Обобщенная сложная структура - Generalized complex structure

В области математики, известной как дифференциальная геометрия , обобщенная комплексная структура - это свойство дифференциального многообразия, которое включает в себя в качестве частных случаев комплексную структуру и симплектическую структуру . Обобщенные сложные структуры были введены Найджелом Хитчином в 2002 году и в дальнейшем развиты его учениками Марко Гуальтиери и Джилом Кавальканти .

Эти структуры впервые возникли в программе Хитчина по описанию геометрических структур с помощью функционалов от дифференциальных форм , связи, которая легла в основу предложения Роберта Дейкграфа , Сергея Гукова , Эндрю Нейтцке и Кумруна Вафы 2004 года о том, что теории топологических струн являются частными случаями топологической M -теория . Сегодня обобщенные сложные структуры также играют ведущую роль в физической теории струн , поскольку суперсимметричные компактификации потока , которые связывают 10-мерную физику с 4-мерными мирами, такими как наш, требуют (возможно, скрученных) обобщенных сложных структур.

Определение

Обобщенное касательное расслоение

Рассмотрим ' N -многообразием M . Касательное расслоение на М , которую будет обозначать Т , является векторным расслоением над M , слои состоят из всех касательных векторов к М . Секция из Т является векторным полем на M . Кокасательное расслоение на М , будет обозначать Т ^* , является векторным расслоением над M , чьи секции один-форма на М .

В комплексной геометрии рассматриваются структуры на касательных расслоениях многообразий. В симплектической геометрии один вместо этого заинтересовано в внешних степенях кокасательного расслоения. Обобщенная геометрия объединяет эти два поля, рассматривая сечения обобщенного касательного расслоения , которое представляет собой прямую сумму касательного и кокасательного расслоений, которые являются формальными суммами векторного поля и одной формы. ${\ Displaystyle \ mathbf {T} \ oplus \ mathbf {T} ^ {*}}$

Волокна снабжены натуральным внутренним продуктом с подписью ( N ,  N ). Если X и Y - векторные поля, а ξ и η - одноформы, то скалярное произведение X + ξ и Y + η определяется как

${\ displaystyle \ langle X + \ xi, Y + \ eta \ rangle = {\ frac {1} {2}} (\ xi (Y) + \ eta (X)).}$

Обобщен почти комплексная структура является лишь почти комплексная структура обобщенного касательного расслоения, сохраняющий естественный внутренний продукт:

${\ displaystyle {\ mathcal {J}}: \ mathbf {T} \ oplus \ mathbf {T} ^ {*} \ to \ mathbf {T} \ oplus \ mathbf {T} ^ {*}}$

такой, что и ${\ displaystyle {\ mathcal {J}} ^ {2} = - {\ rm {Id}},}$

${\ displaystyle \ langle {\ mathcal {J}} (X + \ xi), {\ mathcal {J}} (Y + \ eta) \ rangle = \ langle X + \ xi, Y + \ eta \ rangle.}$

Как и в случае обычной почти комплексной структуры , обобщенная почти комплексная структура однозначно определяется своим - собственным расслоением , т. Е. Подрасслоением комплексифицированного обобщенного касательного расслоения, заданного формулой ${\ displaystyle {\ sqrt {-1}}}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle (\ mathbf {T} \ oplus \ mathbf {T} ^ {*}) \ otimes \ mathbb {C}}$

${\ displaystyle L = \ {X + \ xi \ in (\ mathbf {T} \ oplus \ mathbf {T} ^ {*}) \ otimes \ mathbb {C} \: \ {\ mathcal {J}} (X + \ xi) = {\ sqrt {-1}} (X + \ xi) \}}$

Такое подрасслоение L удовлетворяет следующим свойствам:

(i) пересечение с его комплексно сопряженным элементом является нулевым сечением :; ${\ Displaystyle L \ cap {\ overline {L}} = 0}$

(II) L является максимальным изотропным , то есть комплекс его ранга равна N , и для всех${\ Displaystyle \ langle \ ell, \ ell '\ rangle = 0}$${\ displaystyle \ ell, \ ell '\ in L.}$

Наоборот, любое подрасслоение L, удовлетворяющее (i), (ii), является -собственным расслоением единственной обобщенной почти комплексной структуры, так что свойства (i), (ii) можно рассматривать как альтернативное определение обобщенной почти комплексной структуры. ${\ displaystyle {\ sqrt {-1}}}$

Кронштейн Куранта

В обычной сложной геометрии, почти комплексная структура является интегрируемой с комплексной структурой тогда и только тогда , когда скобка Ли два секций голоморфного подрасслоения еще один раздел голоморфного подрасслоения.

