Неравенство Буля - Boole's inequality

В теории вероятностей , неравенство Буля , также известное как союз связан , говорит , что для любых конечномерного или счетного множества из событий , вероятность того, что по крайней мере один из событий происходят не больше , чем сумма вероятностей отдельных событий. Неравенство Буля названо в честь Джорджа Буля .

Формально для счетного множества событий A ₁ , A ₂ , A ₃ , ... имеем

{\ displaystyle {\ mathbb {P}} \ left (\ bigcup _ {i = 1} ^ {\ infty} A_ {i} \ right) \ leq \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} {\ mathbb {P}} (A_ {i}).}

В мере теоретико термины, неравенство Буля вытекает из того факта , что мера (и , конечно , любая вероятностная мера ) является σ - полуаддитивно .

Доказательство

Доказательство с помощью индукции

Неравенство Буля может быть доказано для конечных наборов событий методом индукции. ${\ displaystyle n}$

Для случая следует, что ${\ Displaystyle п = 1}$

{\ displaystyle \ mathbb {P} (A_ {1}) \ leq \ mathbb {P} (A_ {1}).}

Для этого случая мы имеем ${\ displaystyle n}$

{\ displaystyle {\ mathbb {P}} \ left (\ bigcup _ {i = 1} ^ {n} A_ {i} \ right) \ leq \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ mathbb { P}} (A_ {i}).}

Поскольку и поскольку операция объединения ассоциативна , мы имеем ${\ Displaystyle \ mathbb {P} (A \ чашка B) = \ mathbb {P} (A) + \ mathbb {P} (B) - \ mathbb {P} (A \ cap B),}$

{\ displaystyle \ mathbb {P} \ left (\ bigcup _ {i = 1} ^ {n + 1} A_ {i} \ right) = \ mathbb {P} \ left (\ bigcup _ {i = 1} ^ {n} A_ {i} \ right) + \ mathbb {P} (A_ {n + 1}) - \ mathbb {P} \ left (\ bigcup _ {i = 1} ^ {n} A_ {i} \ cap A_ {n + 1} \ right).}

С

{\ displaystyle {\ mathbb {P}} \ left (\ bigcup _ {i = 1} ^ {n} A_ {i} \ cap A_ {n + 1} \ right) \ geq 0,}

по первой аксиоме вероятности имеем

{\ displaystyle \ mathbb {P} \ left (\ bigcup _ {i = 1} ^ {n + 1} A_ {i} \ right) \ leq \ mathbb {P} \ left (\ bigcup _ {i = 1} ^ {n} A_ {i} \ right) + \ mathbb {P} (A_ {n + 1}),}

и поэтому

{\ displaystyle \ mathbb {P} \ left (\ bigcup _ {i = 1} ^ {n + 1} A_ {i} \ right) \ leq \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathbb {P } (A_ {i}) + \ mathbb {P} (A_ {n + 1}) = \ sum _ {i = 1} ^ {n + 1} \ mathbb {P} (A_ {i}).}

Доказательство без использования индукции

Для любых событий в нашем вероятностном пространстве мы имеем ${\ Displaystyle A_ {1}, A_ {2}, A_ {3}, \ точки}$

{\ displaystyle \ mathbb {P} \ left (\ bigcup _ {i} A_ {i} \ right) \ leq \ sum _ {i} \ mathbb {P} (A_ {i}).}

Одна из аксиом вероятностного пространства состоит в том, что если являются непересекающимися подмножествами вероятностного пространства, то ${\ displaystyle B_ {1}, B_ {2}, B_ {3}, \ dots}$

{\ displaystyle \ mathbb {P} \ left (\ bigcup _ {i} B_ {i} \ right) = \ sum _ {i} \ mathbb {P} (B_ {i});}

это называется счетной аддитивностью.

Если тогда ${\ Displaystyle B \ подмножество A,}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {P} (B) \ leq \ mathbb {P} (A).}$

Действительно, из аксиом вероятностного распределения

{\ displaystyle \ mathbb {P} (A) = \ mathbb {P} (B) + \ mathbb {P} (AB).}

Обратите внимание, что оба условия справа неотрицательны.

