Класс Эйлера - Euler class

В математике , в частности , в алгебраической топологии , то класс Эйлера является характеристическим классом из ориентированных , в реальном векторных расслоений . Как и другие характеристические классы, он измеряет, насколько "скручено" векторное расслоение. В случае касательного расслоения гладкого многообразия оно обобщает классическое понятие эйлеровой характеристики . Из-за этого он назван в честь Леонхарда Эйлера .

На протяжении всей статьи рассматривается ориентированное вещественное векторное расслоение ранга над базовым пространством . ${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle r}$ ${\ displaystyle X}$

Формальное определение

Класс Эйлера является элементом целочисленной группы когомологий ${\ Displaystyle е (Е)}$

{\ Displaystyle Н ^ {г} (Х; \ mathbf {Z}),}

построен следующим образом. Ориентации в количествах до непрерывного выбора генератора когомологий ${\ displaystyle E}$

{\ displaystyle H ^ {r} (\ mathbf {R} ^ {r}, \ mathbf {R} ^ {r} \ setminus \ {0 \}; \ mathbf {Z}) \ cong H ^ {r-1 } (S ^ {r-1}; \ mathbf {Z}) \ cong \ mathbf {Z}}

каждого слоя относительно нулевого дополнения . Из изоморфизма Тома это индуцирует класс ориентации ${\ displaystyle \ mathbf {R} ^ {r}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {R} ^ {r} \ setminus \ {0 \}}$

{\ displaystyle u \ in H ^ {r} (E, E \ setminus E_ {0}; \ mathbf {Z})}

в когомологиях относительно дополнения в секции нулевой . Включения ${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle E \ setminus E_ {0}}$ ${\ displaystyle E_ {0}}$

{\ displaystyle (X, \ emptyset) \ hookrightarrow (E, \ emptyset) \ hookrightarrow (E, E \ setminus E_ {0}),}

где включает в качестве нулевого сечения, индуцируют отображения ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle E}$

{\ displaystyle H ^ {r} (E, E \ setminus E_ {0}; \ mathbf {Z}) \ to H ^ {r} (E; \ mathbf {Z}) \ to H ^ {r} (X ; \ mathbf {Z}).}

Класс Эйлера e ( E ) - это образ u при композиции этих отображений.

Характеристики

Класс Эйлера удовлетворяет этим свойствам, которые являются аксиомами характеристического класса:

Функториальность: если это другое ориентированное реальное векторное расслоение, непрерывное и покрытое сохраняющей ориентацию картой , то . В частности, . ${\ displaystyle F \ to Y}$ ${\ displaystyle f \ двоеточие от Y \ до X}$ ${\ displaystyle F \ to E}$ ${\ Displaystyle е (F) = е ^ {*} (е (E))}$ ${\ Displaystyle е (е ^ {*} (Е)) = е ^ {*} (е (Е))}$
Формула суммы Уитни : еслиэто другое ориентированное вещественное векторное расслоение, то класс Эйлера их прямой суммы определяется выражением ${\ displaystyle F \ to X}$ ${\ Displaystyle е (Е \ oplus F) = е (Е) \ улыбка е (F).}$
Нормализация: Если есть раздел нигде-ноль, то . ${\ displaystyle E}$ ${\ Displaystyle е (Е) = 0}$
Ориентация: Если есть с ориентацией противоположной, то . ${\ displaystyle {\ overline {E}}}$ ${\ displaystyle E}$ ${\ Displaystyle е ({\ overline {E}}) = - е (E)}$

Обратите внимание, что «нормализация» - отличительная черта класса Эйлера. Класс Эйлера препятствует существованию ненулевого сечения в том смысле, что if then не имеет ненулевого сечения. ${\ Displaystyle е (Е) \ neq 0}$ ${\ displaystyle E}$

Кроме того, в отличие от других характеристических классов, она сосредоточена в степени , которая зависит от ранга пучка: . Напротив, классы Штифеля-Уитни живут независимо от ранга . Это отражает тот факт, что класс Эйлера нестабилен , как обсуждается ниже. ${\ Displaystyle е (Е) \ в Н ^ {г} (Х)}$ ${\ displaystyle w_ {i} (E)}$ ${\ Displaystyle Н ^ {я} (Х; \ mathbb {Z} / 2)}$ ${\ displaystyle E}$

