Леви процесс - Lévy process

В теории вероятностей , процесс Левите , названный в честь французского математика Пола Леви , является случайным процессом с независимыми, стационарными приращениями: он представляет собой движение точки, последовательные перемещения являются случайными , в котором смещение в интервалах времени попарно непересекающихся независимо, а смещения в разные временные интервалы одинаковой длины имеют идентичные распределения вероятностей. Таким образом, процесс Леви можно рассматривать как непрерывный аналог случайного блуждания .

Наиболее известными примерами процессов Леви являются винеровский процесс , часто называемый процессом броуновского движения , и процесс Пуассона . Другие важные примеры включают процесс гамма, процесс Паскаля и процесс Мейкснера. За исключением броуновского движения со сносом, все остальные собственные (то есть недетерминированные) процессы Леви имеют разрывные траектории. Все процессы Леви являются аддитивными .

Математическое определение

Стохастический процесс называется процесс Леви , если она удовлетворяет следующим свойствам: ${\ displaystyle X = \ {X_ {t}: t \ geq 0 \}}$

1. ${\ Displaystyle X_ {0} = 0 \,}$ почти наверняка ;
2. Независимость приращений : Для любого,взаимно независимы ;${\ displaystyle 0 \ leq t_ {1} <t_ {2} <\ cdots <t_ {n} <\ infty}$${\ displaystyle X_ {t_ {2}} - X_ {t_ {1}}, X_ {t_ {3}} - X_ {t_ {2}}, \ dots, X_ {t_ {n}} - X_ {t_ { п-1}}}$
3. Стационарные приращения: Для любого , равно по распределению${\ Displaystyle s <т \,}$${\ Displaystyle X_ {t} -X_ {s} \,}$${\ Displaystyle X_ {ts}; \,}$
4. Непрерывность в вероятности: для любого, и он считает, что${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$${\ Displaystyle т \ geq 0}$${\ displaystyle \ lim _ {h \ rightarrow 0} P (| X_ {t + h} -X_ {t} |> \ varepsilon) = 0.}$

Если это процесс Lévy , то можно построить версию таким образом, что это почти наверняка непрерывна справа с левыми пределами . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle т \ mapsto X_ {т}}$

Характеристики

Независимые приращения

Стохастический процесс с непрерывным временем присваивает случайную величину X _t каждой точке t ≥ 0 во времени. Фактически это случайная функция от t . В приращения такого процесса являются различия Х _S - X _т между его значениями в разное время т < з . Назвать приращения процесса независимыми означает, что приращения X _s - X _t и X _u - X _v являются независимыми случайными величинами всякий раз, когда два временных интервала не перекрываются, и, в более общем смысле, любое конечное число приращений, назначенных для попарного неперекрытия. временные интервалы взаимно (а не попарно ) независимы.

Стационарные приращения

Назвать приращения стационарным означает, что распределение вероятностей любого приращения X _t - X _s зависит только от длины t  -  s временного интервала; приращения на одинаково длительные интервалы времени распределяются одинаково.

Если это винеровский процесс , распределение вероятностей X _t  -  X _s является нормальным с ожидаемым значением 0 и дисперсией t  -  s . ${\ displaystyle X}$

Если это процесс Пуассона , распределение вероятностей X _t  -  X _s является распределением Пуассона с ожидаемым значением λ ( t  -  s ), где λ> 0 - «интенсивность» или «скорость» процесса. ${\ displaystyle X}$

Бесконечная делимость

Распределение процесса Леви обладает свойством бесконечной делимости : дано любое целое число п , то закон процесса Леви в момент времени T может быть представлен как закон п независимых случайных величин, которые являются в точности приращения процесса Леви с течением времени интервалы длины t / n, которые независимы и одинаково распределены согласно предположениям 2 и 3. И наоборот, для каждого бесконечно делимого распределения вероятностей существует процесс Леви , для которого закон задается формулой . ${\ displaystyle F}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X_ {1}}$${\ displaystyle F}$

Моменты

В любом процессе Lévy с конечными моментами , то п - й момент , является полиномиальной функцией от т ; эти функции удовлетворяют биномиальному тождеству : ${\ Displaystyle \ му _ {п} (т) = Е (X_ {т} ^ {п})}$

${\ displaystyle \ mu _ {n} (t + s) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {n \ select k} \ mu _ {k} (t) \ mu _ {nk} (s ).}$

Представление Леви – Хинчина

Распределение процесса Леви характеризуется его характеристической функцией , которая задается формулой Леви – Хинчина (общей для всех безгранично делимых распределений ):

Если - процесс Леви, то его характеристическая функция определяется выражением ${\ displaystyle X = (X_ {t}) _ {t \ geq 0}}$${\ Displaystyle \ varphi _ {X} (\ theta)}$

