Дополнительное мероприятие - Complementary event

Часть серии по статистике
Теория вероятности
Вероятность Аксиомы Детерминизм Система Индетерминизм Случайность
Вероятностное пространство Образец пространства Мероприятие Коллективно исчерпывающие события Элементарное мероприятие Взаимная эксклюзивность Исход Синглтон Эксперимент Бернулли суд Распределение вероятностей Распределение Бернулли Биномиальное распределение Нормальное распределение Вероятностная мера Случайная переменная Процесс Бернулли Непрерывный или дискретный Ожидаемое значение Цепь Маркова Наблюдаемое значение Случайная прогулка Стохастический процесс
Дополнительное мероприятие Совместная вероятность Предельная вероятность Условная возможность
Независимость Условная независимость Закон полной вероятности Закон больших чисел Теорема Байеса Неравенство Буля
Диаграмма Венна Древовидная диаграмма
v т е

В теории вероятностей , то дополнение любого события А это событие [не  ], то есть события , которые не происходит. Событие A и его дополнение [не  A ] являются взаимоисключающими и исчерпывающими . Как правило, существует только одно событие B, такое что A и B являются взаимоисключающими и исчерпывающими; это событие является дополнением A . Дополнение к событию А , как правило , обозначаются как А ' , А ^с , A или A . Учитывая событие, событие и дополнительное к нему событие определяют испытание Бернулли : произошло это событие или нет? ${\ displaystyle \ neg}$

Например, если бросается обычная монета и предполагается, что она не может приземлиться на край, то она может приземлиться либо с «орлом», либо с «решкой». Поскольку эти два результата являются взаимоисключающими (т. Е. Монета не может одновременно отображать и орел, и решку) и в совокупности исчерпывающими (т. Е. Нет других возможных результатов, не представленных между этими двумя), они, следовательно, дополняют друг друга. Это означает, что [орлы] логически эквивалентны [не решкам], а [хвосты] эквивалентны [не орлам].

Правило дополнения

В случайном эксперименте вероятности всех возможных событий ( пространство выборки ) должны в сумме равняться 1, то есть какой-то результат должен происходить в каждом испытании. Чтобы два события были дополняющими, они должны быть исчерпывающими в совокупности , вместе заполняя все пространство выборки. Следовательно, вероятность дополнения события должна быть равна единице минус вероятность события. То есть, для события А ,

${\ Displaystyle P (A ^ {c}) = 1-P (A).}$

Эквивалентно, вероятности события и его дополнения всегда должны быть равны 1. Это, однако, не означает, что любые два события, чьи вероятности равны 1, являются дополнениями друг друга; дополнительные мероприятия также должны соответствовать условию взаимной исключительности .

Пример полезности этой концепции

Предположим, кто-то бросает обычный шестигранный кубик восемь раз. Какова вероятность того, что кто-то увидит «1» хотя бы один раз?

Может возникнуть соблазн сказать, что

Pr ([«1» в 1-м испытании] или [«1» во 2-м испытании] или ... или [«1» в 8-м испытании])

= Pr («1» в 1-м испытании) + Pr («1» во 2-м испытании) + ... + P («1» в 8-м испытании)

= 1/6 + 1/6 + ... + 1/6

= 8/6

= 1,3333 ...

Этот результат не может быть правильным, потому что вероятность не может быть больше 1. Метод неверен, потому что восемь событий, вероятности которых были добавлены, не исключают друг друга.

Это перекрытие можно устранить с помощью принципа включения-исключения или, в данном случае, просто найдя вероятность дополнительного события и вычтя ее из 1, таким образом:

Pr (хотя бы одна "1") = 1 - Pr (нет "1")

= 1 - Pr ([нет «1» в 1-м испытании] и [нет «1» во 2-м испытании] и ... и [нет «1» в 8-м испытании])

= 1 - Pr (нет «1» в 1-м испытании) × Pr (нет «1» во 2-м испытании) × ... × Pr (нет «1» в 8-м испытании)

= 1 - (5/6) × (5/6) × ... × (5/6)

= 1 - (5/6) ⁸

= 0,7674 ...

Смотрите также

• Логическое дополнение
• Исключительная дизъюнкция
• Биномиальная вероятность

использованная литература

внешние ссылки

• Дополнительные события - (бесплатная) страница из книги вероятностей МакГроу-Хилла