Гипотеза Римана - Riemann hypothesis

Действительная часть (красный цвет) и мнимая часть (синий цвет) дзета-функции Римана вдоль критической линии Re ( s ) = 1/2. Первые нетривиальные нули можно увидеть при Im ( s ) = ± 14,135, ± 21,022 и ± 25,011.

В математике гипотеза Римана - это гипотеза о том, что дзета-функция Римана имеет нули только при отрицательных четных целых числах и комплексных числах с действительной частью. 1/2. Многие считают это самой важной нерешенной проблемой чистой математики . Он представляет большой интерес в теории чисел, поскольку дает результаты о распределении простых чисел . Он был предложен Бернхардом Риманом  ( 1859 г. ), в честь которого назван.

Гипотеза Римана и некоторые ее обобщения, наряду с гипотезой Гольдбаха и близнец премьер - гипотезой , составляют восьмую проблему Гильберта в Дэвида Гильберта список «s из 23 нерешенных проблем ; это также одна из задач, присуждаемых Институтом математики Клэя Премией тысячелетия . Это имя также используется для некоторых близких аналогов, таких как гипотеза Римана для кривых над конечными полями .

Дзета-функция Римана ζ ( s ) - это функция , аргумент s которой может быть любым комплексным числом, кроме 1, и значения которой также являются комплексными. Он имеет нули при отрицательных четных числах; то есть ζ ( s ) = 0, когда s является одним из −2, −4, −6, .... Они называются его тривиальными нулями . Однако отрицательные четные целые числа - не единственные значения, для которых дзета-функция равна нулю. Остальные называются нетривиальными нулями . Гипотеза Римана касается расположения этих нетривиальных нулей и утверждает, что:

Действительная часть каждого нетривиального нуля дзета-функции Римана равна 1/2.

Таким образом, если гипотеза верна, все нетривиальные нули лежат на критической прямой, состоящей из комплексных чисел 1/2+ i t , где t - действительное число, а i - мнимая единица .

Дзета-функция Римана

Дзета - функция Римана определяются для комплексных й с реальной частью более чем 1 по абсолютно сходящимся бесконечным рядам

Леонард Эйлер уже рассматривал этот ряд в 1730-х годах для реальных значений s вместе со своим решением проблемы Базеля . Он также доказал, что он равен произведению Эйлера

где бесконечное произведение распространяется на все простые числа p .

Гипотеза Римана обсуждает нули вне области сходимости этого ряда и произведения Эйлера. Чтобы понять гипотезу, необходимо аналитически продолжить функцию, чтобы получить форму, которая действительна для всех комплексных s . Это допустимо, потому что дзета-функция мероморфна , поэтому ее аналитическое продолжение гарантированно будет уникальным, а функциональные формы эквивалентны по своей области . Начнем с того, что покажем, что дзета-функция и эта-функция Дирихле удовлетворяют соотношению

Но ряд справа сходится не только тогда, когда действительная часть s больше единицы, но и в более общем случае, когда s имеет положительную действительную часть. Таким образом, этот вариант серии расширяет дзета - функции от Re ( ы )> 1 к более широкой области Re ( ы )> 0 , исключая нули из которых является любой ненулевой целым числом (см функцию ETA Дирихле ). Дзета-функцию также можно расширить до этих значений, взяв пределы, задав конечное значение для всех значений s с положительной действительной частью, за исключением простого полюса при s  = 1.

В полосе 0 <Re ( s ) <1 дзета-функция удовлетворяет функциональному уравнению

Затем можно определить ζ ( s ) для всех оставшихся ненулевых комплексных чисел s ( Re ( s ) ≤ 0 и s ≠ 0), применив это уравнение вне полосы и положив ζ ( s ) равным правой части уравнения всякий раз, когда s имеет неположительную действительную часть (и s 0).

Если s - отрицательное четное целое число, то ζ ( s ) = 0, поскольку множитель sin (π s / 2) равен нулю; это тривиальные нули дзета-функции. (Если s - положительное четное целое число, этот аргумент не применяется, потому что нули синусоидальной функции отменяются полюсами гамма-функции, поскольку она принимает отрицательные целочисленные аргументы.)

Значение ζ (0) = −1/2 не определяется функциональным уравнением, но является предельным значением ζ ( s ), когда s приближается к нулю. Функциональное уравнение также подразумевает, что дзета-функция не имеет нулей с отрицательной действительной частью, кроме тривиальных нулей, поэтому все нетривиальные нули лежат в критической полосе, где s имеет действительную часть между 0 и 1.

Источник

... es ist sehr wahrscheinlich, dass alle Wurzeln reell sind. Hiervon wäre Allerdings ein strenger Beweis zu wünschen; ich habe indess die Aufsuchung desselben nach einigen flüchtigen vergeblichen Versuchen vorläufig bei Seite gelassen, da er für den nächsten Zweck meiner Untersuchung entbehrlich schien.

... очень вероятно, что все корни настоящие. Конечно, здесь хотелось бы получить строгое доказательство; Я на время, после нескольких мимолетных тщетных попыток, временно отложил поиски этого, поскольку это кажется ненужным для непосредственной цели моего расследования.

-  Утверждение Римана гипотезы Римана из ( Riemann 1859 ). (Он обсуждал версию дзета-функции, измененную так, чтобы ее корни (нули) были действительными, а не на критической линии.)