В обобщенной комплексной геометрии человека интересуют не векторные поля, а формальные суммы векторных полей и одноформ. Своеобразная скобка Ли для таких формальных сумм была введена в 1990 г. и называется скобкой Куранта, которая определяется формулой

${\ displaystyle [X + \ xi, Y + \ eta] = [X, Y] + {\ mathcal {L}} _ {X} \ eta - {\ mathcal {L}} _ {Y} \ xi - {\ frac {1} {2}} d (i (X) \ eta -i (Y) \ xi)}$

где - производная Ли вдоль векторного поля X , d - внешняя производная, а i - внутреннее произведение . ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X}}$

Определение

Обобщенная комплексная структура представляет собой обобщенную почти комплексную структуру таким образом, что пространство гладких сечений L замкнуто относительно Курантовского кронштейна.

Максимальные изотропные подгруппы

Классификация

Существует взаимно-однозначное соответствие между максимальным изотропным подрасслоением из и пара , где Е представляет собой подрасслоение Т и является 2-формой. Это соответствие прямо распространяется на сложный случай. ${\ Displaystyle \ mathbf {T} \ oplus \ mathbf {T} ^ {*}}$${\ Displaystyle (\ mathbf {E}, \ varepsilon)}$${\ displaystyle \ varepsilon}$

По паре можно построить максимально изотропное подрасслоение из следующим образом . Элементами подрасслоения являются формальные суммы, в которых векторное поле X является сечением E, а одна-форма ξ, ограниченная двойственным пространством , равна одно-форме${\ Displaystyle (\ mathbf {E}, \ varepsilon)}$${\ Displaystyle L (\ mathbf {E}, \ varepsilon)}$${\ Displaystyle \ mathbf {T} \ oplus \ mathbf {T} ^ {*}}$ ${\ Displaystyle X + \ xi}$ ${\ displaystyle \ mathbf {E} ^ {*}}$${\ displaystyle \ varepsilon (X).}$

Для того, чтобы увидеть , что является изотропным, обратите внимание , что если Y является раздел Е и ограничивается является то , как часть ортогональна аннулирует Y . Таким образом, если и являются разделами тогда ${\ Displaystyle L (\ mathbf {E}, \ varepsilon)}$${\ Displaystyle \ xi}$${\ displaystyle \ mathbf {E} ^ {*}}$${\ Displaystyle \ varepsilon (X)}$${\ Displaystyle \ xi (Y) = \ varepsilon (X, Y),}$${\ Displaystyle \ xi}$${\ displaystyle \ mathbf {E} ^ {*}}$${\ Displaystyle X + \ xi}$${\ displaystyle Y + \ eta}$${\ Displaystyle \ mathbf {T} \ oplus \ mathbf {T} ^ {*}}$

${\ displaystyle \ langle X + \ xi, Y + \ eta \ rangle = {\ frac {1} {2}} (\ xi (Y) + \ eta (X)) = {\ frac {1} {2}} ( \ varepsilon (Y, X) + \ varepsilon (X, Y)) = 0}$

и поэтому изотропен. Кроме того, является максимальным , потому что есть (комплексные) размеры для выбора и ничем не ограничены на комплементе из который имеет (комплексные) размерности Таким образом, общее (комплекс) размерность в п . Гуальтьери доказал, что все максимальные изотропные подрасслоения имеют форму для некоторых и${\ Displaystyle L (\ mathbf {E}, \ varepsilon)}$${\ Displaystyle L (\ mathbf {E}, \ varepsilon)}$${\ displaystyle \ dim (\ mathbf {E})}$${\ displaystyle \ mathbf {E},}$${\ displaystyle \ varepsilon}$${\ displaystyle \ mathbf {E} ^ {*},}$${\ displaystyle n- \ dim (\ mathbf {E}).}$${\ Displaystyle L (\ mathbf {E}, \ varepsilon)}$${\ displaystyle \ mathbf {E}}$${\ displaystyle \ varepsilon.}$

