Группа Брауэра - Brauer group

В математике , то группа Брауэра из поля K является абелевой группой , элементами которой являются Морита эквивалентности классов центральных простых алгебр над К , с добавлением дается тензорное произведение алгебр. Его определил алгебраист Рихард Брауэр .

Группа Брауэра возникла из попыток классификации алгебр с делением над полем. Его также можно определить в терминах когомологий Галуа . В более общем смысле группа Брауэра схемы определяется в терминах алгебр Адзумая или, что эквивалентно, с использованием проективных расслоений .

Строительство

Центральная простая алгебра (CSA) , над полем K является конечномерным ассоциативными К - алгебры таким образом, что является простым кольцо и центр из A , равно K . Обратите внимание, что CSA, как правило, не являются алгебрами с делением, хотя CSA можно использовать для классификации алгебр с делением.

Например, комплексные числа C образуют CSA над собой, но не над R (центр - это сам C , поэтому он слишком велик, чтобы быть CSA над R ). Конечномерные алгебры с делением с центром R (что означает, что размерность над R конечна) являются действительными числами и кватернионами по теореме Фробениуса , в то время как любое матричное кольцо над вещественными или кватернионами - M ( n , R ) или M ( n , H ) - это CSA над вещественными числами, но не алгебра с делением (если n > 1).

Получим отношение эквивалентности на CSAs над К со стороны теоремы Артина-Веддербарна ( Веддерберна часть «с, на самом деле), чтобы выразить любую CSA как М ( п , D ) для некоторой алгебры с делением D . Если мы посмотрим только на D , то есть, если мы наложим отношение эквивалентности идентифицирующую М ( т , D ) с М ( п , D ) для всех положительных целых чисел т и п , мы получаем эквивалентность Брауэра отношение на СВГ над K . Элементы группы Брауэра являются Брауэр классы эквивалентности CSAs над K .

Для центральных простых алгебр A и B их тензорное произведение A ⊗ B можно рассматривать как K -алгебру (см. Тензорное произведение R-алгебр ). Оказывается, это всегда центральная простота. Пятно способ увидеть это , чтобы использовать характеристику: центральная простая алгебру над K является K - алгеброй , которая становится матрицей кольцом , когда мы расширим поле скаляров к алгебраическому замыканию в K . Этот результат также показывает, что размерность центральной простой алгебры A как K- векторного пространства всегда является квадратом. Степени из А определяется как квадратный корень из его размерности.

В результате классы изоморфизма CSA над K образуют моноид относительно тензорного произведения, совместимого с эквивалентностью Брауэра, и все классы Брауэра обратимы : обратная алгебре A задается ее противоположной алгеброй A op ( противоположное кольцо с то же действие K, поскольку образ K → A находится в центре A ). Явное, для CSA А мы имеем ⊗ A оп = М ( п 2 , K ), где п есть степень A над K .

Группа Брауэра любого поля - это группа кручения . Более подробно, определим период центральной простой алгебры A над K как ее порядок как элемента группы Брауэра. Определим индекс в А быть степень алгебры с делением, которое Брауэра эквивалентно A . Тогда период A делит индекс A (и, следовательно, конечен).

Примеры

Разновидности Севери – Брауэра

Другая важная интерпретация группы Брауэра поля K является то , что она классифицирует проективные многообразия над K , которые становятся изоморфно проективное пространство над алгебраическим замыканием в K . Такое разнообразие называется многообразие Севери-Брауэра , и существует взаимно однозначное соответствие одному между классами изоморфизма многообразий Севери-Брауэра размерности п -1 над K и центральных простых алгебр степени п над К .

Например, сорт Севери- Брауэра размерности 1 в точности гладкие коники в проективной плоскости над K . Для поля К от характерного не 2, каждая коника над K изоморфна одной из вида ах 2 + от 2 = г 2 для некоторых элементов отличных от нуля и Ь из К . Соответствующая центральная простая алгебра - это кватернионная алгебра

Коника изоморфна проективной прямой P 1 над K тогда и только тогда, когда соответствующая алгебра кватернионов изоморфна матричной алгебре M (2, K ).