Первоначальной мотивацией Римана к изучению дзета-функции и ее нулей было их появление в его явной формуле для числа простых чисел π ( x ), меньших или равных данному числу x , которую он опубликовал в своей статье 1859 года « О числе простых чисел». Меньше заданной величины ». Его формула была дана в терминах связанной функции

который считает простые числа и степени простых чисел до x , считая степень простого числа p n как 1n . Количество простых чисел может быть восстановлено из этой функции с помощью формулы обращения Мёбиуса ,

где μ - функция Мёбиуса . Формула Римана тогда

где сумма берется по нетривиальным нулям дзета-функции и где Π 0 - слегка измененная версия, которая заменяет его значение в точках разрыва на среднее значение его верхнего и нижнего пределов:

Суммирование в формуле Римана не является абсолютно сходящимся, но может быть вычислено путем взятия нулей ρ в порядке абсолютного значения их мнимой части. Функция li, встречающаяся в первом члене, является (несмещенной) логарифмической интегральной функцией, заданной главным значением Коши расходящегося интеграла

Члены li ( x ρ ), включающие нули дзета-функции, требуют некоторой осторожности при их определении, поскольку li имеет точки ветвления в 0 и 1 и определяется (для x  > 1) аналитическим продолжением по комплексной переменной ρ в области Re ( ρ )> 0, т.е. их следует рассматривать как Ei ( ρ log x ) . Остальные члены также соответствуют нулям: доминирующий член li ( x ) исходит из полюса при s  = 1, рассматриваемого как нуль кратности -1, а остальные малые члены происходят из тривиальных нулей. Для некоторых графиков сумм первых нескольких членов этой серии см. Riesel & Göhl (1970) или Zagier (1977) .

Эта формула говорит, что нули дзета-функции Римана управляют колебаниями простых чисел вокруг их «ожидаемых» положений. Риман знал, что нетривиальные нули дзета-функции симметрично распределены относительно линии s = 1/2 + it , и он знал, что все ее нетривиальные нули должны лежать в диапазоне 0 ≤ Re ( s ) ≤ 1. . Он проверил , что некоторые из нулей лежат на критической прямой с вещественной частью 1/2 и предположил , что все они делают; это гипотеза Римана.

Результат поразил воображение большинства математиков, потому что он настолько неожиданный, что связывает две, казалось бы, не связанные друг с другом области математики; а именно теория чисел , которая изучает дискретный, и комплексный анализ , имеющий дело с непрерывными процессами. ( Бертон, 2006 г. , стр. 376).

Последствия

Практическое использование гипотезы Римана включает в себя множество утверждений, которые, как известно, истинны в рамках гипотезы Римана, и некоторые из них, которые можно показать как эквивалентные гипотезе Римана.

Распределение простых чисел

Явная формула Римана для количества простых чисел, меньших заданного числа в терминах суммы по нулям дзета-функции Римана, гласит, что величина колебаний простых чисел вокруг их ожидаемого положения контролируется действительными частями нулей дзета-функция. В частности, член ошибки в теореме о простых числах тесно связан с положением нулей. Например, если β - верхняя граница действительных частей нулей, то. Уже известно, что 1/2 ≤ β ≤ 1.

Фон Кох (1901) доказал, что гипотеза Римана дает «наилучшую возможную» оценку ошибки теоремы о простых числах. Точная версия результата Коха, принадлежащая Шенфельду (1976) , гласит, что гипотеза Римана подразумевает

где π ( x ) - функция подсчета простых чисел , а log ( x ) - натуральный логарифм числа x .

Schoenfeld (1976) также показал, что гипотеза Римана подразумевает

где ψ ( x ) - вторая функция Чебышева .

Дудек (2014) доказал, что из гипотезы Римана следует, что для всех существует простое число, удовлетворяющее

.

Это явная версия теоремы Крамера .

Рост арифметических функций

Гипотеза Римана подразумевает строгие ограничения на рост многих других арифметических функций в дополнение к функции подсчета простых чисел, описанной выше.

Один из примеров включает функцию Мёбиуса μ. Утверждение, что уравнение

справедливо для любого s с действительной частью больше 1/2, с суммой в правой части сходящейся, эквивалентно гипотезе Римана. Из этого мы также можем сделать вывод, что если функция Мертенса определяется как

затем утверждение, что

для любого положительного ε эквивалентно гипотезе Римана ( JE Littlewood , 1912; см., например: параграф 14.25 в Titchmarsh (1986) ). (Значение этих символов см. В обозначении Big O ). Определитель матрицы Редхеффера порядка n равен M ( n ), поэтому гипотеза Римана также может быть сформулирована как условие роста этих определителей. Гипотеза Римана довольно жестко ограничивает рост M , поскольку Odlyzko & te Riele (1985) опровергает немного более сильную гипотезу Мертенса.

Гипотеза Римана эквивалентна многим другим гипотезам о скорости роста других арифметических функций, помимо μ ( n ). Типичным примером является теорема Робина , которая утверждает, что если σ ( n ) - функция делителя , заданная формулой

тогда

для всех n > 5040 тогда и только тогда, когда гипотеза Римана верна, где γ - постоянная Эйлера – Маскерони .

Другой пример был найден Жеромом Франелем и расширен Ландау (см. Franel & Landau (1924) ). Гипотеза Римана эквивалентна нескольким утверждениям, показывающим, что члены последовательности Фарея довольно регулярны. Одна такая эквивалентность заключается в следующем: если F n - последовательность Фарея порядка n , начиная с 1 / n и до 1/1, то утверждение, что для всех ε> 0

эквивалентно гипотезе Римана. Здесь

- количество членов в последовательности Фарея порядка n .

В качестве примера из теории групп , если g ( n ) - функция Ландау, заданная максимальным порядком элементов симметрической группы S n степени n , то Massias, Nicolas & Robin (1988) показали, что гипотеза Римана эквивалентна гипотезе граница

для всех достаточно больших n .

Гипотеза Линделёфа и рост дзета-функции

Гипотеза Римана также имеет несколько более слабых следствий; одна из них - это гипотеза Линделёфа о скорости роста дзета-функции на критической прямой, которая гласит, что для любого ε > 0

как .

Гипотеза Римана также предполагает довольно точные ограничения на скорость роста дзета-функции в других областях критической полосы. Например, это означает, что

так что скорость роста ζ (1+ it ) и обратная ей величина будет известна с точностью до 2 раз.

Гипотеза о большом разрыве простых чисел

Теорема о простых числах означает, что в среднем разрыв между простым числом p и его последователем равен log  p . Однако некоторые промежутки между простыми числами могут быть намного больше среднего. Крамер доказал, что в предположении гипотезы Римана каждый пробел равен O ( p  log  p ). Это тот случай, когда даже лучшая оценка, которая может быть доказана с помощью гипотезы Римана, намного слабее, чем то, что кажется правдой: гипотеза Крамера подразумевает, что каждый пробел равен O ((log  p ) 2 ), что, хотя и больше, чем средний пробел , намного меньше, чем оценка, вытекающая из гипотезы Римана. Численные данные подтверждают гипотезу Крамера.

