Составное распределение Пуассона - Compound Poisson distribution

В теории вероятностей , А Сложное распределение Пуассона является распределение вероятностей суммы ряда независимых одинаково распределенных случайных величин , где число слагаемых , чтобы быть добавлен сам по себе является Пуассона-распределенной переменной. В простейших случаях результат может быть как непрерывным, так и дискретным .

Определение

Предположим, что

т.е. N - случайная величина , распределение которой является распределением Пуассона с ожидаемым значением λ, и что

являются одинаково распределенными случайными величинами , которые являются независимыми друг от друга , а также не зависит от N . Тогда распределение вероятностей суммы iid случайных величин

является составным распределением Пуассона.

В случае N = 0 это сумма 0 членов, поэтому значение Y равно 0. Следовательно, условное распределение Y при N  = 0 является вырожденным распределением.

Составное распределение Пуассона получается путем маргинализации совместного распределения ( Y , N ) по N , и это совместное распределение может быть получено путем объединения условного распределения Y  |  Н с предельным распределением N .

Характеристики

Ожидаемое значение и дисперсия распределения соединения могут быть получены простым способом из закона полного математического ожидания и закона общей дисперсии . Таким образом

Тогда, поскольку E ( N ) = Var ( N ), если N пуассоново, эти формулы сводятся к виду

Распределение вероятностей Y можно определить в терминах характеристических функций :

и, следовательно, используя вероятностную производящую функцию распределения Пуассона, имеем

Альтернативный подход - через кумулянтные производящие функции :

С помощью закона полного cumulance можно показать , что, если среднее значение распределения Пуассона λ  = 1, кумулянты из Y такие же , как и моменты из X 1 .

Можно показать, что каждое бесконечно делимое распределение вероятностей является пределом составных распределений Пуассона. А составное распределение Пуассона по определению бесконечно делится .

Дискретное составное распределение Пуассона

Когда являются неотрицательными целочисленными случайными величинами iid с , тогда это составное распределение Пуассона называется дискретным составным распределением Пуассона (или распределением Пуассона заикания). Мы говорим, что дискретная случайная величина, удовлетворяющая характеристике производящей функции вероятности

имеет дискретное составное распределение Пуассона (ДКП) с параметрами , которое обозначается

Более того, если , мы говорим, имеет дискретное сложное распределение Пуассона порядка . Когда , DCP становится распределение Пуассона и распределение Эрмита , соответственно. Когда DCP становится тройным распределением заикания-Пуассона и четырехкратным распределением Пуассона заикания, соответственно. Другие частные случаи включают: геометрическое распределение сдвига , отрицательное биномиальное распределение , геометрическое распределение Пуассона, распределение Неймана типа A, распределение Луриа – Дельбрюка в эксперименте Лурия – Дельбрюк . Для более частного случая DCP см. Обзорный документ и ссылки в нем.

Характеристика Феллера состояний соединения распределения Пуассона , что неотрицательное целое число значных с.в. является бесконечно делимым тогда и только тогда , когда ее распределение является дискретным Сложное распределение Пуассона. Можно показать, что отрицательное биномиальное распределение является дискретным безгранично делимым , т. Е. Если X имеет отрицательное биномиальное распределение, то для любого положительного целого числа n существуют дискретные iid случайные величины X 1 , ...,  X n , сумма которых имеет Такое же распределение , что X имеет. Геометрическое распределение сдвига представляет собой дискретное сложное распределение Пуассона, поскольку это тривиальный случай отрицательного биномиального распределения .

Это распределение может моделировать поступление пакетов (например, в массовых очередях ). Дискретное составное распределение Пуассона также широко используется в актуарной науке для моделирования распределения общей суммы требования.

Когда некоторые из них отрицательны, это дискретное псевдосложное распределение Пуассона. Мы определяем, что любая дискретная случайная величина, удовлетворяющая характеристике производящей функции вероятности

имеет дискретное псевдосложное распределение Пуассона с параметрами .

Составное гамма-распределение Пуассона

Если X имеет гамма-распределение , частным случаем которого является экспоненциальное распределение , то условное распределение Y  |  N - это снова гамма-распределение. Можно показать, что предельное распределение Y является распределением Твиди со степенью дисперсии 1 <p <2 (доказательство путем сравнения характеристической функции (теория вероятностей) ). Чтобы быть более точным, если

и

iid, то распределение

представляет собой репродуктивную модель экспоненциальной дисперсии с

Преобразование параметров Tweedie в параметры Пуассона и Гамма выглядит следующим образом:

Составные процессы Пуассона

Соединение Пуассон процесс с скоростью и распределением по размерам скачка G является непрерывным время стохастического процесс задается

где сумма по соглашению равна нулю, пока N ( t ) = 0. Здесь - процесс Пуассона со скоростью , и являются независимыми и одинаково распределенными случайными величинами с функцией распределения G , которые также не зависят от

Для дискретной версии составного процесса Пуассона его можно использовать в анализе выживаемости для моделей хрупкости.

Приложения

Составное распределение Пуассона, в котором слагаемые имеют экспоненциальное распределение , было использовано Revfeim для моделирования распределения общего количества осадков за день, где каждый день содержит распределенное по Пуассону количество событий, каждое из которых обеспечивает количество осадков, которое имеет экспоненциальное распределение. Томпсон применил ту же модель к общему количеству осадков за месяц.

Были заявки на страхование и на рентгеновскую компьютерную томографию .

Смотрите также

использованная литература