Гомоморфизм Гизина - Gysin homomorphism

В области математики , известная как алгебраическая топология , то последовательность Гизина является длинным точной последовательностью , которая связывает классы когомологий на базовое пространстве , волокно и общего пространство в виде сферического расслоения . Последовательность Гизина - полезный инструмент для вычисления колец когомологий с учетом класса Эйлера расслоения сфер и наоборот. Он был введен Гайсиным  ( 1942 ) и обобщен спектральной последовательностью Серра .

Определение

Рассмотрим расслоение сфер, ориентированное на слои, с полным пространством E , базовым пространством M , слоем S ^k и отображением проекции : ${\ displaystyle \ pi}$${\ displaystyle S ^ {k} \ hookrightarrow E {\ stackrel {\ pi} {\ longrightarrow}} M.}$

Любое такое расслоение определяет  класс когомологий e степени k + 1, называемый классом Эйлера расслоения.

Когомологии де Рама

Обсуждение последовательности наиболее ясно в когомологиях де Рама . Там классы когомологий представлены дифференциальными формами , так что e может быть представлен ( k  + 1) -формой.

Отображение проекции индуцирует отображение в когомологиях, называемое обратным возвратом${\ displaystyle \ pi}$${\ displaystyle H ^ {\ ast}}$ ${\ displaystyle \ pi ^ {\ ast}}$

${\ displaystyle \ pi ^ {*}: H ^ {*} (M) \ longrightarrow H ^ {*} (E). \,}$

В случае пучка волокон можно также определить прямую карту${\ displaystyle \ pi _ {\ ast}}$

${\ displaystyle \ pi _ {*}: H ^ {*} (E) \ longrightarrow H ^ {* - k} (M)}$

который действует путем послойного интегрирования дифференциальных форм на ориентированной сфере - обратите внимание, что это отображение идет «неправильным путем» : это ковариантное отображение между объектами, связанными с контравариантным функтором.

Гайсин доказал, что следующая длинная точная последовательность

${\ displaystyle \ cdots \ longrightarrow H ^ {n} (E) {\ stackrel {\ pi _ {*}} {\ longrightarrow}} H ^ {nk} (M) {\ stackrel {e _ {\ wedge}} { \ longrightarrow}} H ^ {n + 1} (M) {\ stackrel {\ pi ^ {*}} {\ longrightarrow}} H ^ {n + 1} (E) \ longrightarrow \ cdots}$

где - клиновидное произведение дифференциальной формы с классом Эйлера  e . ${\ Displaystyle е _ {\ клин}}$

Интегральные когомологии

Последовательность Гизина - это длинная точная последовательность не только для когомологий де Рама дифференциальных форм, но и для когомологий с целыми коэффициентами. В интегральном случае необходимо заменить произведение клина классом Эйлера на произведение чашки , и карта прямого продвижения больше не соответствует интегрированию.

Гомоморфизм Гизина в алгебраической геометрии

Пусть i : X → Y - (замкнутое) регулярное вложение коразмерности d , Y ' → Y - морфизм и i ' : X ' = X × _Y Y ' → Y ' - индуцированное отображение. Пусть N - возврат нормального расслоения i к X ' . Тогда уточненный гомоморфизм Гизина i ^! относится к составу

${\ displaystyle i ^ {!}: A_ {k} (Y ') {\ overset {\ sigma} {\ longrightarrow}} A_ {k} (N) {\ overset {\ text {Gysin}} {\ longrightarrow} } A_ {kd} (X ')}$

где

• σ - гомоморфизм специализации ; который посылает K - мерное подмногообразие V к нормальному конусу к пересечению V и X ' в V . Результат лежит через N через .${\ Displaystyle C_ {X '/ Y'} \ hookrightarrow N}$
• Второе отображение - это (обычный) гомоморфизм Гизина, индуцированный вложением нулевого сечения .${\ Displaystyle X '\ hookrightarrow N}$

Гомоморфизм i ^! кодирует пересечение продукт в теории пересечений в том , что один либо шоу или определяет пересечение произведение X и V , как:${\ Displaystyle X \ cdot V = i ^ {!} [V].}$

Пример : Учитывая векторное расслоение Е , пусть S : X → E будет раздел Е . Затем, когда с является регулярным раздела , является классом нулевого локуса с , где [ X ] является фундаментальным классом из X . ${\ displaystyle s ^ {!} [X]}$

Смотрите также

• Логарифмическая форма
• Последовательность Ванга

Ноты

Источники