Непрерывное равномерное распределение - Continuous uniform distribution

Униформа

Функция плотности вероятности Используя максимальное соглашение
Кумулятивная функция распределения
Обозначение	${\ Displaystyle {\ mathcal {U}} _ {[а, б]}}$
Параметры	${\ displaystyle - \ infty <a <b <\ infty \,}$
Служба поддержки	${\ Displaystyle х \ в [а, б]}$
PDF	${\ displaystyle {\ begin {case} {\ frac {1} {ba}} & {\ text {for}} x \ in [a, b] \\ 0 & {\ text {else}} \ end {cases} }}$
CDF	${\ displaystyle {\ begin {cases} 0 & {\ text {for}} x <a \\ {\ frac {xa} {ba}} & {\ text {for}} x \ in [a, b] \\ 1 & {\ text {for}} x> b \ end {case}}}$
Иметь в виду	${\ Displaystyle {\ tfrac {1} {2}} (а + б)}$
Медиана	${\ Displaystyle {\ tfrac {1} {2}} (а + б)}$
Режим	любое значение в ${\ Displaystyle (а, б)}$
Дисперсия	${\ Displaystyle {\ tfrac {1} {12}} (ба) ^ {2}}$
Асимметрия	0
Бывший. эксцесс	${\ displaystyle - {\ tfrac {6} {5}}}$
Энтропия	${\ Displaystyle \ ln (ба) \,}$
MGF	${\ displaystyle {\ begin {cases} {\ frac {\ mathrm {e} ^ {tb} - \ mathrm {e} ^ {ta}} {t (ba)}} & {\ text {for}} t \ neq 0 \\ 1 & {\ text {for}} t = 0 \ end {case}}}$
CF	${\ displaystyle {\ begin {cases} {\ frac {\ mathrm {e} ^ {itb} - \ mathrm {e} ^ {ita}} {it (ba)}} & {\ text {for}} t \ neq 0 \\ 1 & {\ text {for}} t = 0 \ end {case}}}$

В теории вероятностей и статистике , то непрерывное равномерное распределение или прямоугольное распределение представляет собой семейство симметричных распределений вероятностей . Распределение описывает эксперимент, в котором возможен произвольный результат, находящийся в определенных пределах. Границы определяются параметрами a и b , которые являются минимальным и максимальным значениями. Интервал может быть закрытым (например, [a, b]) или открытым (например, (a, b)). Поэтому распределение часто обозначают аббревиатурой U ( a , b ), где U означает равномерное распределение. Разница между границами определяет длину интервала; все интервалы одинаковой длины на опоре распределения равновероятны. Это максимальное распределение вероятностей энтропии для случайной величины X без каких-либо ограничений, кроме тех, которые содержатся в носителе распределения.

Определения

Функция плотности вероятности

Функция плотности вероятности непрерывного равномерного распределения:

${\ displaystyle f (x) = {\ begin {case} {\ frac {1} {ba}} & \ mathrm {for} \ a \ leq x \ leq b, \\ [8pt] 0 & \ mathrm {for} \ x <a \ \ mathrm {или} \ x> b \ end {case}}}$

Значения f ( x ) на двух границах a и b обычно не важны, потому что они не изменяют значения интегралов f ( x )  dx на любом интервале, а также x  f ( x )  dx или любой более высокий момент. Иногда их выбирают равными нулю, а иногда - 1/б  -  а. Последнее уместно в контексте оценки методом максимального правдоподобия . В контексте анализа Фурье можно принять значение f ( a ) или f ( b ) как1/2 ( б  -  а ), с тех пор обратное преобразование многих интегральных преобразований этой равномерной функции вернет саму функцию, а не функцию, которая равна « почти всюду », то есть кроме набора точек с нулевой мерой . Кроме того, это согласуется со знаковой функцией, в которой нет такой двусмысленности.

Графически функция плотности вероятности изображается в виде прямоугольника, где - основание, а - высота. По мере увеличения расстояния между a и b плотность при любом конкретном значении в границах распределения уменьшается. Поскольку функция плотности вероятности интегрируется до 1, высота функции плотности вероятности уменьшается с увеличением длины основания. ${\ displaystyle ba}$${\ displaystyle \ scriptstyle {\ frac {1} {ba}}}$

В терминах среднего μ и дисперсии σ ² плотность вероятности может быть записана как:

${\ displaystyle f (x) = {\ begin {case} {\ frac {1} {2 \ sigma {\ sqrt {3}}}} & {\ mbox {for}} - \ sigma {\ sqrt {3} } \ leq x- \ mu \ leq \ sigma {\ sqrt {3}} \\ 0 & {\ text {иначе}} \ end {case}}}$

Кумулятивная функция распределения

Кумулятивная функция распределения является:

${\ displaystyle F (x) = {\ begin {cases} 0 & {\ text {for}} x <a \\ [8pt] {\ frac {xa} {ba}} & {\ text {for}} a \ leq x \ leq b \\ [8pt] 1 & {\ text {for}} x> b \ end {case}}}$

Его обратное:

${\ Displaystyle F ^ {- 1} (p) = a + p (ba) \, \, {\ text {for}} 0 <p <1}$

В обозначениях среднего и дисперсии кумулятивная функция распределения имеет вид:

${\ displaystyle F (x) = {\ begin {cases} 0 & {\ text {for}} x- \ mu <- \ sigma {\ sqrt {3}} \\ {\ frac {1} {2}} \ слева ({\ frac {x- \ mu} {\ sigma {\ sqrt {3}}}} + 1 \ right) & {\ text {for}} - \ sigma {\ sqrt {3}} \ leq x- \ mu <\ sigma {\ sqrt {3}} \\ 1 & {\ text {for}} x- \ mu \ geq \ sigma {\ sqrt {3}} \ end {case}}}$

и обратное:

${\ displaystyle F ^ {- 1} (p) = \ sigma {\ sqrt {3}} (2p-1) + \ mu \, \, {\ text {for}} 0 \ leq p \ leq 1}$

Пример 1. Использование равномерной кумулятивной функции распределения.

Для случайной величины X

${\ Displaystyle X \ sim U (0,23)}$

Найдите : ${\ Displaystyle \ scriptstyle P (2 <X <18)}$

${\ Displaystyle P (2 <X <18) = (18-2) \ cdot {\ frac {1} {23-0}} = {\ frac {16} {23}}}$.

В графическом представлении функции равномерного распределения [f (x) vs x] область под кривой в указанных границах отображает вероятность (заштрихованная область отображается в виде прямоугольника). В этом конкретном примере, приведенном выше, будет основание, а высота - . ${\ displaystyle \ scriptstyle 18-2}$${\ displaystyle \ scriptstyle {\ frac {1} {23}}}$

Пример 2. Использование функции равномерного кумулятивного распределения (условное)

Для случайной величины X

${\ Displaystyle X \ sim U (0,23)}$

Найдите : ${\ Displaystyle \ scriptstyle P (X> 12 \ | \ X> 8)}$

${\ Displaystyle P (X> 12 \ | \ X> 8) = (23-12) \ cdot {\ frac {1} {23-8}} = {\ frac {11} {15}}}$.

Приведенный выше пример относится к случаю условной вероятности для равномерного распределения: задано верно, какова вероятность того, что . Условная вероятность изменяет пространство выборки, поэтому необходимо вычислить новую длину интервала , где b равно 23, а a равно 8. Графическое представление все равно будет соответствовать примеру 1, где область под кривой в указанных границах отображает вероятность и базу. прямоугольника будет и высотой . ${\ displaystyle \ scriptstyle X> 8}$${\ displaystyle \ scriptstyle X> 12}$${\ displaystyle ba}$${\ displaystyle \ scriptstyle 23–12}$${\ displaystyle \ scriptstyle {\ frac {1} {15}}}$

Производящие функции

Момент-генерирующая функция

Функция создания момента :

${\ displaystyle M_ {x} = E (e ^ {tx}) = {\ frac {e ^ {tb} -e ^ {ta}} {t (ba)}} \, \!}$

из которых мы можем вычислить исходные моменты m _k

${\ displaystyle m_ {1} = {\ frac {a + b} {2}}, \, \!}$

${\ displaystyle m_ {2} = {\ frac {a ^ {2} + ab + b ^ {2}} {3}}, \, \!}$

${\ displaystyle m_ {k} = {\ frac {1} {k + 1}} \ sum _ {i = 0} ^ {k} a ^ {i} b ^ {ki}. \, \!}$

Для частного случая a  = - b , т. Е. Для

${\ displaystyle f (x) = {\ begin {case} {\ frac {1} {2b}} & {\ text {for}} \ -b \ leq x \ leq b, \\ [8pt] 0 & {\ текст {иначе}}, \ end {case}}}$

функции, производящие момент, сводятся к простому виду

${\ displaystyle M_ {x} = {\ frac {\ sinh bt} {bt}}.}$

Для случайной величины ниже этого распределения, то ожидаемое значение затем т ₁ = (  +  б ) / 2 , а дисперсия является м ₂  -  м ₁ ² = ( б  -  ) ² /12.

