Бесконечная делимость (вероятность) - Infinite divisibility (probability)

В теории вероятностей , А распределение вероятностей является бесконечно делимым , если она может быть выражена как распределение вероятности суммы произвольного числа независимых одинаково распределенных (IID) случайных величин . В этом случае характеристическая функция любого безгранично делимого распределения называется безгранично делимой характеристической функцией .

Более строго, распределение вероятностей F бесконечно делимо, если для любого натурального числа n существует n iid случайных величин X _{n 1} , ..., X _nn , сумма которых S _n = X _{n 1} +… + X _nn имеет одинаковую распределение F .

Концепция бесконечной делимости вероятностных распределений была введена в 1929 году Бруно де Финетти . Этот тип разложения распределения используется в вероятности и статистике для поиска семейств вероятностных распределений, которые могут быть естественным выбором для определенных моделей или приложений. Безгранично делимые распределения играют важную роль в теории вероятностей в контексте предельных теорем.

Примеры

Примерами непрерывных распределений, которые являются бесконечно делимыми, являются нормальное распределение , распределение Коши и все другие члены семейства стабильных распределений , а также гамма-распределение и t-распределение Стьюдента .

Среди дискретных распределений примерами являются распределение Пуассона и отрицательное биномиальное распределение (а, следовательно, и геометрическое распределение ). Распределение по одной точке , единственный возможный результат является 0 также (тривиальным) бесконечно делимо.

Равномерное распределение и биномиальное распределение являются не бесконечно делимым, ни какие - либо другие распределения с ограниченной поддержкой (≈ конечных размеров доменов ), другие , чем распределение по одной точке упоминалось выше. Распределение обратной величины случайной величины, имеющей t-распределение Стьюдента, также не является бесконечно делимым.

Любое составное распределение Пуассона бесконечно делимо; это сразу следует из определения.

Предельная теорема

Безгранично делимые распределения появляются в широком обобщении центральной предельной теоремы : к пределу при п → + ∞ , из суммы S _п = Х _{п 1} + ... Х _пп из независимых равномерно асимптотически незначительна (КАС) случайных величин в пределах треугольной матрицы

${\ displaystyle {\ begin {array} {cccc} X_ {11} \\ X_ {21} & X_ {22} \\ X_ {31} & X_ {32} & X_ {33} \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ ddots \ end {массив}}}$

приближается - в слабом смысле - к бесконечно делимому распределению. Равномерно асимптотически незначителен (КАС) условие задается

${\ Displaystyle \ lim _ {п \ к \ infty} \, \ max _ {1 \ leq k \ leq n} \; P (\ left | X_ {nk} \ right |> \ varepsilon) = 0 {\ text {для каждого}} \ varepsilon> 0.}$

Таким образом, например, если условие равномерной асимптотической пренебрежимости (uan) выполняется посредством соответствующего масштабирования одинаково распределенных случайных величин с конечной дисперсией , слабая сходимость будет к нормальному распределению в классической версии центральной предельной теоремы. В более общем смысле, если условие uan выполняется посредством масштабирования одинаково распределенных случайных величин (с необязательно конечным вторым моментом), то слабая сходимость будет к устойчивому распределению . С другой стороны, для треугольного массива независимых (немасштабированных) случайных величин Бернулли, где условие uan выполняется через

${\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} np_ {n} = \ lambda,}$

слабая сходимость суммы к распределению Пуассона со средним λ, как показывает известное доказательство закона малых чисел .

Леви процесс

Каждое бесконечно делимое распределение вероятностей естественным образом соответствует процессу Леви . Сбор в процесс представляет собой случайный процесс {  Ь _т  :  т  ≥ 0} со стационарными независимыми приращениями , где стационарные означает , что для s  <  т , то распределение вероятностей из L _т - л _ы зависит только от т  -  ы и где независимые приращения означает , что эта разность L _t - L _s не зависит от соответствующей разности на любом интервале, не перекрывающемся с [ s ,  t ], и аналогично для любого конечного числа взаимно неперекрывающихся интервалов.

Если {  L _t  :  t  ≥ 0} - процесс Леви, то для любого t  ≥ 0 случайная величина L _t будет бесконечно делимой: для любого n мы можем выбрать ( X _{n 1} , X _{n 2} ,…, X _nn ) = ( L _{t / n} - L ₀ , L _{2 t / n} - L _{t / n} ,…, L _t - L _{( n −1) t / n} ). Аналогично L _t - L _s безгранично делится для любого s  <  t .

С другой стороны, если F - безгранично делимое распределение, мы можем построить из него процесс Леви {  L _t  :  t  ≥ 0}. Для любого интервала [ s ,  t ], где t  -  s  > 0 равно рациональному числу p / q , мы можем определить L _t - L _s таким же распределением, как X _{q 1} + X _{q 2} +… + X _qp . Иррациональные значения t  -  s  > 0 обрабатываются с помощью аргумента непрерывности.

Аддитивный процесс

Аддитивный процесс (а cadlag , непрерывная вероятность в случайном процессе с независимыми приращениями ) имеет бесконечно делимое распределение для любого . Позвольте быть его семейство безгранично делимого распределения. ${\ Displaystyle \ {X_ {т} \} _ {т \ geq 0}}$${\ Displaystyle т \ geq 0}$${\ Displaystyle \ {\ му _ {т} \} _ {т \ geq 0}}$

${\ Displaystyle \ {\ му _ {т} \} _ {т \ geq 0}}$ удовлетворяет ряду условий непрерывности и монотонности. Более того, если семейство безгранично делимых распределений удовлетворяет тем же условиям непрерывности и монотонности, существует (единственно по закону) Аддитивный процесс с этим распределением . ${\ Displaystyle \ {\ му _ {т} \} _ {т \ geq 0}}$${\ Displaystyle \ {\ му _ {т} \} _ {т \ geq 0}}$

Смотрите также

• Теорема Крамера
• Неразложимая раздача
• Составное распределение Пуассона

Сноски

Рекомендации

• Domínguez-Molina, JA; Роша-Артеага, А. (2007) "О бесконечной делимости некоторых наклонных симметричных распределений". Статистика и вероятность Письма , 77 (6), 644-648 DOI : 10.1016 / j.spl.2006.09.014
• Steutel, FW (1979), «Бесконечная делимость в теории и практике» (с обсуждением), Скандинавский статистический журнал. 6, 57–64.
• Стейтель, Ф. В., Ван Харн, К. (2003), Бесконечная делимость распределений вероятностей на прямой (Марсель Деккер).