Скудный набор - Meagre set

В математических областях общей топологии и дескриптивной теории множеств , множество скудного (также называется множество скудного или множество первой категории ) является набор , который, рассматриваемым как подмножество А (обычно больше) топологического пространства , в точном чувство маленькое или незначительное . Топологическое пространство T называется скудным, если оно является скудным подмножеством самого себя; в противном случае он называется немеченым .

Скудные подмножества фиксированного пространства образуют σ-идеал подмножеств; то есть, любое подмножество множества скудного является тощим, и объединением из счетного числа множеств скудных является тощим. Общие топологи используют термин пространство Бэра для обозначения широкого класса топологических пространств, для которых понятие скудного множества нетривиально (в частности, все пространство не является скудным). Теоретики описательных множеств в основном изучают скудные множества как подмножества действительных чисел или, в более общем смысле, любое польское пространство , и резервируют термин « пространство Бэра» для одного конкретного польского пространства.

Дополнением множества скудного является множество comeagre или остаточное множество . Набор, который не является скудным, называется немеченым и относится ко второй категории . Обратите внимание, что понятия совокупного множества и немарочного множества не эквивалентны.

Определение

Повсюду будет топологическое пространство . ${\ displaystyle X}$

Подмножество топологического пространства называется нигде не плотно или редко в случае его закрытия имеет пустой интерьер . Эквивалентно, нигде не плотно, если для каждого открытого множества множество не плотно в${\ Displaystyle B \ substeq X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle X}$ ${\ Displaystyle U \ substeq X,}$${\ displaystyle B \ cap U}$${\ displaystyle U.}$

Замкнутое подмножество в нигде не плотно в том и только в том случае, если его топологическая внутренность в пуста. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$

Подмножество топологического пространства называется тощим в виде скудного югу набор из или в первой категории в , если оно является счетным объединением нигде не плотных подмножеств A подмножества из второй категории или nonmeagre в , если это не первый категория в${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle X,}$ ${\ displaystyle X,}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X.}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X.}$

Топологическое пространство называется скудным (соответственно немирным ), если оно является скудным (соответственно немирным) подмножеством самого себя.

Предупреждение : Если это подмножество, то быть «скудным подпространством » означает, что когда наделено топологией подпространства (индуцированной на нем ), то это скудное топологическое пространство (то есть является скудным подмножеством ). В противоположность этому , будучи «скудного к югу от набора » из средств, равно счетного объединения нигде не плотных подмножеств То же самое относится и к нетощее подмножеств и подпространств.${\ Displaystyle S \ substeq X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle X.}$

Например, если есть множество всех положительных целых чисел , то есть скудный юг набор из , но не скудный суба пространство из If не является изолированной точкой из Т ₁ пространства ( что означает , что не открытое подмножество ) , то это скудное к югу пространство из , но не скудный югу набор из${\ Displaystyle S: = \ mathbb {N}}$${\ displaystyle S}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}.}$${\ displaystyle x \ in X}$ ${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle \ {х \}}$${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle \ {х \}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X.}$

Подмножество является comeagre в случае его со mplement является тощей в Эквивалентно, оно равно к пересечению счетного числа множеств, каждый из которых топологического интерьер представляет собой плотное подмножество Этого использования префикса « совместный » согласуется с его использованием в других такие термины, как « ко конечный ». ${\ displaystyle A \ substeq X}$${\ displaystyle X}$ ${\ Displaystyle X \ setminus A}$${\ displaystyle X.}$${\ displaystyle X.}$

Важно отметить, что принадлежать ко второй категории - это не то же самое, что быть сошедшимся - набор не может быть ни скудным, ни скудным (в этом случае он будет относиться ко второй категории).

Примеры и достаточные условия

Позвольте быть топологическим пространством. ${\ displaystyle X}$

Скудные суб наборы и вложенные пространства

• Одноэлементное подмножество всегда является не-скудны суб пространство из (то есть, это не является скудным топологическим пространством). Если это изолированная точка из , то также не-скудны суб набор из ; обратное верно, если это пространство T ₁ .${\ Displaystyle \ {х \} \ substeq X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle \ {х \}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$
• Любое подмножество скудного набора - это скудный набор.
• Всякое нигде не плотное подмножество - это скудное множество.
• Объединение счетного множества скудных множеств тоже скудное множество.
• Любое замкнутое подмножество , внутреннее пространство которого пусто, относится к первой категории (то есть является скудным подмножеством ). Таким образом, замкнутое подмножество второй категории в должно иметь непустую внутренность в${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X.}$
• Счетное хаусдорфово пространство без изолированных точек скудно.
• Любое топологическое пространство, содержащее изолированную точку, немощно.
• Любое дискретное пространство не является скудным.
• Каждое пространство Бэра не является скудным, но существуют немудренные пространства, которые не являются пространствами Бэра.
  • Поскольку полные метрические пространства, а также хаусдорфовы локально компактные пространства являются пространствами Бэра, они также не являются скудными пространствами.
• Множество является скудным суб набором из , даже если не является скудным суб пространства (то есть, не скудное топологическим пространство).${\ Displaystyle S = (\ mathbb {Q} \ times \ mathbb {Q}) \ чашка \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$
• Поскольку рациональные числа счетны, они скудны как подмножество действительных чисел и как пространство, то есть они не образуют пространство Бэра .
• Канторовым скудный как подмножество вещественных чисел, но не как подмножество самого по себе, так как она является полным метрическим пространством и, таким образом, пространство Бэра , по теореме Бэра категории .
• Если - гомеоморфизм, то подмножество будет скудным тогда и только тогда, когда оно скудно.${\ displaystyle h: X \ to X}$${\ Displaystyle S \ substeq X}$${\ displaystyle h (S)}$