Аналитические критерии, эквивалентные гипотезе Римана

Было найдено множество утверждений, эквивалентных гипотезе Римана, хотя до сих пор ни одно из них не привело к значительному прогрессу в ее доказательстве (или опровержении). Вот некоторые типичные примеры. (В других используется функция делителей σ ( n ).)

Критерий Рисса был дан Риссом (1916) , о том , что оценка

выполняется для всех ε> 0 тогда и только тогда, когда выполняется гипотеза Римана.

Найман (1950) доказал, что гипотеза Римана верна тогда и только тогда, когда пространство функций вида

где ρ ( z ) - дробная часть z , 0 ≤ θ ν ≤ 1 , и

,

плотно в гильбертовом пространстве L 2 (0,1) квадратично интегрируемых функций на единичном интервале. Бёрлинг (1955) расширил это, показав, что дзета-функция не имеет нулей с вещественной частью больше 1 / p тогда и только тогда, когда это функциональное пространство плотно в L p (0,1).

Салем (1953) показал, что гипотеза Римана верна тогда и только тогда, когда интегральное уравнение

не имеет нетривиальных ограниченных решений для .

Критерий Вейля - это утверждение, что положительность некоторой функции эквивалентна гипотезе Римана. С этим связан критерий Ли , утверждение, что положительность определенной последовательности чисел эквивалентна гипотезе Римана.

Speiser (1934) доказал, что гипотеза Римана эквивалентна утверждению , что производная от не имеет нулей в полосе

Это имеет только простые нули на критической линии, что эквивалентно его производной, не имеющей нулей на критической прямой.

Последовательность Фарея обеспечивает две эквивалентности, благодаря Джерому Франелю и Эдмунду Ландау в 1924 году.

Постоянная Де Брёйна – Ньюмана, обозначенная Λ и названная в честь Николааса Говера де Брёйна и Чарльза М. Ньюмана , определяется через нули функции

,

который использует действительный параметр λ , комплексную переменную z и суперэкспоненциально убывающую функцию, определяемую как

.

Поскольку гипотеза Римана эквивалентна утверждению, что все нули H (0,  z ) действительны, гипотеза Римана эквивалентна гипотезе о том, что . Брэд Роджерс и Теренс Тао обнаружили эквивалентность , доказав, что ноль является нижней границей константы. Доказательство нуля также является верхней границей, поэтому гипотеза Римана доказана. По состоянию на апрель 2020 года верхняя граница составляет .

Последствия обобщенной гипотезы Римана

Некоторые приложения используют обобщенную гипотезу Римана для L-рядов Дирихле или дзета-функции числовых полей, а не только гипотезу Римана. Многие основные свойства дзета-функции Римана можно легко обобщить на все L-ряды Дирихле, поэтому вполне вероятно, что метод, доказывающий гипотезу Римана для дзета-функции Римана, также будет работать для обобщенной гипотезы Римана для L-функций Дирихле. Некоторые результаты, впервые доказанные с использованием обобщенной гипотезы Римана, позже получили безусловные доказательства без ее использования, хотя обычно это было намного сложнее. Многие последствия в следующем списке взяты из работы Конрада (2010) .

  • В 1913 году Гренвалл показал, что обобщенная гипотеза Римана означает, что список мнимых квадратичных полей Гаусса с классом номер 1 является полным, хотя Бейкер, Штарк и Хегнер позже дали безусловные доказательства этого, не используя обобщенную гипотезу Римана.
  • В 1917 году Харди и Литтлвуд показали, что из обобщенной гипотезы Римана следует гипотеза Чебышева о том, что
который говорит, что простые числа 3 по модулю 4 в некотором смысле более распространены, чем простые числа 1 по модулю 4. (Соответствующие результаты см. В теореме о простых числах § Гонка простых чисел .)
  • В 1923 году Харди и Литтлвуд показали, что обобщенная гипотеза Римана влечет слабую форму гипотезы Гольдбаха для нечетных чисел: каждое достаточно большое нечетное число является суммой трех простых чисел, хотя в 1937 году Виноградов дал безусловное доказательство. В 1997 году Дешуиллер , Эффингер, Те Риле и Зиновьев показали, что обобщенная гипотеза Римана подразумевает, что каждое нечетное число больше 5 является суммой трех простых чисел. В 2013 году Харальд Хельфготт доказал тройную гипотезу Гольдбаха без зависимости GRH с помощью некоторых обширных вычислений, выполненных с помощью Дэвида Дж. Платта.
  • В 1934 году Чоула показал , что обобщенная гипотеза Римана следует , что первое простое в арифметической прогрессии мод м составляет не более Km 2 журнала ( м ) 2 для некоторого фиксированного постоянной K .
  • В 1967 году Хули показал, что обобщенная гипотеза Римана влечет за собой гипотезу Артина о примитивных корнях .
  • В 1973 году Вайнбергер показал, что обобщенная гипотеза Римана означает, что список идонеальных чисел Эйлера полон.
  • Вайнбергер (1973) показал, что обобщенная гипотеза Римана для дзета-функций всех полей алгебраических чисел подразумевает, что любое числовое поле с номером класса 1 является либо евклидовым, либо полем мнимых квадратичных чисел дискриминанта −19, −43, −67 или - 163.
  • В 1976 г. Г. Миллер показал, что обобщенная гипотеза Римана подразумевает, что можно проверить, является ли число простым за полиномиальное время, с помощью теста Миллера . В 2002 году Маниндра Агравал, Нирадж Каял и Нитин Саксена безоговорочно доказали этот результат с помощью теста простоты AKS .
  • Одлызко (1990) обсуждал, как обобщенную гипотезу Римана можно использовать для получения более точных оценок дискриминантов и числа классов числовых полей.
  • Оно и Соундарараджан (1997) показали, что обобщенная гипотеза Римана подразумевает, что интегральная квадратичная форма Рамануджана x 2 + y 2 + 10 z 2 представляет все целые числа, которые она представляет локально, за ровно 18 исключений.

