Событие (теория вероятностей) - Event (probability theory)

В теории вероятности , событие представляет собой набор из результатов в качестве эксперимента (а подмножества из выборки пространства ) , к которому вероятность назначена. Один результат может быть элементом множества различных событий, и разные события в эксперименте обычно не одинаково вероятны, поскольку они могут включать в себя очень разные группы результатов. Событие, состоящее только из одного результата, называется элементарным событием или атомарным событием ; то есть это одноэлементный набор . Событие называется произойти , если содержит исход из ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle x}$ эксперимент (или проба) (то есть если ). Вероятность (по отношению к некоторой вероятностной мере ) того, что событие произойдет, - это вероятность, которая содержит результат эксперимента (то есть вероятность того, что ). Событие определяет дополнительное событие , а именно дополнительный набор (событие не происходит), и вместе они определяют испытание Бернулли : произошло событие или нет? ${\ displaystyle x \ in S}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle x \ in S}$

Обычно, когда пространство отсчетов конечно, любое подмножество пространства отсчетов является событием (то есть все элементы набора мощности пространства отсчетов определяются как события). Однако этот подход не работает в тех случаях, когда пространство выборки бесконечно . Таким образом, при определении вероятностного пространства можно и часто необходимо исключить определенные подмножества выборочного пространства из событий (см. События в вероятностных пространствах ниже).

Простой пример

Если мы соберем колоду из 52 игральных карт без джокеров и возьмем одну карту из колоды, то пробное пространство будет набором из 52 элементов, поскольку каждая карта является возможным исходом. Однако событие - это любое подмножество пространства выборки, включая любой одноэлементный набор ( элементарное событие ), пустой набор (невозможное событие с нулевой вероятностью) и само пространство выборки (определенное событие с вероятностью единица). Другие события являются собственными подмножествами выборочного пространства, содержащими несколько элементов. Так, например, к потенциальным событиям относятся:

Эйлер - схема события. - это образец пространства и является событием. По соотношению площадей вероятность составляет примерно 0,4.

{\ displaystyle B}

{\ displaystyle A}

{\ displaystyle A}

«Красное и черное одновременно, но не шутник» (0 элементов),
«Пятерка червей» (1 элемент),
«Король» (4 элемента),
«Лицевая карта» (12 элементов),
«Пика» (13 элементов),
«Лицевая карта или красная масть» (32 элемента),
«Карта» (52 элемента).

Поскольку все события являются наборами, они обычно записываются в виде наборов (например, {1, 2, 3}) и представляются графически с помощью диаграмм Венна . В ситуации, когда каждый исход в пространстве выборки Ω равновероятен, вероятность события равна ${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle A}$ формула :

{\ Displaystyle \ mathrm {P} (A) = {\ frac {| A |} {| \ Omega |}} \, \ \ left ({\ text {альтернативно:}} \ \ Pr (A) = {\ frac {| A |} {| \ Omega |}} \ right)}

Это правило можно легко применить к каждому из приведенных выше примеров событий.

События в вероятностных пространствах

Определение всех подмножеств пространства выборки как событий хорошо работает, когда существует только конечное число результатов, но вызывает проблемы, когда пространство выборки бесконечно. Для многих стандартных распределений вероятностей , таких как нормальное распределение , выборочное пространство - это набор действительных чисел или некоторое подмножество действительных чисел . Попытки определить вероятности для всех подмножеств действительных чисел сталкиваются с трудностями, когда кто-то рассматривает «плохо себя ведающие» множества, например неизмеримые . Следовательно, необходимо ограничить внимание более ограниченным семейством подмножеств. Чтобы стандартные инструменты теории вероятностей, такие как совместные и условные вероятности , работали, необходимо использовать σ-алгебру , то есть семейство, замкнутое относительно дополняемости и счетных объединений его членов. Наиболее естественный выбор σ-алгебры - измеримое по Борелю множество, полученное из объединений и пересечений интервалов. Однако более широкий класс измеримых множеств по Лебегу оказывается более полезным на практике.

В общем теоретико-мерном описании вероятностных пространств событие может быть определено как элемент выбранной 𝜎-алгебры подмножеств выборочного пространства. Согласно этому определению, любое подмножество выборочного пространства, которое не является элементом 𝜎-алгебры, не является событием и не имеет вероятности. Однако при разумной спецификации вероятностного пространства все интересующие события являются элементами 𝜎-алгебры.

Примечание об обозначениях

Несмотря на то, что события являются подмножествами некоторого пространства выборки, они часто записываются как предикаты или индикаторы, включающие случайные переменные . Например, если это случайная величина с действительным знаком, определенная в пространстве выборки, событие ${\ displaystyle \ Omega,}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle \ Omega,}$