Подмножество Comeagre

• Любой расширенный набор подходящего набора подходит.
• пересечение счетного множества сходящихся множеств совпадает.
  • Это следует из того факта, что счетное объединение счетных множеств счетно.

Функциональные пространства

Набор функций, которые в какой-то момент имеют производную, представляет собой скудный набор в пространстве всех непрерывных функций .

Характеристики

• Теорема Банаха о категории: в любом пространстве объединение любого счетного семейства открытых множеств первой категории относится к первой категории.${\ displaystyle X,}$
• Немногочисленное локально выпуклое топологическое векторное пространство - это бочкообразное пространство .
• Замкнутое подмножество второй категории в должно иметь непустую внутренность в${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X.}$
• Если принадлежит второй категории в, и если являются подмножествами таких, что хотя бы одно принадлежит второй категории в${\ Displaystyle B \ substeq X}$${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle S_ {1}, S_ {2}, \ ldots}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle B \ substeq \ bigcup _ {n \ in \ mathbb {N}} S_ {n},}$${\ displaystyle S_ {n}}$${\ displaystyle X.}$

Скудные подмножества и мера Лебега

У скудного набора не обязательно должна быть нулевая мера . Нигде не существует плотных подмножеств (которые, таким образом, являются скудными) с положительной мерой Лебега .

Связь с борелевской иерархией

Подобно тому, как нигде не плотное подмножество не обязательно должно быть замкнутым, но всегда содержится в замкнутом нигде не плотном подмножестве (а именно, его замыкание), скудное множество не обязательно должно быть множеством F _σ (счетное объединение замкнутых множеств), но всегда содержится в множестве F _σ, сделанном из нигде не плотных множеств (путем замыкания каждого множества).

Двойственно, так же, как дополнение к нигде не плотному множеству не обязательно должно быть открытым, но имеет плотную внутренность (содержит плотное открытое множество), общее множество не обязательно должно быть множеством G _δ (счетное пересечение открытых множеств), но содержит плотное множество G _δ, образованное из плотных открытых множеств.

Игра Банаха – Мазура

У скудных множеств есть полезная альтернативная характеристика в терминах игры Банаха – Мазура . Пусть - топологическое пространство, - семейство подмножеств с непустыми внутренностями, такое что каждое непустое открытое множество имеет подмножество, принадлежащее и любое подмножество Тогда существует игра Банаха – Мазура, соответствующая В игре Банаха – Мазура два игроки, и поочередно выбирают последовательно меньшие элементы, чтобы создать последовательность. Игрок выигрывает, если пересечение этой последовательности содержит точку в ; в противном случае игрок выигрывает. ${\ displaystyle Z}$${\ Displaystyle {\ mathcal {W}}}$${\ displaystyle Z}$${\ displaystyle {\ mathcal {W}},}$${\ displaystyle Z}$${\ displaystyle Z.}$${\ displaystyle X, {\ mathcal {W}}, Z.}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle Q,}$${\ Displaystyle {\ mathcal {W}}}$${\ displaystyle W_ {1} \ supseteq W_ {2} \ supseteq W_ {3} \ supseteq \ cdots.}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Q}$

Теорема : для любого соответствия вышеуказанным критериям у игрока есть выигрышная стратегия тогда и только тогда, когда она скудна.${\ Displaystyle {\ mathcal {W}}}$${\ displaystyle Q}$${\ displaystyle X}$

Смотрите также

• Теорема Бэра о категории  - О топологических пространствах, где пересечение счетного числа плотных открытых множеств плотно
• Пространство Бэра
• Родовое свойство , для аналогов остаточному
• Незначительный набор , для аналогов скудным
• Нигде плотный набор
• Собственность Бэра

Примечания

Библиография

• Наричи, Лоуренс ; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834 .
• Рудин, Вальтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science / Engineering / Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277 .

внешние ссылки

• Есть ли набор нулевой меры, который не является скудным?