Исключенный средний

Некоторые следствия RH также являются следствиями его отрицания и, таким образом, являются теоремами. В своем обсуждении теоремы Гекке, Дойринга, Морделла, Хейльбронна , Ireland и Rosen (1990 , стр. 359) говорят:

Метод доказательства здесь поистине потрясающий. Если обобщенная гипотеза Римана верна, то теорема верна. Если обобщенная гипотеза Римана неверна, то теорема верна. Таким образом, теорема верна !! (пунктуация в оригинале)

Следует позаботиться о том, чтобы понять, что имеется в виду, когда говорят, что обобщенная гипотеза Римана ложна: следует точно указать, какой класс рядов Дирихле имеет контрпример.

Теорема Литтлвуда

Это касается знака ошибки в теореме о простых числах . Было вычислено, что π ( x ) <li ( x ) для всех x ≤ 10 25 (см. Эту таблицу ), и неизвестно значение x, для которого π ( x )> li ( x ).

В 1914 году Литтлвуд доказал, что существуют сколь угодно большие значения x, для которых

и что существуют также сколь угодно большие значения x, для которых

Таким образом, разность π ( x ) - li ( x ) меняет знак бесконечно много раз. Число Скьюза - это оценка значения x, соответствующего первой смене знака.

Доказательство Литтлвуда делится на два случая: RH считается ложным (около половины страницы Ingham 1932 , Chapt. V), и RH считается истинным (около дюжины страниц). Станислав Кнаповский ( 1962 ) продолжил это статьей о том, сколько раз меняет знак в интервале .

Гипотеза числа классов Гаусса

Это гипотеза (впервые сформулированная в статье 303 « Disquisitiones Arithmeticae» Гаусса ) о том, что существует только конечное число мнимых квадратичных полей с заданным номером класса. Один из способов доказать это - показать, что как дискриминант D → −∞ число классов h ( D ) → ∞.

Следующая последовательность теорем, включающих гипотезу Римана, описана в Ireland & Rosen 1990 , pp. 358–361:

Теорема (Гекке; 1918). Пусть D <0 дискриминант мнимого квадратичного числового поля K . Предположим обобщенную гипотезу Римана для L- функций всех мнимых квадратичных характеров Дирихле. Тогда существует абсолютная постоянная C такая, что

Теорема (Дойринг; 1933). Если RH ложно, то h ( D )> 1, если | D | достаточно большой.

Теорема (Морделл; 1934). Если RH ложно, то h ( D ) → ∞ при D → −∞.

Теорема (Хайльбронн; 1934). Если обобщенная RH неверна для L- функции некоторого мнимого квадратичного характера Дирихле, то h ( D ) → ∞ при D → −∞.

(В работе Гекке и Хейльбронна единственные L- функции, которые имеют место, связаны с воображаемыми квадратичными символами, и только для этих L- функций GRH истинна или GRH ложна ; предполагается, что GRH неверна. L -функция кубического характера Дирихле, строго говоря, означала бы ложность GRH, но Хайльбронн имел в виду не такой отказ GRH, поэтому его предположение было более ограниченным, чем просто ложность GRH) .

В 1935 году Карл Сигель позже усилил результат, никоим образом не используя RH или GRH.

Рост тотента Эйлера

В 1983 году JL Nicolas доказал, что

для бесконечного числа n , где φ ( n ) - функция Эйлера, а γ - постоянная Эйлера . Рибенбойм отмечает, что: «Метод доказательства интересен тем, что неравенство показано, во-первых, в предположении, что гипотеза Римана верна, а во-вторых, в противоположном предположении».

Обобщения и аналоги

L-серия Дирихле и другие числовые поля

Гипотезу Римана можно обобщить, заменив дзета-функцию Римана формально похожими, но гораздо более общими глобальными L-функциями . В этом более широком контексте ожидается, что нетривиальные нули глобальных L- функций будут иметь действительную часть 1/2. Именно эти гипотезы, а не классическая гипотеза Римана только для единственной дзета-функции Римана, объясняют истинную важность гипотезы Римана в математике.

Обобщенная гипотеза Римана расширяет гипотезы Римана для всех L-функций Дирихле . В частности, отсюда следует гипотеза о том, что нулей Зигеля (нулей L -функций между 1/2 и 1) не существует.

Расширенная гипотеза Римана расширяет гипотезу Римана для всех дедекиндовыми дзета - функции из полей алгебраических чисел . Расширенная гипотеза Римана для абелевого расширения рациональных чисел эквивалентна обобщенной гипотезе Римана. Гипотеза Римана также может быть распространена на L -функции характеров Гекке числовых полей.

Гранд гипотеза Римана распространяет его на все автоморфную дзете - функции , такие как Меллин от Гекка собственных форм .

Функциональные поля и дзета-функции многообразий над конечными полями

Артин (1924) ввел глобальные дзета-функции (квадратичных) функциональных полей и предположил для них аналог гипотезы Римана, который был доказан Хассе в случае рода 1 и Вейлем (1948) в целом. Например, тот факт, что сумма Гаусса квадратичного характера конечного поля размера q (с нечетным q ) имеет абсолютное значение, на самом деле является примером гипотезы Римана в настройке функционального поля. Это привело Вейля (1949) к гипотезе о подобном утверждении для всех алгебраических многообразий ; полученные в результате гипотезы Вейля были доказаны Пьером Делинем  ( 1974 , 1980 ).

Арифметические дзета-функции арифметических схем и их L-факторы

Арифметические дзета-функции обобщают дзета-функции Римана и Дедекинда, а также дзета-функции многообразий над конечными полями на любую арифметическую схему или схему конечного типа над целыми числами. Арифметическая дзета-функция регулярной связной равноразмерной арифметической схемы размерности Кронекера n может быть разложена на произведение правильно определенных L-факторов и вспомогательного фактора Жан-Пьер Серр  ( 1969–1970 ). Предполагая функциональное уравнение и мероморфное продолжение, обобщенная гипотеза Римана для L-фактора утверждает, что его нули внутри критической полосы лежат на центральной линии. Соответственно, обобщенная гипотеза Римана для арифметической дзета-функции регулярной связной равноразмерной арифметической схемы утверждает, что ее нули внутри критической полосы лежат на вертикальных прямых, а ее полюса внутри критической полосы лежат на вертикальных прямых . Это известно для схем с положительной характеристикой и следует из Пьера Делиня  ( 1974 , 1980 ), но остается совершенно неизвестным для нулевой характеристики.

