Аддитивный процесс - Additive process

Аддитивный процесс , в теории вероятностей , является cadlag , непрерывная в вероятности случайного процесса с независимыми приращениями . Аддитивный процесс - это обобщение процесса Леви (процесс Леви - это аддитивный процесс с одинаково распределенными приращениями). Примером аддитивного процесса является броуновское движение с зависящим от времени дрейфом. Аддитивный процесс был введен Полем Леви в 1937 году.

Есть приложения аддитивного процесса в количественных финансах (это семейство процессов может улавливать важные особенности подразумеваемой волатильности ) и в обработке цифровых изображений .

Определение

Аддитивный процесс - это обобщение процесса Леви, полученное путем ослабления гипотезы об одинаково распределенных приращениях. Благодаря этой особенности аддитивный процесс может описывать более сложные явления, чем процесс Леви.

Стохастический процесс на таком , что почти наверняка является аддитивным процессом , если он удовлетворяет следующее условие: ${\ Displaystyle \ {X_ {т} \} _ {т \ geq 0}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {d}}$${\ displaystyle X_ {0} = 0}$

1. Имеет независимые приращения.
2. Он непрерывен по вероятности.

Основные свойства

Независимые приращения

Случайный процесс имеет независимые приращения тогда и только тогда, когда для любой случайной величины не зависит от случайной величины . ${\ Displaystyle \ {X_ {т} \} _ {т \ geq 0}}$${\ Displaystyle 0 \ Leq р <р <s <т}$${\ displaystyle X_ {t} -X_ {s}}$${\ displaystyle X_ {r} -X_ {p}}$

Непрерывность в вероятности

Случайный процесс непрерывен по вероятности тогда и только тогда, когда для любого${\ Displaystyle \ {X_ {т} \} _ {т \ geq 0}}$${\ Displaystyle 0 \ Leq s <т}$

${\ displaystyle \ lim _ {s \ to t} \ Pr \ left ({\ big |} X_ {s} -X_ {t} {\ big |} \ geq \ varepsilon \ right) = 0.}$

Представление Леви – Хинчина

Существует сильная связь между аддитивным процессом и безгранично делимыми распределениями . Аддитивный процесс во времени имеет бесконечно делимое распределение, характеризуемое порождающим триплетом . является вектором в , является матрицей в и является мерой на такой, что и . ${\ displaystyle t}$${\ displaystyle (\ gamma _ {t}, A_ {t}, \ nu _ {t})}$${\ displaystyle \ gamma _ {t}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {d}}$${\ displaystyle A_ {t}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {d \ times d}}$${\ displaystyle \ nu _ {t}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {d}}$${\ Displaystyle \ ню _ {т} (\ {0 \}) = 0}$${\ displaystyle \ int _ {\ mathbb {R} ^ {d}} (1 \ клин x ^ {2}) \ nu _ {t} (dx) <\ infty}$

${\ displaystyle \ gamma _ {t}}$называется дрейфовым членом, ковариационной матрицей и мерой Леви. Можно явно написать аддитивную характеристическую функцию процесса, используя формулу Леви – Хинчина : ${\ displaystyle A_ {t}}$${\ displaystyle \ nu _ {t}}$

${\ displaystyle \ varphi _ {X} (u) (t): = \ operatorname {E} \ left [e ^ {iu'X_ {t}} \ right] = \ exp \ left (u '\ gamma _ { t} i - {\ frac {1} {2}} u'A_ {t} u + \ int _ {\ mathbb {R} ^ {d}} \ left (e ^ {iu'x} -1-iu ' x \ mathbf {I} _ {| x | <1} \ right) \, \ nu _ {t} (dx) \ right),}$

где вектор в и индикаторная функция множества . ${\ displaystyle u}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {d}}$${\ displaystyle \ mathbf {I_ {C}}}$${\ displaystyle C}$

Сбор в обработке характеристическая функция имеет ту же структуру , но с и с вектором в , положительно определенной матрицы и является мерой на . ${\ Displaystyle \ гамма _ {т} = т \ гамма, \ ню _ {т} = т \ ню}$${\ displaystyle A_ {t} = At}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {d}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {d \ times d}}$${\ displaystyle \ nu}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {d}}$

Существование и единственность в законе аддитивного процесса

Следующий результат вместе с формулой Леви – Хинчина характеризует аддитивный процесс.

