Закон полной вероятности - Law of total probability
Часть серии по статистике |
Теория вероятности |
---|
В теории вероятностей , то закон (или формула ) полной вероятности является основным правилом в отношении предельных вероятностей для условных вероятностей . Он выражает общую вероятность результата, который может быть реализован через несколько различных событий - отсюда и название.
Заявление
Закон полной вероятности является теорема , что в дискретном случае, состояния , если конечное или счетное разбиение из выборочного пространства (другими словами, набор попарно непересекающихся событий , чей союз является весь выборочное пространство) и каждое событие это измеримо , то для любого события одного и того же вероятностного пространства :
или, альтернативно,
где, для любого, для которого эти члены просто исключены из суммирования, потому что является конечным.
Суммирование можно интерпретировать как средневзвешенное , и, следовательно, предельную вероятность иногда называют «средней вероятностью»; «общая вероятность» иногда используется в менее формальных текстах.
Закон полной вероятности также может быть сформулирован для условных вероятностей.
Принимая вышеуказанное и предполагая, что это событие не зависит от любого из :
Неформальная формулировка
Вышеупомянутое математическое утверждение можно интерпретировать следующим образом: учитывая событие с известными условными вероятностями, данное любое из событий, каждое с известной вероятностью, какова общая вероятность того, что произойдет? Ответ на этот вопрос дает .
Непрерывный случай
Закон полной вероятности распространяется на случай обусловливания событий, генерируемых непрерывными случайными величинами. Позвольте быть вероятностным пространством . Предположим , это случайная величина с функцией распределения , и событие включено . Тогда закон полной вероятности гласит
Если допускает функцию плотности , то результат будет
Более того, для конкретного случая, когда , где - борелевское множество, это дает
Пример
Предположим, что две фабрики поставляют на рынок лампочки . Лампы Factory X работают более 5000 часов в 99% случаев, тогда как лампы Factory Y работают более 5000 часов в 95% случаев. Известно, что фабрика X поставляет 60% от общего количества ламп, а Y - 40% от общего количества ламп. Каков шанс, что купленная лампочка проработает более 5000 часов?
Применяя закон полной вероятности, имеем:
куда
- вероятность того, что приобретенная лампочка изготовлена на заводе X ;
- вероятность того, что приобретенная лампочка изготовлена фабрикой Y ;
- вероятность того, что лампочка производства X проработает более 5000 часов;
- это вероятность того, что лампа производства Y проработает более 5000 часов.
Таким образом, каждая приобретенная лампочка имеет шанс 97,4% проработать более 5000 часов.
Другие имена
Термин « закон полной вероятности» иногда используется для обозначения закона альтернатив , который является частным случаем закона полной вероятности, применяемого к дискретным случайным величинам . Один автор использует терминологию «правила средних условных вероятностей», а другой называет его «непрерывным законом альтернатив» в непрерывном случае. Этот результат был назван Гримметом и Уэлшем теоремой о разделении - именем, которое они также дали соответствующему закону полного математического ожидания .
Смотрите также
- Закон полного ожидания
- Закон полной дисперсии
- Закон полной ковариации
- Закон полной совокупности
- Маржинальное распределение
Примечания
- ^ a b Цвиллинджер, Д., Кокоска, С. (2000) Стандартные таблицы вероятностей и статистики CRC и формулы , CRC Press. ISBN 1-58488-059-7 стр. 31.
- ^ Пол Э. Пфайффер (1978). Понятия теории вероятностей . Courier Dover Publications. С. 47–48. ISBN 978-0-486-63677-1.
- ^ Дебора Рамси (2006). Вероятность для чайников . Для начинающих, для "чайников. п. 58. ISBN 978-0-471-75141-0.
- ↑ Джим Питман (1993). Вероятность . Springer. п. 41. ISBN 0-387-97974-3.
- ^ Кеннет Baclawski (2008). Введение вероятности с R . CRC Press. п. 179. ISBN. 978-1-4200-6521-3.
- ^ Вероятность: Введение , Джеффри Гриммет и Доминик Уэлш , Oxford Science Publications, 1986, теорема 1B.
использованная литература
- Введение в вероятность и статистику Роберта Дж. Бивера, Барбары М. Бивер, Томсон Брукс / Коул, 2005 г., стр. 159.
- Теория статистики , Марк Дж. Шервиш, Springer, 1995.
- Обзор вероятностей Шаума, второе издание , автор: Джон Дж. Шиллер, Сеймур Липшуц, McGraw – Hill Professional, 2010, стр. 89.
- Первый курс стохастических моделей , Х. К. Таймс, Джон Вили и сыновья, 2003 г., страницы 431–432.
- Промежуточный курс теории вероятностей , Алан Гут, Springer, 1995, страницы 5–6.