Дзета-функции Сельберга

Сельберг (1956) ввел дзета-функцию Сельберга римановой поверхности. Они похожи на дзета-функцию Римана: у них есть функциональное уравнение и бесконечное произведение, подобное произведению Эйлера, но взятое по замкнутым геодезическим, а не по простым числам. Формула следа Сельберга является аналогом этих функций явных формул теории простых чисел. Сельберг доказал, что дзета-функции Сельберга удовлетворяют аналогу гипотезы Римана с мнимыми частями их нулей, связанными с собственными значениями оператора Лапласа на римановой поверхности.

Ихара дзета-функции

Дзета - функция Ихары конечного графа является аналогом дзета - функции Сельберга , который впервые был введен Yasutaka Ихарой в контексте дискретных подгрупп р-адическом специальной линейной группы два на два. Регулярный конечный граф является графом Рамануджана , математической моделью эффективных сетей связи, тогда и только тогда, когда его дзета-функция Ихара удовлетворяет аналогу гипотезы Римана, как было указано Т. Сунада .

Гипотеза парной корреляции Монтгомери

Монтгомери (1973) предложил гипотезу о парной корреляции , согласно которой корреляционные функции (подходящим образом нормированных) нулей дзета-функции должны быть такими же, как и собственные значения случайной эрмитовой матрицы . Одлызко (1987) показал, что это подтверждается крупномасштабными численными расчетами этих корреляционных функций.

Монтгомери показал, что (исходя из гипотезы Римана) по крайней мере 2/3 всех нулей являются простыми, и связанная с этим гипотеза состоит в том, что все нули дзета-функции просты (или, в более общем случае, не имеют нетривиальных целочисленных линейных отношений между их мнимыми частями. ). Дзета-функции Дедекинда полей алгебраических чисел, которые обобщают дзета-функцию Римана, часто действительно имеют несколько комплексных нулей. Это связано с тем, что дзета-функции Дедекинда разлагаются на множители как произведение степеней L-функций Артина , поэтому нули L-функций Артина иногда приводят к множественным нулям дзета-функций Дедекинда. Другими примерами дзета-функций с несколькими нулями являются L-функции некоторых эллиптических кривых : они могут иметь несколько нулей в действительной точке их критической линии; гипотеза березово-Swinnerton-Дайер предсказывает , что кратность этого нуля ранг эллиптической кривой.

Другие дзета-функции

Есть много других примеров дзета-функций с аналогами гипотезы Римана, некоторые из которых были доказаны. Дзета-функции Госса функциональных полей имеют гипотезу Римана, доказанную Шетсом (1998) . Основная гипотеза о теории Ивасавов , доказанная Барри Мазур и Эндрю Уайлс для круговых полех и Уайлс для вполне вещественных полей , определены нули в р -адического L -функции с собственными значениями оператора, поэтому можно рассматривать как аналог гипотезы Гильберта – Полиа для p -адических L- функций .

Попытки доказательства

Несколько математиков обратились к гипотезе Римана, но ни одна из их попыток еще не была принята в качестве доказательства. Watkins (2007) перечисляет некоторые неправильные решения.

Теория операторов

Гильберт и Полиа предположили, что один из способов вывести гипотезу Римана - это найти самосопряженный оператор , из существования которого следует утверждение о действительных частях нулей ζ ( s ), если применить критерий для действительных собственные значения . Некоторая поддержка этой идеи исходит из нескольких аналогов дзета-функций Римана, нули которых соответствуют собственным значениям некоторого оператора: нули дзета-функции многообразия над конечным полем соответствуют собственным значениям элемента Фробениуса на группе этальных когомологий, т.е. нули дзета-функции Сельберга являются собственными значениями лапласовского оператора римановой поверхности, а нули p-адической дзета-функции соответствуют собственным векторам действия Галуа на идеальных группах классов .

Одлызко (1987) показал, что распределение нулей дзета-функции Римана обладает некоторыми статистическими свойствами с собственными значениями случайных матриц, взятых из гауссовского унитарного ансамбля . Это дает некоторую поддержку гипотезе Гильберта – Полиа .

В 1999 году Майкл Берри и Джонатан Китинг предположили, что существует какое-то неизвестное квантование классического гамильтониана H = xp, так что

и тем более что нули Римана совпадают со спектром оператора . Это контрастирует с каноническим квантованием , которое приводит к принципу неопределенности Гейзенберга и натуральным числам как спектру квантового гармонического осциллятора . Ключевым моментом является то, что гамильтониан должен быть самосопряженным оператором, чтобы квантование было реализацией программы Гильберта – Полиа. В связи с этой квантово-механической проблемой Берри и Конн предположили, что обратная величина потенциала гамильтониана связана с полупроизводной функции
то в подходе Берри – Конна
Это дает гамильтониан, собственные значения которого представляют собой квадрат мнимой части нулей Римана, а также то, что функциональный определитель этого гамильтонова оператора является просто функцией Римана Xi . Фактически функция Римана Кси будет пропорциональна функциональному определителю ( произведению Адамара ).
как было доказано Конном и другими, в этом подходе

Аналогия с гипотезой Римана над конечными полями предполагает , что пространство , содержащие собственные векторы Гильберта , соответствующие нулям могут быть каким - то первая группа когомологий из спектра Spec ( Z ) целых чисел. Денингер (1998) описал некоторые попытки найти такую ​​теорию когомологий.

Загьер (1981) построил естественное пространство инвариантных функций на верхней полуплоскости, которое имеет собственные значения относительно оператора Лапласа, соответствующие нулям дзета-функции Римана, и заметил, что в маловероятном случае можно было бы показать существование подходящего положительного определенный внутренний продукт на этом пространстве, следовала бы гипотеза Римана. Картье (1982) обсуждал связанный пример, где из-за причудливой ошибки компьютерная программа перечисляла нули дзета-функции Римана как собственные значения того же оператора Лапласа .

