Модуль (алгебраическая теория чисел) - Modulus (algebraic number theory)

В математике , в области теории алгебраических чисел , А модуль упругости (множественное число модулей ) (или цикл , или расширенный идеал ) является формальным продуктом местах одного глобального поля (т.е. поля алгебраических чисел или глобальная функция поля ). Он используется для кодирования данных ветвления для абелевых расширений глобального поля.

Определение

Пусть K глобальное поле с кольцом целых чисел R . Модуль представляет собой формальное произведение

${\ Displaystyle \ mathbf {m} = \ prod _ {\ mathbf {p}} \ mathbf {p} ^ {\ nu (\ mathbf {p})}, \, \, \ nu (\ mathbf {p}) \ geq 0}$

где р пробегает все места в K , конечный или бесконечный , экспонент v ( р ) равно нуль для конечного числа , кроме р . Если K - числовое поле, ν ( p ) = 0 или 1 для действительных мест и ν ( p ) = 0 для сложных мест. Если K - функциональное поле, ν ( p ) = 0 для всех бесконечных мест.

В случае функционального поля модуль - это то же самое, что и эффективный делитель , а в случае числового поля модуль можно рассматривать как специальную форму дивизора Аракелова .

Понятие конгруэнтности может быть расширено до задания модулей. Если a и b являются элементами K ^× , определение a  ≡ ^∗ b  (mod  p ^ν ) зависит от того, какой тип простого числа p :

• если конечно, то

${\ Displaystyle а \ эквив ^ {\ аст} \! б \, (\ mathrm {mod} \, \ mathbf {p} ^ {\ nu}) \ Leftrightarrow \ mathrm {ord} _ {\ mathbf {p}} \ left ({\ frac {a} {b}} - 1 \ right) \ geq \ nu}$

где ord _p - нормализованная оценка, связанная с p ;

• если это реальная позиция (числового поля) и ν = 1, то

${\ Displaystyle а \ эквив ^ {\ аст} \! б \, (\ mathrm {mod} \, \ mathbf {p}) \ Leftrightarrow {\ frac {a} {b}}> 0}$

при реальном вложении, ассоциированном с p .

• если это любое другое бесконечное место, нет никаких условий.

Тогда, учитывая модуль м ,  ≡ ^* б  ( по модулю  т ) , если  ≡ ^* б  ( по модулю  р ^{ν ( р )} ) для всех р такие , что ν ( р )> 0.

Группа классов лучей

Лучей по модулю т является

${\ displaystyle K _ {\ mathbf {m}, 1} = \ left \ {a \ in K ^ {\ times}: a \ Equiv ^ {\ ast} \! 1 \, (\ mathrm {mod} \, \ mathbf {m}) \ right \}.}$

Модуль m можно разделить на две части, m _f и m _∞ , произведение по конечным и бесконечным точкам соответственно. Пусть I ^m будет одним из следующих:

• если K - числовое поле, подгруппа группы дробных идеалов, порожденная идеалами, взаимно простыми с m _f ;
• если K - функциональное поле алгебраической кривой над k , группа дивизоров, рациональных над k , с носителем вне m .

В обоих случаях существует гомоморфизм группы i  : K _{m , 1} → I ^m, полученный отправкой a в главный идеал (соответственно дивизор ) ( a ).

Группа классов лучей по модулю m - это фактор-группа C _m = I ^m / i ( K _{m , 1} ). Класс i ( K _{m , 1} ) называется классом лучей по модулю m .

Исходное определение характеров Гекке, данное Эрихом Гекке, можно интерпретировать в терминах характеров группы классов лучей относительно некоторого модуля m .

Свойства

Когда K - числовое поле, выполняются следующие свойства.

• Когда m = 1, группа классов лучей является просто идеальной группой классов .
• Группа классов лучей конечна. Его порядок - это номер класса луча .
• Число лучей класс делится на число классов из K .

Ноты

Ссылки

• Кон, Харви (1985), Введение в построение полей классов , Кембриджские исследования по продвинутой математике, 6 , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-24762-7
• Януш, Джеральд Дж. (1996), Поля алгебраических чисел , Аспирантура по математике , 7 , Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-0429-2
• Лэнг, Серж (1994), Алгебраическая теория чисел , Тексты для выпускников по математике , 110 (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94225-4, MR  1282723
• Милн, Джеймс (2008), Class field theory (v4.0 ed.) , Получено 22 февраля 2010 г.
• Нойкирх, Юрген (1999). Алгебраическая теория чисел . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften . 322 . Берлин: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-65399-8. Руководство по ремонту  1697859 . Zbl  0956.11021 .
• Серр, Жан-Пьер (1988), Алгебраические группы и поля классов , Тексты для выпускников по математике , 117 , Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-96648-9