Гипотеза - Conjecture

Действительная часть (красный цвет) и мнимая часть (синий цвет) дзета-функции Римана вдоль критической линии Re ( s ) = 1/2. Первые нетривиальные нули можно увидеть при Im ( s ) = ± 14,135, ± 21,022 и ± 25,011. Гипотеза Римана , известная гипотеза, утверждает, что все нетривиальные нули дзета-функции лежат вдоль критической прямой.

В математике , гипотеза является заключение или предложение , которое предположительно верно в связи с предварительным подтверждающей, но для которых нет доказательств или опровержений пока не найдено. Некоторые гипотезы, такие как гипотеза Римана (все еще гипотеза) или Великая теорема Ферма (гипотеза, пока не доказанная в 1995 году Эндрю Уайлсом ), сформировали большую часть математической истории, поскольку для их доказательства развиваются новые области математики.

Важные примеры

Последняя теорема Ферма

В теории чисел , Великая теорема Ферма (иногда называемая гипотеза Ферма , особенно в старых текстах) утверждает , что не три положительных целых чисел , и может удовлетворять уравнению для любого целого значения больше , чем два.

Эта теорема была впервые высказана Пьером де Ферма в 1637 году на полях экземпляра « Арифметики» , где он утверждал, что у него есть доказательство, которое слишком велико, чтобы поместиться на полях. Первое успешное доказательство было выпущено в 1994 году Эндрю Уайлсом и официально опубликовано в 1995 году после 358 лет усилий математиков. Нерешенная проблема стимулировала развитие алгебраической теории чисел в 19 ​​веке и доказательство теоремы модульности в 20 веке. Это одна из самых известных теорем в истории математики , и до ее доказательства она была в Книге рекордов Гиннеса по «самым сложным математическим задачам».

Теорема четырех цветов

Четырехцветная карта штатов США (без учета озер).

В математике теорема о четырех цветах или теорема о четырехцветной карте гласит, что при любом разделении плоскости на смежные области, в результате чего получается фигура, называемая картой , для окраски областей карты требуется не более четырех цветов, поэтому что никакие две соседние области не имеют одинаковый цвет. Две области называются смежными, если они имеют общую границу, которая не является углом, где углы - это точки, общие для трех или более регионов. Например, на карте Соединенных Штатов Америки Юта и Аризона соседствуют, а Юта и Нью-Мексико, которые имеют только общую точку, которая также принадлежит Аризоне и Колорадо, - нет.

Мебиус упоминал об этой проблеме в своих лекциях еще в 1840 году. Гипотеза была впервые выдвинута 23 октября 1852 года, когда Фрэнсис Гатри , пытаясь раскрасить карту стран Англии, заметил, что нужны только четыре разных цвета. Теорема пяти цветов , которая имеет краткое элементарное доказательство, утверждает, что пяти цветов достаточно для раскраски карты, и была доказана в конце 19 века; Однако доказать, что четырех цветов достаточно, оказалось значительно сложнее. Ряд ложных доказательств и ложных контрпримеров появился с момента первого утверждения теоремы о четырех цветах в 1852 году.

Теорема о четырех цветах была окончательно доказана в 1976 году Кеннетом Аппелем и Вольфгангом Хакеном . Это была первая основная теорема будет доказана с помощью компьютера . Подход Аппеля и Хакена начался с демонстрации того, что существует определенный набор из 1936 карт, каждая из которых не может быть частью контрпримера наименьшего размера к теореме о четырех цветах (т. Е. Если они действительно появились, можно было бы создать контрпример меньшего размера. ). Аппель и Хакен использовали специальную компьютерную программу, чтобы подтвердить, что каждая из этих карт обладает этим свойством. Кроме того, любая карта, которая потенциально может быть контрпримером, должна иметь часть, похожую на одну из этих 1936 карт. Показав это на сотнях страниц ручного анализа, Аппель и Хакен пришли к выводу, что не существует ни малейшего контрпримера, потому что любой должен содержать, но не содержать одну из этих 1936 карт. Это противоречие означает, что контрпримеров нет вообще, а значит, теорема верна. Первоначально их доказательство не было принято математиками вообще, потому что компьютерное доказательство было невозможно проверить вручную. Однако с тех пор доказательство получило более широкое признание, хотя сомнения все еще остаются.

Hauptvermutung

Hauptvermutung (немецкий языка для основной гипотезы) о геометрической топологии является предположением , что любые две триангуляций из более триангулируемого пространства имеет общую утонченность, один триангуляцию , который является подразделением обоихов. Первоначально он был сформулирован в 1908 году Стейницем и Титце .

Теперь известно, что это предположение неверно. Версия без многообразия была опровергнута Джоном Милнором в 1961 году с помощью кручения Рейдемейстера .

Версия с коллектором верна для габаритов m ≤ 3 . Случаи m = 2 и 3 были доказаны Тибором Радо и Эдвином Моисе в 1920-х и 1950-х годах соответственно.

