Независимые приращения - Independent increments

В теории вероятностей , независимые приращения являются собственностью стохастических процессов и случайных мер . В большинстве случаев процесс или случайная мера по определению имеют независимые приращения, что подчеркивает их важность. Некоторые из случайных процессов, которые по определению обладают независимыми приращениями, - это винеровский процесс , все процессы Леви , все аддитивные процессы и точечный процесс Пуассона .

Определение случайных процессов

Позвольте быть случайным процессом . В большинстве случаев или . Тогда случайный процесс имеет независимые приращения тогда и только тогда, когда для каждого и любого выбора с ${\ displaystyle (X_ {t}) _ {t \ in T}}$${\ Displaystyle Т = \ mathbb {N}}$${\ Displaystyle Т = \ mathbb {R} ^ {+}}$${\ displaystyle m \ in \ mathbb {N}}$${\ displaystyle t_ {0}, t_ {1}, t_ {2}, \ dots, t_ {m-1}, t_ {m} \ in T}$

${\ displaystyle t_ {0} <t_ {1} <t_ {2} <\ dots <t_ {m}}$

эти случайные величины

${\ displaystyle (X_ {t_ {1}} - X_ {t_ {0}}), (X_ {t_ {2}} - X_ {t_ {1}}), \ dots, (X_ {t_ {m}}) -X_ {t_ {m-1}})}$

являются стохастически независимыми .

Определение случайных мер

Случайная мера имеет независимые приращения , если и только если случайные величины являются стохастический независимы для каждого отбора попарно непересекающихся измеримых множеств и каждый . ${\ displaystyle \ xi}$${\ Displaystyle \ xi (B_ {1}), \ xi (B_ {2}), \ точек, \ xi (B_ {m})}$${\ displaystyle B_ {1}, B_ {2}, \ dots, B_ {m}}$${\ displaystyle m \ in \ mathbb {N}}$

Независимые S-приращения

Пусть - случайная мера на и определим для каждого ограниченного измеримого множества случайную меру на как ${\ displaystyle \ xi}$${\ displaystyle S \ times T}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle \ xi _ {B}}$${\ displaystyle T}$

${\ Displaystyle \ xi _ {B} (\ cdot): = \ xi (B \ times \ cdot)}$

Тогда называется случайной мерой с независимыми S-приращениями , если для всех ограниченных множеств и все случайные меры независимы. ${\ displaystyle \ xi}$${\ displaystyle B_ {1}, B_ {2}, \ dots, B_ {n}}$${\ Displaystyle п \ в \ mathbb {N}}$${\ Displaystyle \ xi _ {B_ {1}}, \ xi _ {B_ {2}}, \ dots, \ xi _ {B_ {n}}}$

заявка

Независимые приращения являются основным свойством многих случайных процессов и часто включаются в их определение. Понятие независимых приращений и независимых S-приращений случайных мер играет важную роль в характеристике точечного процесса Пуассона и бесконечной делимости.

Ссылки