Кольцо когомологий - Cohomology ring

В математике , в частности , алгебраическая топологии , то кольцо когомологий из топологического пространства X представляет собой кольцо , образованное из когомологий групп X вместе с продуктом чашки , выступающим в качестве кольцевого умножения. Здесь «когомологии» обычно понимаются как особые когомологии , но кольцевая структура также присутствует в других теориях, таких как когомологии де Рама . Он также функториален : для непрерывного отображения пространств получается гомоморфизм колец на кольцах когомологий, который контравариантен.

В частности, учитывая последовательность групп когомологий H ^k ( X ; R ) на X с коэффициентами в коммутативном кольце R (обычно R - это Z _n , Z , Q , R или C ), можно определить произведение чашки , которое принимает форма

${\ displaystyle H ^ {k} (X; R) \ times H ^ {\ ell} (X; R) \ to H ^ {k + \ ell} (X; R).}$

Чашечное произведение дает умножение на прямую сумму групп когомологий

${\ displaystyle H ^ {\ bullet} (X; R) = \ bigoplus _ {k \ in \ mathbb {N}} H ^ {k} (X; R).}$

Это умножение превращает H ^• ( X ; R ) в кольцо. На самом деле, это, естественно , приобретает N - градуированное кольцо с неотрицательным целым числом K , выступающими в качестве степени. Продукт чашки соответствует этой классификации.

Кольцо когомологий является градуированно-коммутативным в том смысле, что чашечное произведение коммутирует до знака, определенного градуировкой. В частности, для чистых элементов степени k и ℓ; у нас есть

${\ displaystyle (\ alpha ^ {k} \ smile \ beta ^ {\ ell}) = (- 1) ^ {k \ ell} (\ beta ^ {\ ell} \ smile \ alpha ^ {k}).}$

Числовой инвариант, полученный из кольца когомологий, - это длина чашки , что означает максимальное количество градуированных элементов степени ≥ 1, которые при умножении дают ненулевой результат. Например, сложное проективное пространство имеет длину чашки, равную его комплексному измерению .

Примеры

• ${\ displaystyle \ operatorname {H} ^ {*} (\ mathbb {R} P ^ {n}; \ mathbb {F} _ {2}) = \ mathbb {F} _ {2} [\ alpha] / ( \ альфа ^ {п + 1})}$где .${\ Displaystyle | \ альфа | = 1}$
• ${\ displaystyle \ operatorname {H} ^ {*} (\ mathbb {R} P ^ {\ infty}; \ mathbb {F} _ {2}) = \ mathbb {F} _ {2} [\ alpha]}$где .${\ Displaystyle | \ альфа | = 1}$
• По формуле Кюннета кольцо когомологий mod 2 декартова произведения n копий является кольцом многочленов от n переменных с коэффициентами в .${\ Displaystyle \ mathbb {R} P ^ {\ infty}}$${\ displaystyle \ mathbb {F} _ {2}}$

Смотрите также

• Квантовая когомология

Ссылки

• Новиков, СП (1996). Топология I, Общий обзор . Springer-Verlag. ISBN 7-03-016673-6.
• Хэтчер, Аллен (2002), Алгебраическая топология , Кембридж: Издательство Кембриджского университета, ISBN 0-521-79540-0.