Гипотезы Вейля

В математике , эти гипотезы Weil были некоторые весьма влиятельные предложения по Вейль  ( 1949 ) на производящих функций (известные как местные дзета-функции ) , полученные из подсчета количества точек на алгебраических многообразий над конечными полями .

Многообразие V над конечным полем с q элементами имеет конечное число рациональных точек , а также точек над каждым конечным полем с q k элементами, содержащими это поле. Производящая функция имеет коэффициенты, полученные из числа N k точек над (по существу уникальным) полем с q k элементами.

Вейль предположил, что такие дзета-функции должны быть рациональными функциями , должны удовлетворять форме функционального уравнения и иметь нули в ограниченных местах. Последние две части были вполне сознательно смоделированы на дзета - функции Римана и гипотезы Римана . Рациональность была доказана Дворком (1960) , функциональное уравнение - Гротендиком (1965) , а аналог гипотезы Римана - Делинем (1974).

Гипотеза Пуанкаре

В математике , то гипотеза Пуанкаре является теорема о характеристике из 3-сферы , которая является гиперсфера, ограничивающая единичный шар в четырехмерном пространстве. Гипотеза гласит, что:

Каждый односвязной , закрыт 3- многообразие является гомеоморфно к 3-сфере.

Эквивалентная форма гипотезы включает более грубую форму эквивалентности, чем гомеоморфизм, называемую гомотопической эквивалентностью : если 3-многообразие гомотопически эквивалентно 3-сфере, то оно обязательно гомеоморфно ей.

Первоначально предположенная Анри Пуанкаре , теорема касается пространства, которое локально выглядит как обычное трехмерное пространство, но связно, имеет конечный размер и не имеет границ ( замкнутое 3-многообразие ). Гипотеза Пуанкаре утверждает, что если такое пространство обладает дополнительным свойством, заключающимся в том, что каждую петлю в пространстве можно непрерывно стягивать в точку, то это обязательно трехмерная сфера. Аналогичный результат был известен в более высоких измерениях в течение некоторого времени.

После почти столетних усилий математиков Григорий Перельман представил доказательство гипотезы в трех статьях, опубликованных в 2002 и 2003 годах на arXiv . Доказательство последовало из программы Ричарда С. Гамильтона по использованию потока Риччи для попытки решения проблемы. Позднее Гамильтон ввел модификацию стандартного потока Риччи, названного потоком Риччи, с операцией по систематическому иссечению особых областей по мере их развития контролируемым образом, но не смог доказать, что этот метод «сходится» в трех измерениях. Перельман завершил эту часть доказательства. Несколько групп математиков подтвердили правильность доказательства Перельмана.

Гипотеза Пуанкаре до того, как была доказана, была одним из самых важных открытых вопросов в топологии .

Гипотеза Римана

В математике гипотеза Римана , предложенная Бернхард Риман  ( 1859 г. ), является гипотеза о том , что нетривиальные нули по дзета - функции Римана все имеют действительную часть 1/2. Это имя также используется для некоторых близких аналогов, таких как гипотеза Римана для кривых над конечными полями .

Гипотеза Римана подразумевает результаты о распределении простых чисел . Наряду с подходящими обобщениями некоторые математики считают это самой важной нерешенной проблемой чистой математики . Гипотеза Римана, наряду с Гольдбаха гипотезой , является частью восьмой проблемы Гильберта в Дэвиде Гильберта списка «s из 23 нерешенных проблем ; это также одна из задач, присуждаемых Институтом математики Клэя « Миллениум» .

Проблема P против NP

Проблема P и NP - основная нерешенная проблема в информатике . Неформально он спрашивает, может ли каждая проблема, решение которой может быть быстро проверено компьютером, быть быстро решена компьютером; широко распространено мнение, что ответ отрицательный. Это была по существу впервые упоминается в 1956 письме , написанном Курта Гёделя на Джона фон Неймана . Гедель спросил, может ли определенная NP-полная задача быть решена за квадратичное или линейное время. Точная постановка проблемы P = NP была введена в 1971 году Стивеном Куком в его основополагающей статье «Сложность процедур доказательства теорем» и многими рассматривается как наиболее важная открытая проблема в этой области. Это одна из семи задач, удостоенных премии тысячелетия, отобранных Институтом математики Клэя для присуждения приза в размере 1 000 000 долларов США за первое правильное решение.