Позвольте быть аддитивным процессом на . Тогда его безгранично делимое распределение таково, что: ${\ Displaystyle \ {X_ {т} \} _ {т \ geq 0}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {d}}$

1. Для всех , положительно определенная матрица.${\ displaystyle t}$${\ displaystyle A_ {t}}$
2. ${\ displaystyle \ gamma _ {0} = 0, A_ {0} = 0, \ nu _ {0} = 0}$и для всех таково, что , является положительно определенной матрицей и для каждого в .${\ displaystyle s, t}$${\ displaystyle s <t}$${\ displaystyle A_ {t} -A_ {s}}$${\ Displaystyle \ ню _ {т} (В) \ geq \ ню _ {s} (В)}$${\ displaystyle B}$${\ Displaystyle \ mathbf {B} (\ mathbb {R} ^ {d})}$
3. Если и каждый в , .${\ displaystyle s \ to t}$ ${\ displaystyle \ gamma _ {s} \ to \ gamma _ {t}, от A_ {s} \ до A_ {t}}$${\ displaystyle \ nu _ {s} (B) \ to \ nu _ {t} (B)}$${\ displaystyle B}$${\ Displaystyle \ mathbf {B} (\ mathbb {R} ^ {d})}$${\ displaystyle 0 \ not \ in B}$

И наоборот, для семейства безгранично делимых распределений, характеризуемых порождающей тройкой , удовлетворяющей 1, 2 и 3, существует аддитивный процесс с этим распределением. ${\ displaystyle (\ gamma _ {t}, A_ {t}, \ nu _ {t})}$${\ Displaystyle \ {X_ {т} \} _ {т \ geq 0}}$

Подкласс аддитивного процесса

Аддитивный подчиненный

Положительный неубывающий аддитивный процесс со значениями в является аддитивным подчиненным . Аддитивный подчиненный является семимартингалом (благодаря тому, что он не убывает), и его преобразование Лапласа всегда можно переписать как ${\ Displaystyle \ {S_ {т} \} _ {т \ geq 0}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle \ operatorname {E} \ left [e ^ {- uS_ {t}} \ right] = \ exp \ left (ub_ {t} + \ int _ {\ mathbb {R} ^ {d}} (e ^ {iux} -1) \ nu _ {t} (dx) \ right).}$

Можно использовать аддитивный подчиненный, чтобы изменять во времени процесс Леви, получая новый класс аддитивных процессов.

Процесс сато

Аддитивный самоподобный процесс называется процессом Сато. Можно построить процесс Сато из процесса Леви , имеющего тот же закон . ${\ Displaystyle \ {Z_ {т} \} _ {т \ geq 0}}$${\ Displaystyle \ {X_ {т} \} _ {т \ geq 0}}$${\ displaystyle Z_ {t}}$${\ displaystyle t ^ {h} X_ {1}}$

Примером является дисперсионная гамма SSD, процесс Сато, полученный из процесса дисперсионной гаммы .