Кумулянт-производящая функция

Для п  ≥ 2 , на п - й кумулянта распределения равномерной на интервале [-1/2, 1/2] является В _п / п , где Б _п является п - го числа Бернулли .

Стандартная униформа

Ограничивая и , полученное распределение U (0,1) называется стандартным равномерным распределением . ${\ displaystyle a = 0}$${\ displaystyle b = 1}$

Одно интересное свойство стандартного равномерного распределения состоит в том, что если u ₁ имеет стандартное равномерное распределение, то также и 1- u ₁ . Это свойство можно использовать , среди прочего, для генерации противоположных переменных . Другими словами, это свойство известно как метод инверсии, при котором непрерывное стандартное равномерное распределение может использоваться для генерации случайных чисел для любого другого непрерывного распределения. Если у является равномерным случайное число с помощью стандартного равномерного распределения (0,1), а затем генерирует случайное число х из любого непрерывного распределения с заданной функцией распределения F . ${\ Displaystyle х = F ^ {- 1} (и)}$

Связь с другими функциями

Пока те же соглашения соблюдаются в точках перехода, функция плотности вероятности также может быть выражена в терминах ступенчатой ​​функции Хевисайда :

${\ displaystyle f (x) = {\ frac {\ operatorname {H} (xa) - \ operatorname {H} (xb)} {ba}}, \, \!}$

или в терминах функции прямоугольника

${\ displaystyle f (x) = {\ frac {1} {ba}} \, \ operatorname {rect} \ left ({\ frac {x- \ left ({\ frac {a + b} {2}} \ right)} {ba}} \ right).}$

В точке перехода знаковой функции нет двусмысленности . Используя соглашение о половине максимума в точках перехода, равномерное распределение можно выразить через знаковую функцию как:

${\ displaystyle f (x) = {\ frac {\ operatorname {sgn} {(xa)} - \ operatorname {sgn} {(xb)}} {2 (ba)}}.}$

Характеристики

Моменты

Среднее значение (первый момент ) распределения:

${\ displaystyle E (X) = {\ frac {1} {2}} (b + a).}$

Второй момент раздачи:

${\ displaystyle E (X ^ {2}) = {\ frac {b ^ {3} -a ^ {3}} {3b-3a}}.}$

В общем, n-й момент равномерного распределения равен:

${\ displaystyle E (X ^ {n}) = {\ frac {b ^ {n + 1} -a ^ {n + 1}} {(n + 1) (ba)}} = {\ frac {1} {n + 1}} \ sum _ {k = 0} ^ {n} a ^ {k} b ^ {nk}.}$

Дисперсия (второй центральный момент ) составляет:

${\ Displaystyle V (X) = {\ гидроразрыва {1} {12}} (ба) ^ {2}}$

Статистика заказов

Пусть X ₁ , ..., X _n - образец идентификатора из U (0,1). Пусть X _{( k )} будет статистикой k- го порядка из этой выборки. Тогда распределение вероятностей X _{( k )} является бета-распределением с параметрами k и n - k + 1 . Ожидаемое значение

${\ displaystyle \ operatorname {E} (X _ {(k)}) = {k \ over n + 1}.}$

Этот факт полезен при принятии Q-Q участков .

Расхождения

${\ displaystyle \ operatorname {V} (X _ {(k)}) = {k (n-k + 1) \ over (n + 1) ^ {2} (n + 2)}.}$

См. Также: Статистика заказов § Распределения вероятностей статистики заказов.

Единообразие

Вероятность того, что равномерно распределенная случайная величина попадает в любой интервал фиксированной длины, не зависит от местоположения самого интервала (но зависит от размера интервала), пока интервал содержится в опоре распределения.

Чтобы убедиться в этом, если X ~ U ( a , b ) и [ x , x + d ] - подынтервал в [ a , b ] с фиксированным d > 0, то

${\ displaystyle P \ left (X \ in \ left [x, x + d \ right] \ right) = \ int _ {x} ^ {x + d} {\ frac {\ mathrm {d} y} {ba }} \, = {\ frac {d} {ba}} \, \!}$которое не зависит от x . Этот факт мотивирует название дистрибутива.

Обобщение на борелевские множества.

Это распределение можно обобщить на более сложные наборы, чем интервалы. Если S является борелевское множество положительной, конечной мерой, то равномерное распределение вероятностей на S может быть определено путем определения PDF равным нулю вне S и постоянно равна 1 / K на S , где K является мерой Лебега на S .