Другие домыслы

  • Гипотеза Гольдбаха
  • Гипотеза о простых близнецах
  • Гипотеза Коллатца
  • Гипотеза Манина
  • Гипотеза Малдасены
  • Гипотеза Эйлера , предложенная Эйлером в 18 веке, но для которой контрпримеры для ряда показателей (начиная с n = 4) были найдены начиная с середины 20 века.
  • Эти гипотезы Харди-Литлвуд представляют собой пару догадок о распределении простых чисел, первое из которых расширяет вышеупомянутые двойной прайм гипотезы. Ни один не был либо доказана или опровергнута, но это уже было доказано , что оба не могут одновременно быть истинным (т.е., по меньшей мере , один должен быть ложным). Не было доказано, какая из них ложна, но широко распространено мнение, что первая гипотеза верна, а вторая ложна.
  • Программа Langlands является далеко идущей Паутиной этих идей « объединяющих домыслов » , которые связывают различный подполь математики (например , между теорией чисел и теорией представлений о группах Ли ). Некоторые из этих гипотез с тех пор были доказаны.

Разрешение домыслов

Доказательство

Формальная математика основана на доказуемой истине. В математике любое количество случаев, подтверждающих универсальную количественную гипотезу, независимо от того, насколько велико, недостаточно для подтверждения ее истинности, поскольку один контрпример может немедленно опровергнуть гипотезу. Математические журналы иногда публикуют второстепенные результаты исследовательских групп, которые расширили поиск контрпримера дальше, чем это делалось ранее. Так , например, гипотеза Коллатец , которая касается ли или нет некоторых последовательностей из целых чисел прекращаются, была испытана для всех целых чисел до 1,2 × 10 12 (более триллиона). Однако неспособность найти контрпример после обширных поисков не является доказательством того, что гипотеза верна - потому что гипотеза может быть ложной, но с очень большим минимальным контрпримером.

Тем не менее математики часто считают гипотезу убедительно подтвержденной доказательствами, даже если она еще не доказана. Это свидетельство может быть разного рода, например, подтверждение его последствий или сильная взаимосвязь с известными результатами.

Гипотеза считается доказанной только тогда, когда было показано, что ее ложность логически невозможна. Для этого существуют различные методы; подробнее см. методы математического доказательства .

Один метод доказательства, применимый, когда существует только конечное число случаев, которые могут привести к контрпримерам, известен как « грубая сила »: в этом подходе рассматриваются все возможные случаи, и показано, что они не дают контрпримеров. В некоторых случаях количество случаев довольно велико, и в этом случае для доказательства методом перебора может потребоваться на практике использование компьютерного алгоритма для проверки всех случаев. Например, срок действия 1976 и 1997 грубой силы доказательств теоремы четыре цвета с помощью компьютера был изначально сомневался, но в конце концов подтвердил в 2005 году теорема-доказав программного обеспечения.

Когда гипотеза доказана , это уже не гипотеза, а теорема . Многие важные теоремы когда-то были гипотезами, такие как теорема геометризации (которая разрешила гипотезу Пуанкаре ), Великую теорему Ферма и другие.

Опровержение

Гипотезы опровергнуты через контрпример иногда называют ложные предположения (сравните гипотезу PolyA и Гипотезы Эйлера ). В последнем случае первый контрпример, найденный для случая n = 4, включал числа в миллионы, хотя впоследствии было обнаружено, что минимальный контрпример на самом деле меньше.

Независимые домыслы

Не все предположения оказываются верными или ложными. Гипотеза континуума , которая пытается установить относительную мощность некоторых бесконечных множеств , в конечном итоге оказалась независимой от общепринятого набора аксиом Цермело – Френкеля теории множеств. Таким образом , можно принять это заявление, или его отрицание, как новая аксиома в последовательном порядке (сколько Евклид «s параллельно постулат может быть принят либо как истинная или ложной в аксиоматической системе для геометрии).

В этом случае, если доказательство использует это утверждение, исследователи часто будут искать новое доказательство, которое не требует гипотезы (точно так же, как желательно, чтобы утверждения в евклидовой геометрии были доказаны с использованием только аксиом нейтральной геометрии, т.е. без постулата параллельности). На практике единственным серьезным исключением из этого правила является аксиома выбора , поскольку большинство исследователей обычно не беспокоятся о том, требует ли результат результат - если только они не изучают эту аксиому в частности.

Условные доказательства

Иногда гипотезу называют гипотезой, если она часто и неоднократно используется в качестве предположения при доказательстве других результатов. Например, гипотеза Римана - это гипотеза теории чисел, которая, помимо прочего, делает предсказания о распределении простых чисел . Немногие теоретики чисел сомневаются в истинности гипотезы Римана. Фактически, в ожидании ее окончательного доказательства, некоторые даже приступили к разработке дополнительных доказательств, которые зависят от истинности этой гипотезы. Это называется условным доказательством : предполагаемые гипотезы пока фигурируют в предположениях теоремы.

Эти «доказательства», однако, развалятся, если окажется, что гипотеза ложна, поэтому существует значительный интерес к проверке истинности или ложности гипотез этого типа.

В других науках

Карл Поппер был пионером в использовании термина «гипотеза» в научной философии . Гипотеза связана с гипотезой , которая в науке относится к проверяемой гипотезе.

Смотрите также

использованная литература

внешние ссылки