Schumayer & Hutchinson (2011) рассмотрели некоторые попытки построить подходящую физическую модель, связанную с дзета-функцией Римана.

Теорема Ли – Янга

Теорема Ли – Янга утверждает, что все нули некоторых статистических сумм в статистической механике лежат на «критической линии», причем их действительная часть равна 0, и это привело к некоторым предположениям о связи с гипотезой Римана.

Результат Турана

Пал Туран  ( 1948 ) показал, что если функции

не иметь нулей, когда действительная часть s больше единицы, тогда
где λ ( n ) - функция Лиувилля, заданная формулой (−1) r, если n имеет r простых множителей. Он показал, что это, в свою очередь, будет означать, что гипотеза Римана верна. Но Haselgrove (1958) доказал, что T ( x ) отрицателен для бесконечного числа x (а также опроверг тесно связанную гипотезу Полиа ), а Borwein, Ferguson & Mossinghoff (2008) показали, что наименьшее из таких x равно 72 185 376 951 205 . Спира (1968) с помощью численных расчетов показал, что приведенный выше конечный ряд Дирихле для N = 19 имеет ноль с действительной частью больше 1. Туран также показал, что несколько более слабое предположение, отсутствие нулей с действительной частью больше 1+ N - 1/2 + ε для больших N в конечном ряду Дирихле, приведенном выше, также будет подразумевать гипотезу Римана, но Монтгомери (1983) показал, что для всех достаточно больших N эти ряды имеют нули с действительной частью больше 1 + (log log N ) / (4 log N ) . Следовательно, результат Турана бессмысленно верен и не может помочь доказать гипотезу Римана.

Некоммутативная геометрия

Коннес  ( 1999 , 2000 ) описал взаимосвязь между гипотезой Римана и некоммутативной геометрией и показал, что подходящий аналог формулы следа Сельберга для действия группы классов idèle на пространстве классов adèle будет подразумевать гипотезу Римана. Некоторые из этих идей развиты в Lapidus (2008) .

Гильбертовы пространства целых функций

Луи де Бранж  ( 1992 ) показал , что гипотеза Римана будет следовать из условия положительности на некоторое гильбертово пространство из целых функций . Однако Конри и Ли (2000) показали, что необходимые условия положительности не выполняются. Несмотря на это препятствие, де Бранж продолжал работать над попыткой доказательства гипотезы Римана в том же направлении, но это не было широко принято другими математиками.

Квазикристаллы

Гипотеза Римана подразумевает, что нули дзета-функции образуют квазикристалл , распределение с дискретным носителем, преобразование Фурье которого также имеет дискретный носитель. Дайсон (2009) предложил попытаться доказать гипотезу Римана путем классификации или, по крайней мере, изучения одномерных квазикристаллов.

Арифметические дзета-функции моделей эллиптических кривых над числовыми полями

Когда кто-то переходит от геометрического измерения один, например, поля алгебраических чисел , к геометрическому измерению два, например, к регулярной модели эллиптической кривой над числовым полем, двумерная часть обобщенной гипотезы Римана для арифметической дзета-функции модели имеет дело с полюсами дзета-функции. В измерении один изучение дзета-интеграла в тезисе Тейта не приводит к новой важной информации о гипотезе Римана. В отличие от этого, работа Ивана Фесенко по двумерному обобщению тезиса Тейта в двух измерениях включает интегральное представление дзета-интеграла, тесно связанного с дзета-функцией. В этой новой ситуации, невозможной в размерности один, полюса дзета-функции можно изучать с помощью дзета-интеграла и связанных групп аделей. Связанная с этим гипотеза Фесенко  ( 2010 ) о положительности четвертой производной граничной функции, связанной с дзета-интегралом, по существу подразумевает полюсную часть обобщенной гипотезы Римана. Судзуки ( 2011 ) доказал, что последнее, вместе с некоторыми техническими предположениями, следует из гипотезы Фесенко.

Множественные дзета-функции

Доказательство Делиня гипотезы Римана над конечными полями использовало дзета-функции многообразий произведений, чьи нули и полюсы соответствуют суммам нулей и полюсов исходной дзета-функции, чтобы ограничить действительные части нулей исходной дзета-функции. По аналогии Курокава (1992) ввел несколько дзета-функций, нули и полюсы которых соответствуют суммам нулей и полюсов дзета-функции Римана. Чтобы ряды сходились, он ограничился суммой нулей или полюсов с неотрицательной мнимой частью. Пока что известные оценки нулей и полюсов множественных дзета-функций недостаточно сильны, чтобы дать полезные оценки нулей дзета-функции Римана.

Расположение нулей

Количество нулей

Функциональное уравнение в сочетании с принципом аргумента подразумевает, что количество нулей дзета-функции с мнимой частью между 0 и T определяется выражением

для ы = 1/2 + I T , где аргумент определяется путем изменения его непрерывно вдоль линии с Im ( ами ) = T , начиная с аргументом 0 при ∞ + I T . Это сумма большого, но хорошо понятного термина

и небольшой, но довольно загадочный термин

Таким образом, плотность нулей с мнимой частью около T составляет примерно log ( T ) / 2π, а функция S описывает небольшие отклонения от этого значения. Функция S ( t ) перескакивает на 1 в каждом нуле дзета-функции, а при t ≥ 8 она монотонно убывает между нулями с производной, близкой к −log t .

Trudgian (2014) доказал, что если , то

.

Карацуба (1996) доказал, что каждый интервал ( T , T + H ] для содержит не менее

точки, в которых функция S ( t ) меняет знак.