Теперь нам нужно изменить наборы , чтобы они не пересекались. ${\ displaystyle A_ {i}}$

{\ displaystyle B_ {i} = A_ {i} - \ bigcup _ {j = 1} ^ {i-1} A_ {j}.}

Итак, если , то мы знаем ${\ displaystyle B_ {i} \ subset A_ {i}}$

{\ displaystyle \ bigcup _ {i = 1} ^ {\ infty} B_ {i} = \ bigcup _ {i = 1} ^ {\ infty} A_ {i}.}

Следовательно, мы можем вывести следующее уравнение

{\ displaystyle \ mathbb {P} \ left (\ bigcup _ {i} A_ {i} \ right) = \ mathbb {P} \ left (\ bigcup _ {i} B_ {i} \ right) = \ sum _ {i} \ mathbb {P} (B_ {i}) \ leq \ sum _ {i} \ mathbb {P} (A_ {i}).}

Неравенства Бонферрони

Неравенство Буля можно обобщить, чтобы найти верхнюю и нижнюю границы вероятности конечных объединений событий. Эти границы известны как неравенства Бонферрони в честь Карло Эмилио Бонферрони ; см. Bonferroni (1936) .

Определять

{\ displaystyle S_ {1}: = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ mathbb {P}} (A_ {i}),}

а также

{\ displaystyle S_ {2}: = \ sum _ {1 \ leq i <j \ leq n} {\ mathbb {P}} (A_ {i} \ cap A_ {j}),}

а также

{\ displaystyle S_ {k}: = \ sum _ {1 \ leq i_ {1} <\ cdots <i_ {k} \ leq n} {\ mathbb {P}} (A_ {i_ {1}} \ cap \ cdots \ cap A_ {i_ {k}})}

для всех целых k из {3, ..., n }.

Тогда для нечетного k из {1, ..., n },

{\ displaystyle {\ mathbb {P}} \ left (\ bigcup _ {i = 1} ^ {n} A_ {i} \ right) \ leq \ sum _ {j = 1} ^ {k} (- 1) ^ {j-1} S_ {j},}

и для четного k из {2, ..., n },

{\ displaystyle {\ mathbb {P}} \ left (\ bigcup _ {i = 1} ^ {n} A_ {i} \ right) \ geq \ sum _ {j = 1} ^ {k} (- 1) ^ {j-1} S_ {j}.}

Неравенство Буля является исходным случаем, k = 1. Когда k = n , то равенство выполняется, и результирующее тождество является принципом включения-исключения .

Смотрите также

использованная литература

Бонферрони, Карло Э. (1936), "Теория статистики делле класса и вычислений вероятности", Pubbl. d. R. Ist. Супер. di Sci. Эконом. e Commerciali di Firenze (на итальянском языке), 8 : 1–62, Zbl 0016.41103
Домен, Клаус (2003), Улучшенные неравенства Бонферрони с помощью абстрактных трубок. Неравенства и идентичности типа включения-исключения , конспект лекций по математике, 1826 , Берлин: Springer-Verlag , стр. Viii + 113, ISBN 3-540-20025-8, MR 2019293 , Zbl 1026.05009
Галамбос, Янош ; Симонелли, Итало (1996), Неравенства типа Бонферрони с приложениями , вероятностью и их приложениями, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. X + 269, ISBN 0-387-94776-0, Руководство по ремонту 1402242 , Zbl 0869.60014
Галамбос, Янош (1977), "Бонферроните неравенство" , Анналы вероятностей , 5 (4): 577-581, DOI : 10,1214 / AOP / 1176995765 , JSTOR 2243081 , МР 0448478 , Zbl +0369,60018
Галамбос, Янош (2001) [1994], "Неравенства Бонферрони" , Энциклопедия математики , EMS Press

Эта статья включает материал из неравенств Бонферрони на PlanetMath , который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .

Languages

In other projects