Циклические алгебры

Для положительного целого числа n пусть K - поле, в котором n обратимо, такое, что K содержит примитивный корень n- й степени из единицы ζ. Для ненулевых элементов a и b из K соответствующая циклическая алгебра является центральной простой алгеброй степени n над K, определяемой формулой

Циклические алгебры - это наиболее понятные центральные простые алгебры. (Когда n не обратимо в K или K не имеет примитивного корня n- й степени из единицы, аналогичная конструкция дает циклическую алгебру (χ, a ), связанную с циклическим Z / n- расширением χ поля K и ненулевым элементом a из K .)

Теорема Меркурьева – Суслина в алгебраической K-теории имеет сильное следствие относительно группы Брауэра. А именно, для положительного целого числа n , пусть K будет полем, в котором n обратимо, так что K содержит примитивный корень n- й степени из единицы. Тогда подгруппа группы Брауэра группы K, убитая n , порождается циклическими алгебрами степени n . Эквивалентно, любая алгебра с делением периода, делящего n, эквивалентна по Брауэру тензорному произведению циклических алгебр степени n . Даже для простого числа p есть примеры, показывающие, что алгебра с делением периода p не обязательно должна быть фактически изоморфна тензорному произведению циклических алгебр степени p .

Это большая открытая проблема (поднятая Альбертом ), является ли всякая алгебра с делением простой степени над полем циклической. Это верно, если степень равна 2 или 3, но проблема широко открыта для простых чисел не менее 5. Известные результаты относятся только к специальным классам полей. Например, если K - глобальное поле или локальное поле , то алгебра с делением любой степени над K циклическая по Альберту – Брауэру - Хассе - Нётер . «Многомерный» результат в том же направлении был доказан Салтманом: если K - поле степени трансцендентности 1 над локальным полем Q p , то любая алгебра с делением простой степени l ≠ p над K циклическая.

Проблема индекса периода

Для любой центральной простой алгебры A над полем K период A делит индекс A , и два числа имеют одинаковые простые множители. Задача индекса периода состоит в том, чтобы ограничить индекс периодом для интересующих полей K. Например, если является центральная простая алгебра над локальным полем или глобальным полем, а затем Альберт-Брауэра-Хассе-Нётер показал , что индекс А равен периоду А .

Для центральной простой алгебры A над полем K степени трансцендентности n над алгебраически замкнутым полем предполагается, что ind ( A ) делит per ( A ) n −1 . Это верно для n ≤ 2, причем случай n = 2 является важным достижением де Йонга , усиленным в положительной характеристике де Йонгом – Старром и Либлихом.

Теория поля классов

Группа Брауэра играет важную роль в современной формулировке теории поля классов . Если K v - неархимедово локальное поле, локальная теория полей классов дает канонический изоморфизм inv v : Br ( K v ) → Q / Z , инвариант Хассе .

Случай глобального поля K (такого как числовое поле ) рассматривается с помощью теории полей глобальных классов . Если D центральная простая алгебра над K и v является место из K , то D ⊗ K v центральная простая алгебра над К V , завершение K в V . Это определяет гомоморфизм из группы Брауэра K в группу Брауэра K v . Данная центральная простая алгебра D расщепляется для всех v , кроме конечного , так что образ D при почти всех таких гомоморфизмах равен 0. Группа Брауэра Br ( K ) вписывается в точную последовательность, построенную Хассе:

где S - множество всех позиций K, а стрелка вправо - сумма локальных инвариантов; группа Брауэра действительных чисел идентифицируется с (1/2) Z / Z . Инъективность левой стрелки является содержанием теоремы Альберта – Брауэра – Хассе – Нётер .

Тот факт, что сумма всех локальных инвариантов центральной простой алгебры над K равна нулю, является типичным законом взаимности . Например, применение этого к алгебре кватернионов ( a , b ) над Q дает квадратичный закон взаимности .

