Спектральная последовательность Серра - Serre spectral sequence

В математике , то Серра спектральная последовательность (иногда Лера Серра последовательности признать более раннюю работу Жан Леры в последовательности Леры спектрального ) является важным инструментом в алгебраической топологии . Оно выражает, на языке гомологической алгебры , в единственном числе (ко) гомологии общего пространства X а (Серра) расслоения в терминах (со) гомологий базового пространства B и волокна F . Результат принадлежит Жан-Пьеру Серру в его докторской диссертации.

Спектральная последовательность когомологий

Пусть - расслоение Серра топологических пространств, и пусть F - (линейно связный) слой . Спектральная последовательность когомологий Серра следующая:

Здесь, по крайней мере , в стандартных условиях , упрощающих, группа коэффициентов в -TERM представляет собой Q -го интеграла группы когомологий из F , а внешняя группой является сингулярной когомологией из B с коэффициентами в этой группе.

Строго говоря, имеется в виду когомологии относительно локальной системы коэффициентов на B, заданные когомологиями различных слоев. Если предположить , например, что B является односвязным , это сворачивает к обычным когомологиям. Для базы, связной по путям , все различные слои гомотопически эквивалентны . В частности, их когомологии изоморфны, поэтому выбор «слоя» не дает двусмысленности.

Абатмент означает интегральную когомологию общего пространства X .

Эта спектральная последовательность может быть получена из точной пары , построенной из длинных точных последовательностей когомологий пары , где есть ограничение расслоения над р -остами B . Точнее, используя эти обозначения ,

 

е определяется путем ограничения на каждую часть , чтобы , например , определяются с помощью карты кограничной в длинном точной последовательности пары , а ч определяются путем ограничения на

Есть мультипликативная структура

совпадающий на E 2 -терме с (−1) qs, умноженным на чашечное произведение, и по отношению к которым дифференциалы являются (градуированными) производными, индуцирующими произведение на -странице из продукта на -странице.

Спектральная последовательность гомологий

Подобно спектральной последовательности когомологий, существует одна для гомологий:

где обозначения двойственны указанным выше.

Примеры расчетов

Расслоение Хопфа

Напомним, что расслоение Хопфа задается формулой . -Page последовательности Лере-Серра читает

Дифференциал идет вниз и вправо. Таким образом, единственный дифференциал, который не обязательно 0 - это d 0,1 2 , потому что у остальных есть домен или домен 0 (поскольку они 0 на странице E 2 ). В частности, эта последовательность вырождается при E 2  =  E . На 3-й странице E говорится:

Спектральная последовательность упирается в то есть, оценивая интересующие части, мы имеем и Зная, что когомологии обеих равны нулю, поэтому дифференциал является изоморфизмом.

Расслоение сфер на комплексном проективном многообразии

Учитывая сложный п - мерное проективное многообразие X существует каноническое семейство линейных расслоений для прихода из вложения . Это задается глобальными секциями, которые отправляют

Если мы построим векторное расслоение ранга r, которое представляет собой конечную сумму Уитни векторных расслоений, мы можем построить расслоение сфер , слои которого являются сферами . Тогда мы можем использовать спектральную последовательность Серра вместе с классом Эйлера для вычисления интеграла когомологий S . -Page дается . Мы видим, что единственные нетривиальные дифференциалы приведены на -странице и определяются путем объединения с классом Эйлера . В этом случае он задается высшим классом черна . Например, рассмотрим векторное расслоение для X как K3-поверхность . Тогда спектральная последовательность читается как

Дифференциал для - это квадрат класса Лефшеца. В этом случае единственным нетривиальным дифференциалом будет тогда

Мы можем закончить это вычисление, отметив, что единственными нетривиальными группами когомологий являются

Базовое расслоение пространства путей

Начнем сначала с базового примера; рассмотрим расслоение пространства путей

Мы знаем гомологии основного и полного пространства, поэтому наша интуиция подсказывает нам, что спектральная последовательность Серра должна быть в состоянии сообщить нам гомологии пространства петель. Это пример случая, когда мы можем изучать гомологии расслоения, используя страницу E (гомологии всего пространства), чтобы контролировать, что может происходить на странице E 2 . Напомним, что