Тип

Тип максимального изотропного подрасслоении реальный размер подрасслоении уничтожающая E . Эквивалентно это 2 Н минус реальный размер проекции на на касательное расслоение Т . Другими словами, типом максимального изотропного подрасслоения является коразмерность его проекции на касательное расслоение. В сложном случае используется сложное измерение, и тип иногда называют сложным типом . В то время как тип подгруппы в принципе может быть любым целым числом от 0 до 2 N , обобщенные почти сложные структуры не могут иметь тип больше N, потому что сумма подгруппы и его комплексно сопряженного элемента должна быть полностью${\ Displaystyle L (\ mathbf {E}, \ varepsilon)}$${\ Displaystyle L (\ mathbf {E}, \ varepsilon)}$${\ displaystyle (\ mathbf {T} \ oplus \ mathbf {T} ^ {*}) \ otimes \ mathbb {C}.}$

Типа максимального изотропного подрасслоения является инвариантным при диффеоморфизмах , а также под сдвигами B-поля , которые являются изометриями из формы ${\ Displaystyle \ mathbf {T} \ oplus \ mathbf {T} ^ {*}}$

${\ Displaystyle X + \ xi \ longrightarrow X + \ xi + i_ {X} B}$

где B - произвольная замкнутая 2-форма, называемая B-полем в литературе по теории струн .

Тип обобщенной почти сложной структуры, как правило, непостоянен, он может переходить на любое четное число . Однако он полунепрерывен сверху , что означает, что каждая точка имеет открытую окрестность, в которой тип не увеличивается. На практике это означает, что на подмногообразиях положительной коразмерности встречаются подмножества большего типа, чем объемлющий .

Реальный индекс

Реальный показатель г максимального изотропного подпространства L является комплексной размерностью пересечения с L с комплексно сопряженным. Максимальное изотропное подпространство в является обобщенной почти комплексной структурой тогда и только тогда, когда r = 0. ${\ displaystyle (\ mathbf {T} \ oplus \ mathbf {T} ^ {*}) \ otimes \ mathbb {C}}$

Канонический комплект

Как и в случае с обычной сложной геометрией, существует соответствие между обобщенными почти сложными структурами и сложными линейными расслоениями . Комплексное линейное расслоение, соответствующее конкретной обобщенной почти комплексной структуре, часто называют каноническим расслоением , поскольку оно обобщает каноническое расслоение в обычном случае. Иногда его также называют чистым спинорным пучком , поскольку его участки являются чистыми спинорами .

Обобщенные почти сложные структуры

Каноническое расслоение является один комплекс одномерного подрасслоения расслоения комплексных дифференциальных форм на М . Напомним, что гамма-матрицы определяют изоморфизм между дифференциальными формами и спинорами. В частности, четные и нечетные формы отображаются в две киральности спиноров Вейля . Векторы действуют на дифференциальные формы, создаваемые продуктом интерьера. Единые формы действуют на формы, заданные продуктом клина. Таким образом, участки пучка действуют на дифференциальные формы. Это действие является представлением действия алгебры Клиффорда на спинорах. ${\ Displaystyle \ mathbf {\ Lambda} ^ {*} \ mathbf {T} \ otimes \ mathbb {C}}$${\ displaystyle (\ mathbf {T} \ oplus \ mathbf {T} ^ {*}) \ otimes \ mathbb {C}}$

Спинор называется чистым спинором, если он аннигилирован половиной набора образующих алгебры Клиффорда. Спиноры разделы нашего расслоения и образующих алгебры Клиффорд являются волокном нашего другого пучка Таким образом, данная чистая спинор аннулируемого половинной размерности подрасслоения Е в Таких подрасслоений всегда изотропны, поэтому определить почти комплексную структуру одного сусло только наложить, что сумма E и его комплексно сопряженного элемента равна всем. Это верно всякий раз, когда произведение клина чистого спинора и его комплексно сопряженного элемента содержит компонент верхней размерности. Такие чистые спиноры определяют обобщенно-почти сложные структуры. ${\ displaystyle \ mathbf {\ Lambda} ^ {*} \ mathbf {T},}$${\ displaystyle (\ mathbf {T} \ oplus \ mathbf {T} ^ {*}) \ otimes \ mathbb {C}.}$${\ displaystyle (\ mathbf {T} \ oplus \ mathbf {T} ^ {*}) \ otimes \ mathbb {C}.}$${\ displaystyle (\ mathbf {T} \ oplus \ mathbf {T} ^ {*}) \ otimes \ mathbb {C}.}$

Учитывая обобщенную почти комплексную структуру, можно также определить чистый спинор с точностью до умножения на произвольную комплексную функцию . Эти выборы чистых спиноров определяются как сечения канонического расслоения.

Интегрируемость и другие структуры

Если чистый спинор, который определяет конкретную сложную структуру, является замкнутым , или, в более общем смысле, если его внешняя производная равна действию гамма-матрицы на себя, то почти комплексная структура интегрируема, и поэтому такие чистые спиноры соответствуют обобщенным комплексным структурам.