Сельберг (1946) показал, что средние моменты четных степеней S равны

Это предполагает, что S ( T ) / (log log T ) 1/2 напоминает гауссовскую случайную величину со средним 0 и дисперсией 2π 2 ( Ghosh (1983) доказал этот факт). В частности | S ( T ) | обычно где-то около (log log T ) 1/2 , но иногда намного больше. Точный порядок роста S ( T ) неизвестен. Не было безусловного улучшения исходной оценки Римана S ( T ) = O (log T ), хотя гипотеза Римана подразумевает немного меньшую оценку S ( T ) = O (log T / log log T ). Истинный порядок величины может быть несколько меньше этого, поскольку случайные функции с тем же распределением, что и S ( T ), имеют тенденцию к росту порядка примерно log ( T ) 1/2 . С другой стороны, он не может быть слишком маленьким: Сельберг (1946) показал, что S ( T ) ≠ o ((log T ) 1/3 / (log log T ) 7/3 ) , и, допуская гипотезу Римана, Монтгомери показал, что S ( T ) ≠ o ((log T ) 1/2 / (log log T ) 1/2 ) .

Численные расчеты подтверждают, что S растет очень медленно: | S ( T ) | <1 для T <280 , | S ( T ) | <2 для T  <  6 800 000 , и наибольшее значение | S ( T ) | найдено пока не намного больше 3.

Оценка Римана S ( T ) = O (log T ) подразумевает, что промежутки между нулями ограничены, и Литтлвуд немного улучшил это, показывая, что промежутки между их мнимыми частями стремятся к 0.

Теорема Адамара и де ла Валле-Пуссена

Адамар (1896 г.) и де ла Валле-Пуссен (1896 г.) независимо друг от друга доказали, что никакие нули не могут лежать на прямой Re ( s ) = 1. Вместе с функциональным уравнением и тем фактом, что нет нулей с действительной частью больше 1, это показало, что все нетривиальные нули должны лежать внутри критической полосы 0 <Re ( s ) <1 . Это был ключевой шаг в их первых доказательствах теоремы о простых числах .

Оба первоначальных доказательства того, что дзета-функция не имеет нулей с действительной частью 1, аналогичны и зависят от доказательства того, что если ζ (1+ it ) обращается в нуль, то ζ (1 + 2 it ) является сингулярным, что невозможно. Один из способов сделать это - использовать неравенство

для σ> 1, t вещественных, и глядя на предел при σ → 1. Это неравенство следует, взяв действительную часть журнала произведения Эйлера, чтобы увидеть, что

где сумма берется по всем степеням простых чисел p n , так что

что не меньше 1, потому что все слагаемые в сумме положительны из-за неравенства

Нулевые регионы

Де ла Валле-Пуссен (1899–1900) доказал, что если σ + i t является нулем дзета-функции Римана, то 1 - σ ≥C/журнал ( т )для некоторых положительных постоянная С . Другими словами, нули не могут быть слишком близко к линии σ = 1: рядом с этой линией есть область без нулей. Эта область без нулей была расширена несколькими авторами с использованием таких методов, как теорема Виноградова о среднем значении . Форд (2002) дал версию с явными числовыми константами: ζ (σ + i t  ) ≠ 0 всякий раз, когда | т  | ≥ 3 и

В 2015 году Моссингхофф и Трудгиан доказали, что дзета не имеет нулей в этом регионе.

для | т | ≥ 2 . Это самая большая из известных областей без нулей в критической полосе для .

Нули на критической линии

Харди (1914) и Харди и Литтлвуд (1921) показали бесконечно много нулей на критической прямой, рассматривая моменты некоторых функций, связанных с дзета-функцией. Сельберг (1942) доказал, что по крайней мере (небольшая) положительная доля нулей лежит на прямой. Левинсон (1974) улучшил это до одной трети нулей, связав нули дзета-функции с нулями ее производной, а Конри (1989) улучшил это еще до двух пятых.

Большинство нулей находится вблизи критической линии. Точнее, Бор и Ландау (1914) показали, что для любого положительного ε количество нулей с действительной частью не менее 1/2 + ε и мнимой частью между -T и T равно . В сочетании с тем фактом, что нули на критической полосе симметричны относительно критической линии и что общее количество нулей в критической полосе равно ,

почти все нетривиальные нули находятся в пределах расстояния ε от критической линии. Ивич (1985) дает несколько более точных версий этого результата, называемых оценками нулевой плотности , которые ограничивают количество нулей в областях с мнимой частью не более T и действительной частью не менее 1/2 + ε.

Гипотезы Харди – Литтлвуда

В 1914 году Годфри Гарольд Харди доказал, что у него бесконечно много действительных нулей.

Следующие две гипотез о Hardy и Литлвуде на расстоянии между вещественными нулями и о плотности нулей на интервале при достаточно большой , а также и с как можно меньшим значением , где есть сколь угодно малое число, открытая два новые направления в исследовании дзета-функции Римана:

1. Для любого существует нижняя граница такая, что при и интервал содержит нуль нечетного порядка функции .

Пусть будет общее количество действительных нулей, и будет общее количество нулей нечетного порядка функции, лежащей на интервале .

2. Для любого существуют и такие, что для и выполняется неравенство .

Гипотеза о дзета-функции Сельберга

Атле Сельберг  ( 1942 ) исследовал проблему Харди – Литтлвуда 2 и доказал, что для любого ε> 0 существует такое и

c = c (ε)> 0, такое, что для и выполняется неравенство . Сельберг предположил, что это можно затянуть . А.А. Карацуба  ( 1984a , 1984b , 1985 ) доказал, что для фиксированного ε, удовлетворяющего условию 0 <ε <0.001, достаточно больших T и , интервал ( T , T + H ) содержит не менее cH log ( T ) действительных нулей о дзета - функция Римана и , следовательно , подтвердили гипотезу Сельберга. Оценки Сельберга и Карацубы не могут быть улучшены в отношении порядка роста при T → ∞.

Карацуба (1992) доказал, что аналог гипотезы Сельберга верен для почти всех интервалов ( T , T + H ] , где ε - произвольно малое фиксированное положительное число. Метод Карацубы позволяет исследовать нули дзета-функции Римана на " сверхкороткие »интервалы критической прямой, то есть на отрезках (

T , T + H ], длина H которых растет медленнее любой, даже сколь угодно малой степени T. В частности, он доказал, что для любых заданных чисел ε, удовлетворяющие условиям, при которых почти все интервалы ( T , T + H ] содержат хотя бы нули функции, эта оценка довольно близка к той, которая следует из гипотезы Римана.