Таким образом, мы знаем, что когда q = 0, мы просто смотрим на обычные целочисленные группы гомологий H p ( S n +1 ), которые имеют значение в степенях 0 и n +1 и значение 0 везде. Однако, поскольку пространство путей сжимаемо, мы знаем, что к тому времени, когда последовательность достигает E , все становится 0, за исключением группы в p = q = 0. Единственный способ, которым это может произойти, - это если существует изоморфизм от к другая группа. Однако единственные места, где группа может быть ненулевой, - это столбцы p = 0 или p = n +1, поэтому этот изоморфизм должен иметь место на странице E n +1 с codomain. Однако размещение a в этой группе означает, что должен быть at H n +1 ( S n +1 ; H n ( F )). Индуктивное повторение этого процесса показывает, что H iS n +1 ) имеет значение в целых числах, кратных n и 0 во всех остальных местах.

Кольцо когомологий комплексного проективного пространства

Мы вычисляем когомологии расслоения:

Теперь на странице E 2 в координате 0,0 у нас есть тождество кольца. В координате 0,1 у нас есть элемент i, который генерирует.Однако мы знаем, что на странице limit могут быть только нетривиальные генераторы степени 2 n +1, говорящие нам, что генератор i должен перейти к некоторому элементу x в 2,0 координата. Теперь это говорит нам, что в координате 2,1 должен быть элемент ix . Затем мы видим, что d ( ix ) = x 2 по правилу Лейбница, согласно которому координата 4,0 должна быть x 2, поскольку не может быть нетривиальных гомологий до степени 2 n +1. Повторение этого аргумента индуктивно до тех пор, пока 2 n  + 1 не даст ix n в координате 2 n , 1, которая тогда должна быть единственным генератором в этой степени, таким образом говоря нам, что  координата 2 n + 1,0 должна быть 0. Считывание от горизонтального дна строка спектральной последовательности дает нам кольцо когомологий и говорит нам, что ответ

В случае бесконечного комплексного проективного пространства взятие пределов дает ответ

Четвертая гомотопическая группа трехсферы

Более сложным применением спектральной последовательности Серра является вычисление. Этот конкретный пример иллюстрирует систематический метод, который можно использовать для вывода информации о высших гомотопических группах сфер. Рассмотрим следующее расслоение, являющееся изоморфизмом на

где - пространство Эйленберга – Маклейна . Затем мы преобразуем карту в расслоение; общеизвестно, что итерированный слой является пространством петель базового пространства, поэтому в нашем примере мы получаем, что волокно есть Но мы знаем, что Теперь мы посмотрим на когомологическую спектральную последовательность Серра: мы предположим, что у нас есть генератор для степени 3 когомологии , называемые . Поскольку в полных когомологиях нет ничего в степени 3, мы знаем, что это должно быть уничтожено изоморфизмом. Но единственный элемент, который может отображаться в него, - это генератор a кольца когомологий , так что мы имеем . Следовательно, по структуре произведения чашки, генератор степени 4 ,, отображается в генератор путем умножения на 2, а генератор когомологий степени 6 отображается в результате умножения на 3 и т. Д. В частности, мы находим, что Но теперь, поскольку мы убили от нижних гомотопических групп X (т. е. групп со степенями меньше 4) с помощью повторного расслоения, мы знаем, что по теореме Гуревича , говорящей нам, что

Следствие :

Доказательство. Возьмем длинную точную последовательность гомотопических групп для расслоения Хопфа .

Смотрите также

Рекомендации

Спектральная последовательность Серра описана в большинстве учебников по алгебраической топологии, например

Также

Элегантная конструкция благодаря

Случай симплициальных множеств рассмотрен в

  • Пол Гёрсс, Рик Джардин , Симплициальная гомотопическая теория , Биркхойзер