A_ {21} & A_ {22} && \\\ vdots && \ ddots & \\ A_ { n1} &&& A_ {nn} \ end {pmatrix}}}$

Где , а каждый блок представляет собой квадратную матрицу размерности . Тогда частичное транспонирование ${\ Displaystyle п = \ тусклый {\ mathcal {H}} _ {A}}$${\ Displaystyle м = \ тусклый {\ mathcal {H}} _ {B}}$

${\ displaystyle \ rho ^ {T_ {B}} = {\ begin {pmatrix} A_ {11} ^ {T} & A_ {12} ^ {T} & \ dots & A_ {1n} ^ {T} \\ A_ { 21} ^ {T} & A_ {22} ^ {T} && \\\ vdots && \ ddots & \\ A_ {n1} ^ {T} &&& A_ {nn} ^ {T} \ end {pmatrix}}}$

Критерий утверждает , что если сепарабельно , то все собственные значения из неотрицательны. Другими словами, если у него отрицательное собственное значение, запутывание гарантировано . Обратное к этим утверждениям верно тогда и только тогда, когда размерность пространства продукта равна или . ${\ Displaystyle \ rho \; \!}$${\ displaystyle \ rho ^ {T_ {B}}}$${\ displaystyle \ rho ^ {T_ {B}}}$${\ Displaystyle \ rho \; \!}$${\ displaystyle 2 \ times 2}$${\ displaystyle 2 \ times 3}$

Результат не зависит от транспонированной стороны, потому что . ${\ Displaystyle \ rho ^ {T_ {A}} = (\ rho ^ {T_ {B}}) ^ {T}}$

Пример

Рассмотрим это 2-кубитное семейство утверждений Вернера :

${\ displaystyle \ rho = p | \ Psi ^ {-} \ rangle \ langle \ Psi ^ {-} | + (1-p) {\ frac {I} {4}}}$

Это можно рассматривать как выпуклую комбинацию из , в максимально запутанном состоянии , и идентичности, в максимально смешанном состоянии . ${\ displaystyle | \ пси ^ {-} \ rangle}$

Его матрица плотности равна

${\ displaystyle \ rho = {\ frac {1} {4}} {\ begin {pmatrix} 1-p & 0 & 0 & 0 \\ 0 & p + 1 & -2p & 0 \\ 0 & -2p & p + 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1-p \ end {pmatrix}} }$

и частичное транспонирование

${\ displaystyle \ rho ^ {T_ {B}} = {\ frac {1} {4}} {\ begin {pmatrix} 1-p & 0 & 0 & -2p \\ 0 & p + 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & p + 1 & 0 \\ - 2p & 0 & 0 & 1-p \ end {pmatrix}}}$

Наименьшее собственное значение равно . Следовательно, состояние запутано для . ${\ displaystyle (1-3p) / 4}$${\ displaystyle 1 \ geq p> 1/3}$

Демонстрация

Если ρ отделимо, его можно записать как

${\ displaystyle \ rho = \ sum p_ {i} \ rho _ {i} ^ {A} \ otimes \ rho _ {i} ^ {B}}$

В этом случае эффект частичного транспонирования тривиален:

${\ Displaystyle \ rho ^ {T_ {B}} = I \ otimes T (\ rho) = \ sum p_ {i} \ rho _ {i} ^ {A} \ otimes (\ rho _ {i} ^ {B }) ^ {T}}$

Поскольку отображение транспонирования сохраняет собственные значения, спектр оператора такой же, как спектр , и, в частности, должен быть положительно полуопределенным. Таким образом, также должно быть положительно полуопределенным. Это доказывает необходимость критерия PPT. ${\ Displaystyle (\ rho _ {я} ^ {B}) ^ {T}}$${\ Displaystyle \ rho _ {я} ^ {B} \; \!}$${\ Displaystyle (\ rho _ {я} ^ {B}) ^ {T}}$${\ displaystyle \ rho ^ {T_ {B}}}$

Более сложно показать, что быть PPT также достаточно для случаев 2 X 2 и 3 X 2 (эквивалентно 2 X 3). Городецкие показали, что для каждого запутанного состояния существует свидетель запутанности . Это результат геометрической природы и вызывает теорему Хана – Банаха (см. Ссылку ниже).

