Принцип Хассе - Hasse principle

В математике , Гельмут Хассе «ы локально-глобальный принцип , известный также как принцип Хассе , является идея , что можно найти целое решение уравнения с помощью теоремы китайского остатка к штучных решений вместе по модулю силы каждого отдельного простого числа . Это обрабатывается путем анализа уравнения в доработках этих рациональных чисел : в действительных числах и р -адических числах . Более формальная версия принципа Хассе гласит, что некоторые типы уравнений имеют рациональное решение тогда и только тогда, когда они имеют решение в действительных числах и в p -адических числах для каждого простого числа p .

Интуиция

Учитывая полиномиальное уравнение с рациональными коэффициентами, если это имеет рациональное решение, то это также дает реальное решение и р -адическим решение, как рациональное числа встраивают в реале и р -adics: глобальный раствор дает локальные решения в каждом штрихоме . Принцип Хассе спрашивает, когда можно сделать обратное, или, скорее, спрашивает, в чем состоит препятствие: когда вы можете соединить решения по действительным и p- адикам, чтобы получить решение по рациональным числам: когда можно объединить локальные решения, чтобы сформировать глобальное решение?

Это можно задать и для других колец или полей: например, для целых чисел или для числовых полей . Для числовых полей вместо действительных чисел и p- адиков используются сложные вложения и -адики для простых идеалов .

Формы, представляющие 0

Квадратичные формы

Хассе-Минковского теорема утверждает , что локально-глобальный принцип справедлив для задачи , представляющий 0 от квадратичных форм над рациональными числами (это Минковского результат «S); и, в более общем смысле, над любым числовым полем (как доказано Хассе), когда используются все соответствующие необходимые условия локального поля . Теорема Хассе о циклических расширениях утверждает, что локально-глобальный принцип применим к условию относительной нормы для циклического расширения числовых полей.

Кубические формы

Контрпример Эрнста С. Сельмера показывает, что теорема Хассе-Минковского не может быть расширена до форм степени 3: кубическое уравнение 3 x 3  + 4 y 3  + 5 z 3  = 0 имеет решение в действительных числах, и во всех p -адические поля, но у него нет нетривиального решения, в котором x , y и z - все рациональные числа.

Роджер Хит-Браун показал, что каждая кубическая форма над целыми числами по крайней мере в 14 переменных представляет 0, улучшив более ранние результаты Давенпорта . Поскольку каждая кубическая форма над p-адическими числами с как минимум десятью переменными представляет 0, локально-глобальный принцип тривиально выполняется для кубических форм над рациональными числами как минимум от 14 переменных.

Ограничиваясь неособыми формами, можно добиться большего успеха, чем это: Хит-Браун доказал, что каждая неособая кубическая форма над рациональными числами по крайней мере от 10 переменных представляет 0, таким образом тривиально установив принцип Хассе для этого класса форм. Известно, что результат Хита-Брауна является наилучшим в том смысле, что существуют неособые кубические формы над рациональными числами от 9 переменных, которые не представляют ноль. Однако Хули показал, что принцип Хассе справедлив для представления 0 неособыми кубическими формами над рациональными числами по крайней мере от девяти переменных. Давенпорт, Хит-Браун и Хули использовали в своих доказательствах круговой метод Харди – Литтлвуда . Согласно идее Манина , препятствия к применению принципа Хассе для кубических форм могут быть связаны с теорией группы Брауэра ; это препятствие Брауэра – Манина , которое полностью объясняет несостоятельность принципа Хассе для некоторых классов разнообразия. Однако Скоробогатов показал, что препятствие Брауэра – Манина не может объяснить всех неудач принципа Хассе.

Бланки высшей степени

Контрпримеры Фудзивары и Судо показывают, что теорема Хассе – Минковского не расширяется до форм степени 10 n + 5, где n - неотрицательное целое число.

С другой стороны, теорема Берча показывает, что если d - любое нечетное натуральное число, то существует такое число N ( d ), что любая форма степени d в более чем N ( d ) переменных представляет 0: принцип Хассе тривиально выполняется.

Теорема Альберта – Брауэра – Хассе – Нётер

Альберт-Брауэра-Хассе-Нётер устанавливает локально-глобальный принцип для расщепления центральной простой алгебры А над полем алгебраических чисел К . Он утверждает , что если расщепляется над каждым заканчивания K V , то она изоморфна матричной алгебре над K .

Принцип Хассе для алгебраических групп

Принцип Хассе для алгебраических групп утверждает, что если G - односвязная алгебраическая группа, определенная над глобальным полем k, то отображение из

инъективно, где произведение находится по всем точкам s поля k .

Принцип Хассе для ортогональных групп тесно связан с принципом Хассе для соответствующих квадратичных форм.

Кнезер (1966) и несколько других проверили принцип Хассе индивидуальными доказательствами для каждой группы. Последним случаем была группа E 8, которую Черноусов (1989) завершил только через много лет после других случаев.

Принцип Хассе для алгебраических групп использовался при доказательстве гипотезы Вейля для чисел Тамагавы и сильной аппроксимационной теоремы .

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Эрнст С. Сельмер (1951). «Диофантово уравнение ax 3  +  by 3  +  cz 3  = 0» . Acta Mathematica . 85 : 203–362. DOI : 10.1007 / BF02395746 .
  2. ^ а б Д. Хит-Браун (2007). «Кубические формы от 14 переменных». Изобретать. Математика . 170 (1): 199–230. Bibcode : 2007InMat.170..199H . DOI : 10.1007 / s00222-007-0062-1 .
  3. ^ Х. Давенпорт (1963). «Кубические формы от шестнадцати переменных». Труды Королевского общества А . 272 (1350): 285–303. Bibcode : 1963RSPSA.272..285D . DOI : 10,1098 / rspa.1963.0054 .
  4. ^ DR Хит-Brown (1983). «Кубические формы от десяти переменных». Труды Лондонского математического общества . 47 (2): 225–257. DOI : 10.1112 / ПНИЛИ / s3-47.2.225 .
  5. ↑ LJ Mordell (1937). «Замечание о неопределенных уравнениях многих переменных». Журнал Лондонского математического общества . 12 (2): 127–129. DOI : 10,1112 / jlms / s1-12.1.127 .
  6. ^ С. Хули (1988). «О неарных кубических формах». Journal für die reine und angewandte Mathematik . 386 : 32–98.
  7. ↑ Алексей Н. Скоробогатов (1999). «За преградой Манина». Изобретать. Математика . 135 (2): 399–424. arXiv : alg-geom / 9711006 . Bibcode : 1999InMat.135..399S . DOI : 10.1007 / s002220050291 .
  8. ↑ М. Фудзивара ; М. Судо (1976). «Некоторые формы нечетной степени, для которых принцип Хассе не работает» . Тихоокеанский математический журнал . 67 (1): 161–169. DOI : 10,2140 / pjm.1976.67.161 .

использованная литература

внешние ссылки