Исчезающее геометрическое место общего сечения

Класс Эйлера соответствует исчезающему множеству сечения следующим образом. Предположим, что это ориентированное гладкое многообразие размерности . Позвольте быть гладким сечением, которое поперечно пересекает нулевое сечение. Позвольте быть нулевое геометрическое место . Тогда есть подмногообразие коразмерности, которое представляет класс гомологий и является двойственным по Пуанкаре к . ${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle d}$ ${\ displaystyle \ sigma \ двоеточие от X \ до E}$ ${\ Displaystyle Z \ substeq X}$ ${\ displaystyle \ sigma}$ ${\ displaystyle Z}$ ${\ displaystyle r}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ Displaystyle [Z] \ в H_ {dr} (X; \ mathbf {Z})}$ ${\ Displaystyle е (Е)}$ ${\ displaystyle [Z]}$

Самопересечение

Например, если это компактное подмногообразие, то класс Эйлера нормального расслоения из в естественно отождествляются с самопересечением из в . ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle X}$

Связь с другими инвариантами

В частном случае, когда рассматриваемое расслоение E является касательным расслоением компактного ориентированного r -мерного многообразия, класс Эйлера является элементом верхних когомологий многообразия, который естественным образом отождествляется с целыми числами путем вычисления классов когомологий на фундаментальном классе гомологий . При таком отождествлении класс Эйлера касательного расслоения равен эйлеровой характеристике многообразия. На языке характеристических чисел эйлерова характеристика - это характеристическое число, соответствующее классу Эйлера.

Таким образом, класс Эйлера является обобщением характеристики Эйлера на векторные расслоения, отличные от касательных. В свою очередь, класс Эйлера является архетипом для других характеристических классов векторных расслоений, поскольку каждый «верхний» характеристический класс равен классу Эйлера следующим образом.

Модифицирование на 2 вызывает карту

{\ displaystyle H ^ {r} (X, \ mathbf {Z}) \ to H ^ {r} (X, \ mathbf {Z} / 2 \ mathbf {Z}).}

Образ класса Эйлера под этим отображением - это верхний класс Штифеля-Уитни w _r ( E ). Этот класс Штифеля-Уитни можно рассматривать как «класс Эйлера, игнорирующий ориентацию».

Любое комплексное векторное расслоение E комплексного ранга d можно рассматривать как ориентированное вещественное векторное расслоение E вещественного ранга 2 d . Класс Эйлера E задается классом Черна наивысшей размерности ${\ Displaystyle е (Е) = c_ {d} (E) \ в H ^ {2d} (X)}$

Квадраты наверх Класс Понтрягиных

Класс Понтрягина определяется как класс Черна усложнением E : . ${\ displaystyle p_ {r} (E)}$ ${\ displaystyle p_ {r} (E) = c_ {2r} (\ mathbf {C} \ otimes E)}$

Комплексификация изоморфна как ориентированное расслоение . Сравнивая классы Эйлера, мы видим, что ${\ displaystyle \ mathbf {C} \ otimes E}$ ${\ displaystyle E \ oplus E}$

{\ displaystyle e (E) \ smile e (E) = e (E \ oplus E) = e (E \ otimes \ mathbf {C}) = c_ {r} (E \ otimes \ mathbf {C}) \ in H ^ {2r} (X, \ mathbf {Z}).}

Если ранг г из Е даже тогда , когда это верхняя мерная класс Понтрягина из . ${\ Displaystyle е (Е) \ улыбка е (Е) = c_ {r} (E) = p_ {r / 2} (E)}$ ${\ displaystyle p_ {r / 2} (E)}$ ${\ displaystyle E}$

Нестабильность

Характерный класс является стабильным , если где есть ранг один тривиальное расслоение. В отличие от большинства других характеристических классов, класс Эйлера нестабилен . На самом деле, . ${\ displaystyle c}$ ${\ displaystyle c (E \ oplus {\ underline {R}} ^ {1}) = c (E)}$ ${\ displaystyle {\ underline {R}} ^ {1}}$ ${\ displaystyle e (E \ oplus {\ underline {R}} ^ {1}) = e (E) \ smile e ({\ underline {R}} ^ {1}) = 0}$