Если дополнительно наложить, что каноническое расслоение голоморфно тривиально, что означает, что это глобальные сечения, которые являются замкнутыми формами, то оно определяет обобщенную структуру Калаби-Яу, а M называется обобщенным многообразием Калаби-Яу .

Местная классификация

Канонический комплект

Локально все чистые спиноры могут быть записаны в одной и той же форме, в зависимости от целого числа k , B-полевой 2-формы B , невырожденной симплектической формы ω и k-формы Ω. В локальной окрестности любой точки чистый спинор Φ, порождающий каноническое расслоение, всегда можно представить в виде

${\ Displaystyle \ Phi = е ^ {В + я \ omega} \ Omega}$

где Ω разложимо как клиновидное произведение одноформ.

Обычная точка

Определим подрасслоение E комплексного касательного расслоения как проекцию голоморфного подрасслоения L из в. В определении обобщенной почти комплексной структуры мы наложили, что пересечение L и сопряженного с ним содержит только начало координат, иначе они не смогли бы охватить всю совокупность Однако пересечение их проекций не обязательно должно быть тривиальным. Обычно это пересечение имеет вид ${\ displaystyle \ mathbf {T} \ otimes \ mathbb {C}}$${\ displaystyle (\ mathbf {T} \ oplus \ mathbf {T} ^ {*}) \ otimes \ mathbb {C}}$${\ displaystyle \ mathbf {T} \ otimes \ mathbb {C}.}$${\ displaystyle (\ mathbf {T} \ oplus \ mathbf {T} ^ {*}) \ otimes \ mathbb {C}.}$

${\ Displaystyle E \ cap {\ overline {E}} = \ Delta \ otimes \ mathbb {C}}$

для некоторого подрасслоения Δ. Точка, имеющая открытую окрестность, в которой размерность слоев Δ постоянна, называется регулярной точкой .

Теорема Дарбу

Каждая регулярная точка в обобщенном комплексном многообразии имеет открытую окрестность , которая, после того, как диффеоморфизм и сдвиг B-поле, имеет ту же самую обобщенную сложную структуру , как декартово произведение из комплексного векторного пространства и стандартное симплектического пространство со стандартной симплектической формой , который представляет собой прямую сумму двух недиагональных матриц с элементами 1 и −1. ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {k}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2n-2k}}$

Локальная голоморфность

Вблизи нерегулярных точек приведенная выше классификационная теорема неприменима. Однако в любой точке обобщенное комплексное многообразие, с точностью до диффеоморфизма и B-поля, является произведением симплектического многообразия на обобщенное комплексное многообразие, которое имеет комплексный тип в этой точке, во многом подобно теореме Вайнштейна для локальной структуры Пуассона. коллекторы . Остается вопрос о локальной структуре: как выглядит обобщенная сложная структура около точки сложного типа? Фактически, он будет индуцирован голоморфной пуассоновой структурой .

Примеры

Комплексные многообразия

Пространство комплексных дифференциальных форм имеет операцию комплексного сопряжения, задаваемую комплексным сопряжением в. Это позволяет определять голоморфные и антиголоморфные одно-формы и ( m , n ) -формы, которые являются однородными многочленами от этих одноформ с m голоморфными множителями и n антиголоморфные факторы. В частности, все ( n , 0) -формы связаны локально посредством умножения на комплексную функцию и, таким образом, образуют комплексное линейное расслоение. ${\ Displaystyle \ mathbf {\ Lambda} ^ {*} \ mathbf {T} \ otimes \ mathbb {C}}$${\ displaystyle \ mathbb {C}.}$

( n , 0) -формы являются чистыми спинорами, так как они аннулируются антиголоморфными касательными векторами и голоморфными одноформами. Таким образом, это линейное расслоение можно использовать как каноническое расслоение для определения обобщенной сложной структуры. Ограничивая аннулятор от до комплексифицированного касательного расслоения, мы получаем подпространство антиголоморфных векторных полей. Следовательно, эта обобщенная комплексная структура на определяет обычную комплексную структуру на касательном расслоении. ${\ displaystyle (\ mathbf {T} \ oplus \ mathbf {T} ^ {*}) \ otimes \ mathbb {C}}$${\ displaystyle (\ mathbf {T} \ oplus \ mathbf {T} ^ {*}) \ otimes \ mathbb {C}}$

Как только половина базиса векторных полей голоморфна, эти сложные структуры типа N . Фактически комплексные многообразия и многообразия, полученные умножением чистого спинорного расслоения, определяющего комплексное многообразие, на комплексную -замкнутую (2,0) -форму, являются единственными обобщенными комплексными многообразиями типа N.${\ displaystyle \ partial}$

Симплектические многообразия

Чистое спинорное расслоение, порожденное

${\ Displaystyle \ фи = е ^ {я \ омега}}$

для невырожденной двумерной формы ω задает симплектическую структуру на касательном пространстве. Таким образом, симплектические многообразия также являются обобщенными комплексными многообразиями.