${\ displaystyle \ varphi _ {X} (\ theta) (t): = \ mathbb {E} \ left [e ^ {i \ theta X (t)} \ right] = \ exp {\ left (t \ left (ai \ theta - {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {2} \ theta ^ {2} + \ int _ {\ mathbb {R} \ setminus \ {0 \}} {\ left (e ^ {i \ theta x} -1-i \ theta x \ mathbf {I} _ {| x | <1} \ right) \, \ Pi (dx)} \ right) \ right)}}$

где , и является σ -конечной мера называется Lévy мера из , удовлетворяющих свойству ${\ Displaystyle а \ в \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ sigma \ geq 0}$${\ displaystyle \ Pi}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle \ int _ {\ mathbb {R} \ setminus \ {0 \}} {\ min (1, x ^ {2}) \, \ Pi (dx)} <\ infty.}$

В приведенном выше описании , является функцией индикатора . Поскольку характеристические функции однозначно определяют лежащие в их основе распределения вероятностей, каждый процесс Леви однозначно определяется «тройкой Леви – Хинчина» . Члены этого триплета предполагают, что процесс Леви можно рассматривать как имеющий три независимых компонента: линейный дрейф, броуновское движение и процесс скачка Леви, как описано ниже. Отсюда сразу получается, что единственный (недетерминированный) непрерывный процесс Леви - это броуновское движение со сносом; аналогично каждый процесс Леви является семимартингалом . ${\ displaystyle \ mathbf {I}}$${\ Displaystyle (а, \ sigma ^ {2}, \ Pi)}$

Разложение Леви – Ито

Поскольку характеристические функции независимых случайных величин умножаются, теорема Леви – Хинчина предполагает, что каждый процесс Леви представляет собой сумму броуновского движения со сносом и другой независимой случайной величины, скачкообразного процесса Леви. Разложение Леви – Ито описывает последнее как (стохастическую) сумму независимых пуассоновских случайных величин.

Пусть - то есть ограничение на , перенормированное на вероятностную меру; аналогично пусть (но не масштабируется). потом ${\ Displaystyle \ Nu = {\ гидроразрыва {\ Pi | _ {\ mathbb {R} \ setminus (-1,1)}} {\ Pi (\ mathbb {R} \ setminus (-1,1))}} }$${\ displaystyle \ Pi}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} \ setminus (-1,1)}$${\ Displaystyle \ му = \ Pi | _ {(- 1,1) \ setminus \ {0 \}}}$

${\ displaystyle \ int _ {\ mathbb {R} \ setminus \ {0 \}} {\ left (e ^ {i \ theta x} -1-i \ theta x \ mathbf {I} _ {| x | < 1} \ right) \, \ Pi (dx)} = \ Pi (\ mathbb {R} \ setminus (-1,1)) \ int _ {\ mathbb {R}} {(e ^ {i \ theta x } -1) \, \ nu (dx)} + \ int _ {\ mathbb {R}} {(e ^ {i \ theta x} -1-i \ theta x) \, \ mu (dx)}. }$

Первый является характерной функцией составного пуассоновского процесса с интенсивностью и дочерним распределением . Последний представляет собой компенсированный обобщенный пуассоновский процесс (CGPP): процесс со счетным количеством скачкообразных разрывов на каждом интервале as , но такой, что эти разрывы имеют величину меньше . Если , то CGPP - это чистый скачкообразный процесс . ${\ Displaystyle \ Пи (\ mathbb {R} \ setminus (-1,1))}$${\ displaystyle \ nu}$${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle \ int _ {\ mathbb {R}} {| x | \, \ mu (dx)} <\ infty}$

Обобщение

Случайное поле Леви - это многомерное обобщение процесса Леви. Еще более общими являются разложимые процессы.

Смотрите также

• Независимые и одинаково распределенные случайные величины
• Винеровский процесс
• Пуассоновский процесс
• Гамма-процесс
• Марковский процесс
• Леви рейс

использованная литература

• Эпплбаум, Дэвид (декабрь 2004 г.). «Процессы Леви - от вероятности к финансам и квантовым группам» (PDF) . Уведомления Американского математического общества . 51 (11): 1336–1347. ISSN  1088-9477 .
• Конт, Рама; Танков, Петр (2003). Финансовое моделирование с помощью скачкообразных процессов . CRC Press. ISBN 978-1584884132..
• Сато, Кен-Ити (2011). Процессы Леви и безгранично делимые распределения . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0521553025..
• Киприану, Андреас Э. (2014). Колебания процессов Леви с приложениями. Вводные лекции. Издание второе . Springer. ISBN 978-3642376313..