Разделимое состояние - Separable state

В квантовой механике , разъемные состояния являются квантовыми состояниями , принадлежащих к композитному пространству , который может быть разложен на отдельные государства , принадлежащих к отдельным подпространствам. Состояние называется запутанным, если оно неотделимо. В общем, определить, является ли состояние разделимым, непросто, и проблема классифицируется как NP-трудная .

Разделимость двудольных систем

Чистые состояния

Для простоты ниже предполагается, что все соответствующие пространства состояний конечномерны. Во-первых, рассмотрим разделимость чистых состояний .

Пусть и будут квантово-механическими пространствами состояний, то есть конечномерными гильбертовыми пространствами с базисными состояниями и соответственно. Согласно постулату квантовой механики , пространство состояний составной системы задается тензорным произведением${\ displaystyle H_ {1}}$${\ displaystyle H_ {2}}$${\ displaystyle \ {| {a_ {i}} \ rangle \} _ {i = 1} ^ {n}}$${\ displaystyle \ {| {b_ {j}} \ rangle \} _ {j = 1} ^ {m}}$

${\ displaystyle H_ {1} \ otimes H_ {2}}$

с базовыми состояниями или в более компактной записи . Из самого определения тензорного произведения любой вектор нормы 1, т.е. чистое состояние составной системы, можно записать как ${\ displaystyle \ {| {a_ {i}} \ rangle \ otimes | {b_ {j}} \ rangle \}}$${\ displaystyle \ {| a_ {i} b_ {j} \ rangle \}}$

${\ displaystyle | \ psi \ rangle = \ sum _ {i, j} c_ {i, j} (| a_ {i} \ rangle \ otimes | b_ {j} \ rangle) = \ sum _ {i, j} c_ {i, j} | a_ {i} b_ {j} \ rangle,}$

где - постоянная. Если чистое состояние можно записать в виде где - чистое состояние i-й подсистемы, оно называется сепарабельным . В противном случае это называется запутанным . Когда система находится в запутанном чистом состоянии, невозможно присвоить состояния ее подсистемам. В соответствующем смысле это будет верно и для случая смешанного состояния. ${\ displaystyle c_ {я, j}}$${\ displaystyle | \ psi \ rangle \ in H_ {1} \ otimes H_ {2}}$${\ displaystyle | \ psi \ rangle = | \ psi _ {1} \ rangle \ otimes | \ psi _ {2} \ rangle}$${\ displaystyle | \ psi _ {i} \ rangle}$

Формально вложение продукта состояний в пространство продукта дается вложением Сегре . То есть квантово-механическое чистое состояние отделимо тогда и только тогда, когда оно находится в образе вложения Сегре.

Вышеупомянутое обсуждение может быть распространено на случай, когда пространство состояний является бесконечномерным и практически ничего не меняется.

Смешанные состояния

Рассмотрим случай смешанного состояния. Смешанное состояние составной системы описывается действующей матрицей плотности . ρ сепарабельно, если существуют , и которые являются смешанными состояниями соответствующих подсистем такие, что ${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle H_ {1} \ otimes H_ {2}}$${\ displaystyle p_ {k} \ geq 0}$${\ displaystyle \ {\ rho _ {1} ^ {k} \}}$${\ displaystyle \ {\ rho _ {2} ^ {k} \}}$

${\ displaystyle \ rho = \ sum _ {k} p_ {k} \ rho _ {1} ^ {k} \ otimes \ rho _ {2} ^ {k}}$

куда

${\ displaystyle \; \ sum _ {k} p_ {k} = 1.}$

В противном случае это называется запутанным состоянием. Без ограничения общности в приведенном выше выражении мы можем предположить, что все и являются проекциями ранга 1, то есть представляют собой чистые ансамбли соответствующих подсистем. Из определения ясно, что семейство сепарабельных состояний является выпуклым множеством . ${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle \ {\ rho _ {1} ^ {k} \}}$${\ displaystyle \ {\ rho _ {2} ^ {k} \}}$

Обратите внимание, что, опять же из определения тензорного произведения, любая матрица плотности, фактически любая матрица, действующая в составном пространстве состояний, может быть тривиально записана в желаемой форме, если мы откажемся от требования, что и сами являются состояниями, и если эти требования выполняются выполнено, то мы можем интерпретировать общее состояние как распределение вероятностей по некоррелированным состояниям продукта . ${\ displaystyle \ {\ rho _ {1} ^ {k} \}}$${\ displaystyle \ {\ rho _ {2} ^ {k} \}}$${\ displaystyle \; \ sum _ {k} p_ {k} = 1.}$

С точки зрения квантовых каналов , отделимое состояние может быть создано из любого другого состояния с использованием локальных действий и классической коммуникации, в то время как запутанное состояние не может.