Связанные дистрибутивы

• Если X имеет стандартное равномерное распределение, то по методу выборки с обратным преобразованием Y = - λ ⁻¹ ln (X) имеет экспоненциальное распределение с параметром (скоростью) λ.
• Если X имеет стандартное равномерное распределение, то Y = X ⁿ имеет бета-распределение с параметрами ( 1 / n, 1) . Как таковой,
• Стандартное равномерное распределение - это частный случай бета-распределения с параметрами ( 1,1) .
• Распределение Ирвина – Холла представляет собой сумму распределений n i.id U (0,1) .
• Сумма двух независимых одинаково распределенных равномерных распределений дает симметричное треугольное распределение .
• Расстояние между двумя однородными случайными величинами iid также имеет треугольное распределение , хотя и не симметричное.

Статистические выводы

Оценка параметров

Оценка максимума

Несмещенная оценка минимальной дисперсии

Учитывая равномерное распределение на [0,  Ь ] с неизвестным б, минимальной дисперсии несмещенной оценкой (UMVUE) для максимума задается

${\ displaystyle {\ hat {b}} _ {\ text {UMVU}} = {\ frac {k + 1} {k}} m = m + {\ frac {m} {k}}}$

где m - максимум выборки, а k - размер выборки, выборка без замены (хотя это различие почти наверняка не имеет значения для непрерывного распределения). Это следует по тем же причинам, что и оценка дискретного распределения , и может рассматриваться как очень простой случай оценки максимального разнесения . Эта проблема широко известна как проблема немецких танков из-за применения максимальной оценки к оценке производства немецких танков во время Второй мировой войны .

Оценщик максимального правдоподобия

Оценка максимального правдоподобия определяется по формуле:

${\ displaystyle {\ hat {b}} _ {ML} = m}$

где m - максимум выборки , также обозначаемый как статистика максимального порядка выборки. ${\ Displaystyle м = Х _ {(п)}}$

Метод оценки момента

Метод моментов оценки определяется по формуле:

${\ displaystyle {\ hat {b}} _ {MM} = 2 {\ bar {X}}}$

где - выборочное среднее. ${\ displaystyle {\ bar {X}}}$

Оценка середины

Середина распределения ( a  +  b ) / 2 является как средним, так и медианным значением равномерного распределения. Хотя и среднее значение выборки, и медиана выборки являются несмещенными оценками средней точки, ни один из них не является таким же эффективным, как средний диапазон выборки , то есть среднее арифметическое максимума выборки и минимум выборки, который является UMVU- оценкой средней точки (и также оценка максимального правдоподобия ).

Доверительный интервал

По максимуму

Пусть X ₁ , X ₂ , X ₃ , ..., X _n будет выборкой, из которой L - максимум совокупности. Тогда X _{( n )} = max ( X ₁ , X ₂ , X ₃ , ..., X _n ) имеет плотность Лебега-Бореля${\ displaystyle U _ {[0, L]}}$${\ displaystyle f: = {\ frac {d \ Pr _ {X _ {(n)}}} {d \ lambda}}}$

${\ displaystyle f (t) = n {\ frac {1} {L}} \ left ({\ frac {t} {L}} \ right) ^ {n-1} = n {\ frac {t ^ { n-1}} {L ^ {n}}}, 0 \ leq t \ leq L}$

Приведенный ранее доверительный интервал математически неверен, так как не может быть решен без знания . Однако можно решить ${\ Displaystyle \ Pr ([{\ шляпа {\ theta}}, {\ шляпа {\ theta}} + \ epsilon] \ ni \ theta) \ geq 1- \ alpha}$${\ displaystyle \ epsilon}$${\ displaystyle \ theta}$

${\displaystyle \Pr([{\hat {\theta }},{\hat {\theta }}(1+\epsilon )]\ni \theta )\geq 1-\alpha }$ for  ${\displaystyle \epsilon \geq (1-\alpha )^{-1/n}-1}$ for any unknown but valid ${\displaystyle \theta }$,

затем выбирается наименьшее возможное, удовлетворяющее вышеуказанному условию. Обратите внимание, что длина интервала зависит от случайной величины . ${\ displaystyle \ epsilon}$${\ displaystyle {\ hat {\ theta}}}$

Возникновение и приложения

Вероятности для функции равномерного распределения легко вычислить из-за простоты формы функции. Следовательно, существуют различные приложения, для которых это распределение может использоваться, как показано ниже: ситуации проверки гипотез, случаи случайной выборки, финансы и т. Д. Кроме того, в целом эксперименты физического происхождения следуют равномерному распределению (например, выброс радиоактивных частиц ). Однако важно отметить, что в любом приложении есть неизменное предположение, что вероятность попадания в интервал фиксированной длины постоянна.