Вышеупомянутый чистый спинор определен глобально, поэтому каноническое расслоение тривиально. Это означает, что симплектические многообразия - это не только обобщенные комплексные многообразия, но на самом деле являются обобщенными многообразиями Калаби-Яу.

Чистый спинор связан с чистым спинором, который представляет собой просто число, посредством мнимого сдвига B-поля, который является сдвигом кэлеровой формы . Следовательно, эти обобщенные комплексные структуры того же типа, что и соответствующие скалярному чистому спинору. Скаляр аннигилирует всем касательным пространством, поэтому эти структуры имеют тип 0 . ${\ displaystyle \ phi}$

Вплоть до сдвига B-поля, который соответствует умножению чистого спинора на экспоненту замкнутой вещественной 2-формы, симплектические многообразия являются единственными обобщенными комплексными многообразиями типа 0. Многообразия, симплектические с точностью до сдвига B-поля, иногда называют B-симплектическими .

Отношение к G-структурам

Некоторые из почти структур в обобщенной комплексной геометрии могут быть перефразированы на языке G-структур . Слово «почти» удаляется, если структура интегрируема.

Связка с указанным выше внутренним продуктом представляет собой структуру O (2 n , 2 n ). Обобщенная почти комплексная структура - это сведение этой структуры к структуре U ( n ,  n ). Следовательно, пространство обобщенных комплексных структур является смежным классом ${\ displaystyle (\ mathbf {T} \ oplus \ mathbf {T} ^ {*}) \ otimes \ mathbb {C}}$

${\ displaystyle {\ frac {O (2n, 2n)} {U (n, n)}}.}$

Обобщенная почти эрмитова структурой является парой , коммутирующими обобщены сложными структуры , такими , что минус произведение соответствующих тензоров положительно определенная метрика на Обобщенных кэлеровых структуры сокращение структурной группы к Обобщенным келеровым многообразию и их скрученных аналогам, эквивалентны в bihermitian коллекторы , обнаруженных Сильвестра Джеймс Гейтс , Крис Халл и Мартин Росок в контексте 2-мерных суперсимметричных квантовые теории поля в 1984 году. ${\ displaystyle (\ mathbf {T} \ oplus \ mathbf {T} ^ {*}) \ otimes \ mathbb {C}.}$${\ Displaystyle U (п) \ раз U (п).}$

Наконец, обобщенная почти метрическая структура Калаби-Яу представляет собой дальнейшее сведение структурной группы к ${\ Displaystyle SU (п) \ раз SU (п).}$

Калаби против метрики Калаби – Яу

Обратите внимание, что обобщенная метрическая структура Калаби, введенная Марко Гуальтиери, является более сильным условием, чем обобщенная структура Калаби – Яу, введенная Найджелом Хитчином . В частности, обобщенная метрическая структура Калаби – Яу подразумевает существование двух коммутирующих обобщенных почти комплексных структур.

Ссылки

• Хитчин, Найджел (2003). «Обобщенные многообразия Калаби-Яу». Ежеквартальный математический журнал . 54 (3): 281–308. DOI : 10.1093 / qmath / hag025 .
• Гуальтьери, Марко (2004). Обобщенная комплексная геометрия (кандидатская диссертация). arXiv : math.DG / 0401221 .
• Гуальтьери, Марко (2011). «Обобщенная сложная геометрия» . Анналы математики . (2). 174 (1): 75–123. DOI : 10.4007 / annals.2011.174.1.3 .
• Гранья, Мариана (2006). «Компактификации потоков в теории струн: всесторонний обзор». Phys. Rep . 423 : 91–158. arXiv : hep-th / 0509003 .
• Дейкграаф, Робберт ; Гуков, Сергей ; Neitzke, Эндрю; Вафа, Джумран (2005). «Топологическая М-теория как объединение форм теорий гравитации» . Успехи теоретической и математической физики . 9 (4): 603–665. DOI : 10.4310 / ATMP.2005.v9.n4.a5 .