Когда пространства состояний бесконечномерны, матрицы плотности заменяются операторами класса положительных следов со следом 1, и состояние является сепарабельным, если оно может быть аппроксимировано в норме следа состояниями указанной выше формы.

Если есть только один ненулевой , то состояние может быть выражено так же, как и называется просто разделимым или состоянием продукта . Одним из свойств состояния продукта является то , что с точки зрения энтропии , ${\ displaystyle p_ {k}}$${\ textstyle \ rho = \ rho _ {1} \ otimes \ rho _ {2},}$

${\ Displaystyle S (\ rho) = S (\ rho _ {1}) + S (\ rho _ {2}).}$

Распространение на многочастный случай

Приведенное выше обсуждение легко обобщается на случай квантовой системы, состоящей более чем из двух подсистем. Пусть система имеет n подсистем и пространство состояний . Чистое состояние отделимо, если оно принимает вид ${\ Displaystyle H = H_ {1} \ otimes \ cdots \ otimes H_ {n}}$${\ displaystyle | \ psi \ rangle \ in H}$

${\ displaystyle | \ psi \ rangle = | \ psi _ {1} \ rangle \ otimes \ cdots \ otimes | \ psi _ {n} \ rangle.}$

Аналогично смешанное состояние ρ, действующее на H , сепарабельно, если оно является выпуклой суммой

${\ displaystyle \ rho = \ sum _ {k} p_ {k} \ rho _ {1} ^ {k} \ otimes \ cdots \ otimes \ rho _ {n} ^ {k}.}$

Или, в бесконечномерном случае, ρ сепарабельно, если его можно аппроксимировать в норме следа состояниями указанного выше вида.

Критерий отделимости

Проблема определения того, является ли состояние сепарабельным в целом, иногда называют проблемой сепарабельности.в квантовой теории информации . Считается сложной проблемой. Было показано, что это NP-сложно . Некоторое понимание этой трудности можно получить, если попытаться решить проблему, используя метод прямого перебора для фиксированного измерения. Мы видим, что проблема быстро становится неразрешимой даже для небольших габаритов. Таким образом, требуются более сложные рецептуры. Проблема отделимости является предметом текущих исследований.

Критерий отделимости является необходимым условием государство должно удовлетворять сепарабельными. В низкоразмерных случаях ( 2 X 2 и 2 X 3 ) критерий Переса-Городецкого фактически является необходимым и достаточным условием отделимости. Другие критерии отделимости включают (но не ограничиваясь ими) критерий диапазона , критерий сокращения , и те , которые основаны на неопределенности отношений. См. Ссылку. для обзора критериев разделимости в системах с дискретными переменными.

В системах с непрерывными переменными также применяется критерий Переса-Городецкого . В частности, Саймон сформулировал конкретную версию критерия Переса-Городецкого в терминах моментов второго порядка канонических операторов и показал, что он необходим и достаточен для -модовых гауссовских состояний (см., Казалось бы, другой, но по существу эквивалентный подход). . Позже было обнаружено, что условие Саймона также необходимо и достаточно для -модовых гауссовских состояний, но уже не достаточно для -модовых гауссовских состояний. Условие Саймона можно обобщить, принимая во внимание моменты канонических операторов более высокого порядка или используя энтропийные меры. ${\ displaystyle 1 \ oplus 1}$${\ displaystyle 1 \ oplus n}$${\ displaystyle 2 \ oplus 2}$

Характеризация через алгебраическую геометрию

Квантовая механика может быть смоделирована на проективном гильбертовом пространстве , и категориальным произведением двух таких пространств является вложение Сегре . В двудольном случае квантовое состояние сепарабельно тогда и только тогда, когда оно лежит в образе вложения Сегре. Йон Магне Лейнаас , Ян Мирхейм и Эйрик Оврум в своей статье «Геометрические аспекты запутанности» описывают проблему и изучают геометрию сепарабельных состояний как подмножество общих матриц состояний. Это подмножество пересекается с подмножеством состояний, удовлетворяющих критерию Переса-Городецкого . В этой статье Leinaas et al. также дают численный подход к проверке разделимости в общем случае.

Проверка на разделимость

Проверка на разделимость в общем случае является NP-сложной задачей. Leinaas et. al. сформулировал итерационный вероятностный алгоритм для проверки того, является ли данное состояние разделимым. Когда алгоритм работает успешно, он дает явное случайное представление данного состояния как отдельного состояния. В противном случае он дает расстояние от данного состояния до ближайшего разделяемого состояния, которое оно может найти.

Смотрите также

• Свидетель запутывания

использованная литература

внешние ссылки

• Веб-приложение "StateSeparator"