Когомологии Галуа

Для произвольного поля K группа Брауэра может быть выражена через когомологии Галуа следующим образом:

где С т обозначает мультипликативную группу , рассматриваются как алгебраическая группа над K . Более конкретно, группа когомологий указаны средства H 2 (Gal ( K сек / K ), K сек * ), где K сек обозначает разъемное замыкание из K .

Изоморфизм группы Брауэра с группой когомологий Галуа можно описать следующим образом. Группа автоморфизмов алгебры матриц размера n × n - это проективная линейная группа PGL ( n ). Поскольку все центральные простые алгебры над K становятся изоморфными матричной алгебре над сепарабельным замыканием K , множество классов изоморфизма центральных простых алгебр степени n над K можно отождествить с множеством когомологий Галуа H 1 ( K , PGL ( n )). Класс центральной простой алгебры в H 2 ( K , G m ) - это образ ее класса в H 1 при граничном гомоморфизме

связанной с короткой точной последовательностью 1 → G m → GL (n) → PGL (n) → 1.

Группа Брауэра схемы

Группа Брауэра была обобщена из полей в коммутативных колец по Ауслендер и Голдман . Гротендик пошел дальше, определив группу Брауэра любой схемы .

Есть два способа определения группы Брауэра схемы X , используя либо алгебры Адзумаи над X или проективных расслоений над X . Второе определение включает проективные расслоения, которые локально тривиальны в этальной топологии , не обязательно в топологии Зарисского . В частности, проективное расслоение определяется как нулевое в группе Брауэра тогда и только тогда, когда оно является проективизацией некоторого векторного расслоения.

Когомологическая группа Брауэра из квази-компактная схема X определяются как кручение подгруппы этальных когомологий группы Н 2 ( Х , G м ). (Вся группа H 2 ( X , G m ) не обязательно должна быть кручением, хотя для регулярных схем X это кручение .) Группа Брауэра всегда является подгруппой когомологической группы Брауэра. Габбер показал, что группа Брауэра равна когомологической группе Брауэра для любой схемы с обильным линейным расслоением (например, любой квазипроективной схемы над коммутативным кольцом).

Всю группу H 2 ( X , G m ) можно рассматривать как классификацию ростков над X со структурной группой G m .

Для гладких проективных многообразий над полем группа Брауэра является бирациональным инвариантом. Это было плодотворно. Например, когда X также рационально связно над комплексными числами, группа Брауэра X изоморфна подгруппе кручения сингулярной группы когомологий H 3 ( X , Z ), которая, следовательно, является бирациональным инвариантом. Артин и Мамфорд использовали это описание группы Брауэра, чтобы дать первый пример унирационального многообразия X над C , которое не является стабильно рациональным (то есть никакое произведение X с проективным пространством не является рациональным).

Связь с гипотезой Тейта

Артин предположил, что каждая правильная схема над целыми числами имеет конечную группу Брауэра. Это далеко не известно даже в частном случае гладкого проективного многообразия X над конечным полем. Действительно, конечность группы Брауэра для поверхностей в этом случае эквивалентна гипотезе Тейта для дивизоров на X , одной из основных проблем теории алгебраических циклов .

Для регулярной интегральной схемы размерности 2, которая является плоской и собственной над кольцом целых чисел числового поля и которая имеет сечение , конечность группы Брауэра эквивалентна конечности группы Тейта – Шафаревича Ø для якобиана многообразие общего слоя (кривая над числовым полем). Конечность Ш - центральная проблема арифметики эллиптических кривых и абелевых многообразий в более общем смысле .

Препятствие Брауэра – Манина

Пусть X гладкое проективное многообразие над числовым полем K . Принцип Хассе предсказывает, что если X имеет рациональную точку над всеми пополнениями K v поля K , то X имеет K -рациональную точку. Принцип Хассе верен для некоторых специальных классов многообразий, но не в целом. Манин использовал группу Брауэра X , чтобы определить препятствие Брауэра-Манин , который может быть применен во многих случаях , чтобы показать , что X не имеет K -точек , даже если X имеет точки над всеми пополнениями K .

Примечания

использованная литература

внешние ссылки