Из существования свидетелей запутанности можно показать, что положительность для всех положительных отображений Λ является необходимым и достаточным условием отделимости ρ, где Λ отображается в${\ Displaystyle I \ otimes \ Lambda (\ rho)}$${\ displaystyle B ({\ mathcal {H}} _ {B})}$${\ displaystyle B ({\ mathcal {H}} _ {A})}$

Более того, каждое положительное отображение от до может быть разложено на сумму полностью положительных и полностью копозитивных отображений, когда и . Другими словами, любое такое отображение Λ можно записать как ${\ displaystyle B ({\ mathcal {H}} _ {B})}$${\ displaystyle B ({\ mathcal {H}} _ {A})}$${\ displaystyle {\ textrm {dim}} ({\ mathcal {H}} _ {B}) = 2}$${\ displaystyle {\ textrm {dim}} ({\ mathcal {H}} _ {A}) = 2 \; {\ textrm {или}} \; 3}$

${\ displaystyle \ Lambda = \ Lambda _ {1} + \ Lambda _ {2} \ circ T,}$

где и полностью положительны, а T - отображение транспозиции. Это следует из теоремы Стёрмера-Вороновича. ${\ displaystyle \ Lambda _ {1}}$${\ displaystyle \ Lambda _ {2}}$

Грубо говоря, карта транспонирования является единственной, которая может генерировать отрицательные собственные значения в этих измерениях. Итак, если положительно, положительно для любого Λ. Таким образом, мы заключаем, что критерий Переса – Городецкого также достаточен для отделимости, когда . ${\ displaystyle \ rho ^ {T_ {B}}}$${\ Displaystyle I \ otimes \ Lambda (\ rho)}$${\ displaystyle {\ textrm {dim}} ({\ mathcal {H}} _ {A} \ otimes {\ mathcal {H}} _ {B}) \ leq 6}$

Однако в более высоких измерениях существуют карты, которые нельзя разложить таким образом, и критерия уже недостаточно. Следовательно, есть запутанные состояния, которые имеют положительное частичное транспонирование. Такие состояния обладают тем интересным свойством, что они связаны запутанными , т.е. они не могут быть очищены для целей квантовой связи .

Системы непрерывных переменных

Критерий Переса – Городецкого был распространен на системы с непрерывными переменными. Саймон сформулировал конкретную версию критерия PPT в терминах моментов второго порядка канонических операторов и показал, что он необходим и достаточен для -модовых гауссовских состояний (см., Казалось бы, другой, но по существу эквивалентный подход). Позже было обнаружено, что условие Саймона также необходимо и достаточно для -модовых гауссовских состояний, но уже не достаточно для -модовых гауссовских состояний. Условие Саймона можно обобщить, учитывая моменты высших порядков канонических операторов или используя энтропийные меры. ${\ displaystyle 1 \ oplus 1}$${\ displaystyle 1 \ oplus n}$${\ displaystyle 2 \ oplus 2}$

Симметричные системы

Для симметричных состояний двудольных систем положительность частичного транспонирования матрицы плотности связана со знаком некоторых двухчастичных корреляций. Здесь симметрия означает, что

${\ Displaystyle \ rho F_ {AB} = F_ {AB} \ rho = \ rho,}$

держится, где оператор переворота или свопинга обменивается двумя сторонами и . Полная основа симметричного подпространства имеет форму с и Здесь для и должно выполняться, где - размерность двух сторон. ${\ displaystyle F_ {AB}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle (\ vert n \ rangle _ {A} \ vert m \ rangle _ {B} + \ vert m \ rangle _ {A} \ vert n \ rangle _ {B}) / {\ sqrt {2}} }$${\ displaystyle m \ neq n}$${\ displaystyle \ vert n \ rangle _ {A} \ vert n \ rangle _ {B}.}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle m,}$ ${\ Displaystyle 0 \ Leq N, м \ Leq d-1}$${\ displaystyle d}$

Можно показать, что для таких состояний имеет положительное частичное транспонирование тогда и только тогда, когда ${\ displaystyle \ rho}$

${\ displaystyle \ langle M \ otimes M \ rangle _ {\ rho} \ geq 0}$

выполняется для всех операторов Следовательно, если выполняется для некоторых, то состояние обладает не-PPT- сцепленностью . ${\ displaystyle M.}$${\ displaystyle \ langle M \ otimes M \ rangle _ {\ rho} <0}$${\ displaystyle M}$

Рекомендации

• Кароль Жичковски и Ингемар Бенгтссон, Геометрия квантовых состояний , Cambridge University Press, 2006
• Воронович, SL (1976). «Положительные отображения матричных алгебр малой размерности». Rep. Math. Phys . 10 (2): 165–183. Bibcode : 1976RpMP ... 10..165W . DOI : 10.1016 / 0034-4877 (76) 90038-0 .