Класс Эйлера представлен классом когомологий в классифицирующем пространстве BSO ( k ) . Неустойчивость класса Эйлера показывает, что это не обратный ход класса при включении . ${\ Displaystyle е \ в Н ^ {к} (\ mathrm {BSO} (к))}$ ${\ Displaystyle Н ^ {к} (\ mathrm {BSO} (к + 1))}$ ${\ Displaystyle \ mathrm {BSO} (k) \ to \ mathrm {BSO} (k + 1)}$

Интуитивно это можно увидеть в том, что класс Эйлера - это класс, степень которого зависит от размерности расслоения (или многообразия, если касательное расслоение): класс Эйлера является элементом, где - размерность расслоения, а другой классы имеют фиксированную размерность (например, первый класс Штифеля-Уитни является элементом ). ${\ displaystyle H ^ {d} (X)}$ ${\ displaystyle d}$ ${\ displaystyle H ^ {1} (X)}$

Тот факт, что класс Эйлера нестабилен, не следует рассматривать как «дефект»: скорее, это означает, что класс Эйлера «обнаруживает нестабильные явления». Например, касательное расслоение к сфере четной размерности является стабильно тривиальным, но не тривиальным (обычное включение сферы имеет тривиальное нормальное расслоение, таким образом, касательное расслоение к сфере плюс тривиальное линейное расслоение является касательным расслоением евклидова пространства, ограниченное к , что является тривиальным), поэтому все остальные характеристические классы для сферы обращаются в нуль, но класс Эйлера не обращается в нуль для четных сфер, обеспечивая нетривиальный инвариант. ${\ Displaystyle S ^ {п} \ substeq \ mathrm {R} ^ {п + 1}}$ ${\ Displaystyle S ^ {п}}$

Примеры

Сферы

Эйлерова характеристика n -сферы S ⁿ :

{\ displaystyle \ chi (\ mathbf {S} ^ {n}) = 1 + (- 1) ^ {n} = {\ begin {case} 2 & n {\ text {even}} \\ 0 & n {\ text {odd }}. \ end {case}}}

Таким образом, не существует ненулевого сечения касательного пучка четных сфер (это известно как теорема Волосатого шара ). В частности, касательное расслоение четной сферы нетривиально, т. Е. Не является параллелизуемым многообразием и не может допускать структуры группы Ли . ${\ displaystyle S ^ {2n}}$

Для нечетных сфер S ^{2 n −1} ⊂ R ^{2 n} нигде не исчезающее сечение задается формулой

{\ displaystyle (x_ {2}, - x_ {1}, x_ {4}, - x_ {3}, \ dots, x_ {2n}, - x_ {2n-1})}

что показывает, что класс Эйлера обращается в нуль; это всего n копий обычного раздела по кругу.

Поскольку класс Эйлера для четной сферы соответствует , мы можем использовать тот факт, что класс Эйлера суммы Уитни двух расслоений является просто чашечным произведением класса Эйлера двух расслоений, чтобы увидеть, что нет нетривиальных подрасслоений касательного пучка четной сферы. ${\ displaystyle 2 [S ^ {2n}] \ in H ^ {2n} (S ^ {2n}, \ mathbf {Z})}$

Поскольку касательное расслоение сферы стабильно тривиально, но не тривиально, все остальные характеристические классы на нем обращаются в нуль, а класс Эйлера является единственным обычным классом когомологий, который обнаруживает нетривиальность касательного расслоения сфер: для доказательства дальнейших результатов один должны использовать вторичные когомологические операции или K-теорию .

Круг

Цилиндр представляет собой расслоение над окружностью в соответствии с естественной проекцией . Это тривиальное линейное расслоение, поэтому оно обладает нулевым сечением, поэтому его класс Эйлера равен 0. Оно также изоморфно касательному расслоению окружности; тот факт, что его класс Эйлера равен 0, соответствует тому факту, что эйлерова характеристика круга равна 0. ${\ displaystyle \ mathrm {R} ^ {1} \ times S ^ {1} \ to S ^ {1}}$

Languages

In other projects