Пример экономики для равномерного распределения

В области экономики обычно спрос и пополнение могут не соответствовать ожидаемому нормальному распределению. В результате для лучшего прогнозирования вероятностей и тенденций используются другие модели распределения, такие как процесс Бернулли . Но согласно Ванке (2008), в частном случае исследования времени выполнения заказа для управления запасами в начале жизненного цикла, когда анализируется совершенно новый продукт, равномерное распределение оказывается более полезным. В этой ситуации другое распределение может оказаться нежизнеспособным, поскольку нет существующих данных о новом продукте или что история спроса недоступна, поэтому на самом деле нет подходящего или известного распределения. Равномерное распределение было бы идеальным в этой ситуации, поскольку случайная переменная времени выполнения заказа (связанная со спросом) для нового продукта неизвестна, но результаты, вероятно, будут находиться в диапазоне между правдоподобным диапазоном двух значений. Свинцово-время , таким образом , представляет собой случайную величину. На основе модели равномерного распределения можно было рассчитать другие факторы, связанные со временем выполнения заказа, такие как уровень обслуживания цикла и дефицит за цикл . Также было отмечено, что равномерное распределение также использовалось из-за простоты расчетов.

Выборка из произвольного распределения

Равномерное распределение полезно для выборки из произвольных распределений. Общий метод - это метод выборки с обратным преобразованием, который использует кумулятивную функцию распределения (CDF) целевой случайной величины. Этот метод очень полезен в теоретической работе. Поскольку моделирование с использованием этого метода требует инвертирования CDF целевой переменной, были разработаны альтернативные методы для случаев, когда cdf неизвестен в закрытой форме. Один из таких методов - отбраковочная выборка .

Нормальное распределение является важным примером , где обратное преобразование метод не является эффективным. Однако существует точный метод, преобразование Бокса – Мюллера , которое использует обратное преобразование для преобразования двух независимых однородных случайных величин в две независимые нормально распределенные случайные величины.

Ошибка квантования

При аналого-цифровом преобразовании возникает ошибка квантования. Эта ошибка возникает из-за округления или усечения. Когда исходный сигнал намного больше, чем один младший значащий бит (LSB) , ошибка квантования существенно не коррелирует с сигналом и имеет приблизительно равномерное распределение. Следовательно, среднеквадратичная ошибка следует из дисперсии этого распределения.

Вычислительные методы

Выборка из равномерного распределения

Есть много приложений, в которых полезно проводить имитационные эксперименты. Многие языки программирования поставляются с реализациями для генерации псевдослучайных чисел, которые эффективно распределяются в соответствии со стандартным равномерным распределением.

Если u является значением, выбранным из стандартного равномерного распределения, тогда значение a + ( b - a ) u следует за равномерным распределением, параметризованным a и b , как описано выше.

История

Хотя исторические истоки концепции равномерного распределения неубедительны, предполагается, что термин «равномерный» возник из концепции равновероятности в играх в кости (обратите внимание, что игры в кости будут иметь дискретное, а не непрерывное однородное пространство выборки). Равновероятность была упомянута в Liber de Ludo Aleae Джероламо Кардано , руководстве, написанном в 16 веке и подробно описывающем продвинутое исчисление вероятностей применительно к играм в кости.

Смотрите также

• Равномерное распределение (дискретное)
• Бета-распределение
• Преобразование Бокса – Мюллера
• График вероятности
• Q – Q график
• Прямоугольная функция
• Распределение Ирвина – Холла. В вырожденном случае, когда n = 1, распределение Ирвина – Холла дает равномерное распределение между 0 и 1.
• Распределение Бейтса - аналогично распределению Ирвина-Холла, но с измененным масштабом для n. Как и распределение Ирвина-Холла, в вырожденном случае, когда n = 1, распределение Бейтса порождает равномерное распределение между 0 и 1.

использованная литература

дальнейшее чтение

• Казелла, Джордж; Роджер Л. Бергер (2001), Статистический вывод (2-е изд.), ISBN 978-0-534-24312-8, LCCN  2001025794

внешние ссылки

• Онлайн-калькулятор равномерного распределения (непрерывного)