Характеристическая функция гаммы дисперсии во времени равна ${\ displaystyle t = 1}$

${\ Displaystyle \ OperatorName {E} \ left [е ^ {iuX_ {1}} \ right] = \ left ({\ frac {1} {1-iu \ theta \ nu +0,5 \ sigma ^ {2} \ nu u ^ {2}}} \ right) ^ {1 / \ nu},}$

где и положительные постоянные. ${\ displaystyle \ theta, \ nu}$${\ displaystyle \ sigma}$

Характеристическая функция дисперсии гаммы SSD:

${\ displaystyle \ operatorname {E} \ left [e ^ {iuZ_ {t}} \ right] = \ left ({\ frac {1} {1-iut ^ {h} \ theta \ nu +0.5 \ sigma ^ { 2} \ nu u ^ {2} t ^ {2} h}} \ right) ^ {1 / \ nu}}$

Приложения

Количественное финансирование

Процесс Леви используется для моделирования логарифма доходности рыночных цен. К сожалению, стационарность приращений не позволяет правильно воспроизводить рыночные данные. Процесс Леви хорошо подходит для цен опционов колл и пут ( подразумеваемая волатильность ) для одной даты истечения срока, но не может соответствовать ценам опционов с разными сроками погашения ( поверхность волатильности ). Аддитивный процесс вводит детерминированную нестационарность, которая позволяет ему соответствовать всем срокам годности.

Четырехпараметрический процесс Сато (самоподобный аддитивный процесс) может правильно воспроизвести поверхность волатильности (ошибка 3% на фондовом рынке S&P 500 ). Этот порядок величины ошибки обычно достигается с использованием моделей с 6–10 параметрами для соответствия рыночным данным. Самоподобный процесс правильно описывает рыночные данные из-за их плоской асимметрии и чрезмерного эксцесса ; эмпирические исследования наблюдали такое поведение при асимметрии рынка и чрезмерном эксцессе. Некоторые из процессов, которые соответствуют ценам опционов с ошибкой 3%, - это VGSSD, NIGSSD, MXNRSSD, полученные из процесса дисперсионной гаммы, нормальный обратный гауссовский процесс и процесс Мейкснера.

Подчинение Леви используется для построения новых процессов Леви (например, дисперсионного гамма-процесса и нормального обратного гауссовского процесса). Существует большое количество финансовых приложений процессов, построенных по подчинению Леви. Аддитивный процесс, построенный через аддитивное подчинение, поддерживает аналитическую управляемость процесса, построенного на подчинении Леви, но он лучше отражает неоднородную во времени структуру рыночных данных. Аддитивное подчинение применяется к товарному рынку и опционам VIX.

Цифровая обработка изображений

Оценщик, основанный на минимуме аддитивного процесса, может применяться к обработке изображений. Такая оценка предназначена для различения реального сигнала и шума в пикселях изображения.

использованная литература

Источники

• Танков, Петр; Cont, Рама (2003). Финансовое моделирование с скачкообразными процессами . Чепмен и Холл. ISBN 1584884134.
• Сато, Кен-Ито (1999). Процессы Леви и безгранично делимые распределения . Издательство Кембриджского университета. ISBN 9780521553025.
• Ли, Цзин; Ли, Линфэй; Мендоса-Арриага, Рафаэль (2016). «Аддитивное подчинение и его применение в финансах». Финансы и стохастика . 20 (3): 2–6. DOI : 10.1007 / s00780-016-0300-8 .
• Эберлейн, Эрнст; Мадан, Дилип Б. (2009). «Процессы Sato и оценка структурированных продуктов». Количественные финансы . 9 (1). DOI : 10.1080 / 14697680701861419 .
• Карр, Питер; Geman, Hélyette; Мадан, Дилип Б .; Йор, Марк (2007). «САМОРАЗМЕРЖИВАЕМСЯ И ОПЦИОНАЛЬНАЯ ЦЕНА». Математические финансы . 17 (1). DOI : 10.1111 / j.1467-9965.2007.00293.x .
• Ли, Цзин; Ли, Линфэй; Чжан, Гунцю (2017). «Модели чистого скачка для ценообразования и хеджирования деривативов VIX». Журнал экономической динамики и управления . 74 . DOI : 10.1016 / j.jedc.2016.11.001 .
• Бхаттачарья, ПК; Броквелл, П.Дж. (1976). «Минимум аддитивного процесса с приложениями для оценки сигналов и теории хранения». Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete . 37 (1). DOI : 10.1007 / BF00536298 .