Численные расчеты

Абсолютное значение ζ-функции

Функция

имеет те же нули, что и дзета-функция в критической полосе, и действительна на критической прямой из-за функционального уравнения, поэтому можно доказать существование нулей точно на действительной прямой между двумя точками, проверяя численно, что функция имеет противоположное знаки в этих точках. Обычно пишут

где Z-функция Харди и тета-функция Римана – Зигеля θ однозначно определяются этим и условием, что они являются гладкими вещественными функциями с θ (0) = 0. Найдя много интервалов, где функция Z меняет знак, можно показать, что на критической прямой много нулей. Чтобы проверить гипотезу Римана с точностью до заданной мнимой части T нулей, нужно также проверить, нет ли других нулей за линией в этой области. Это можно сделать, вычислив общее количество нулей в области с помощью метода Тьюринга и проверив, что оно совпадает с количеством нулей, найденных в строке. Это позволяет проверить гипотезу Римана с помощью вычислений до любого желаемого значения T (при условии, что все нули дзета-функции в этой области простые и находятся на критической прямой).

Некоторые вычисления нулей дзета-функции перечислены ниже, где «высота» нуля - это величина его мнимой части, а высота n- го нуля обозначается γ n . Пока все нули, которые были проверены, находятся на критической линии и просты. (Множественный ноль вызовет проблемы для алгоритмов поиска нуля, которые зависят от нахождения изменений знака между нулями.) Таблицы нулей см. В Haselgrove & Miller (1960) или Odlyzko .

Год Количество нулей Автор
1859 г.? 3 Б. Риман использовал формулу Римана – Зигеля (не опубликована, но сообщена в Siegel 1932 ).
1903 г. 15 JP Gram (1903) использовал суммирование Эйлера – Маклорена и открыл закон Грама . Он показал, что все 10 нулей с мнимой частью, не превышающей 50, лежат на критической прямой с действительной частью 1/2, вычислив сумму обратных 10-х степеней корней, которые он нашел.
1914 г. 79 (γ n ≤ 200) Р. Дж. Баклунд (1914) представил лучший метод проверки того, что все нули до этого момента находятся на линии, путем изучения аргумента S ( T ) дзета-функции.
1925 г. 138 (γ n ≤ 300) Дж. И. Хатчинсон (1925) обнаружил первое нарушение закона Грама в точке Грама g 126 .
1935 г. 195 EC Titchmarsh (1935) использовал недавно переоткрытую формулу Римана – Зигеля , которая намного быстрее суммирования Эйлера – Маклорена. Она занимает около O ( T 3/2 + ε ) шаги , чтобы проверить нули с мнимой части меньше , чем Т , в то время как метод Эйлера-Маклорена занимает около O ( T 2 + е ) шагов.
1936 г. 1041 EC Titchmarsh (1936) и LJ Comrie были последними, кто нашел нули вручную.
1953 г. 1104 А.М. Тьюринг (1953) нашел более эффективный способ проверить, что все нули до некоторой точки учитываются нулями на линии, проверив, что Z имеет правильный знак в нескольких последовательных точках Грама, и используя тот факт, что S ( T ) имеет среднее значение 0. Это почти не требует дополнительной работы, потому что знак Z в точках Грама уже известен по нахождению нулей, и все еще используется обычный метод. Это было первое использование цифрового компьютера для вычисления нулей.
1956 г. 15 000 Д.Х. Лемер (1956) обнаружил несколько случаев, когда у дзета-функции есть нули, которые «только» находятся на линии: два нуля дзета-функции расположены так близко друг к другу, что необычно трудно найти изменение знака между ними. Это называется «феноменом Лемера», и сначала происходит в нулях с мнимыми частями 7005.063 и 7005.101, которые отличаются только на 0,04, в то время как средний зазор между другими нулями около этой точки составляет около 1.
1956 г. 25 000 Д.Х. Лемер
1958 г. 35 337 Н. А. Меллер
1966 г. 250 000 RS Lehman
1968 г. 3 500 000 Россер, Йохе и Шенфельд (1969) сформулировали правило Россера (описанное ниже).
1977 г. 40 000 000 RP Brent
1979 г. 81 000 001 RP Brent
1982 г. 200 000 001 RP Brent, J. van de Lune , HJJ te Riele , DT Winter
1983 г. 300 000 001 Й. ван де Лун, HJJ te Riele
1986 г. 1 500 000 001 van de Lune, te Riele & Winter (1986) дали некоторые статистические данные о нулях и дали несколько графиков Z в местах, где он ведет себя необычно.
1987 г. Несколько большой (~ 10 12 ) высоты AM Odlyzko ( 1987 ) вычислил меньшее количество нулей гораздо большей высоты, около 10 12 , с высокой точностью, чтобы проверить гипотезу парной корреляции Монтгомери .
1992 г. Несколько большой (~ 10 20 ) высоты AM Odlyzko ( 1992 ) вычислил 175 миллионов нулей высот около 10 20 и еще несколько высот около 2 × 10 20 , и дал подробное обсуждение результатов.
1998 г. 10000 большой (~ 10 21 ) высоты А.М. Одлызко ( 1998 ) вычислил некоторые нули высоты около 10 21
2001 г. 10 000 000 000 Дж. Ван де Лун (не опубликовано)
2004 г. ~ 900 000 000 000 С. Веденивски ( распределенные вычисления ZetaGrid )
2004 г. 10 000 000 000 000 и несколько больших (до ~ 10 24 ) высот X. Gourdon (2004) и Патрик Демишель использовали алгоритм Одлизко – Шёнхаге . Они также проверили два миллиарда нулей около высот 10 13 , 10 14 , ..., 10 24 .
2020 г. 12 363 153 437 138 до высоты 3 000 175 332 800 Платт и Трудгиан (2021 г.) .

Они также подтвердили работу Гурдона (2004) и других.

Грамм

Точка Грама - это точка на критической прямой 1/2 +  it, где дзета-функция действительна и не равна нулю. Используя выражение для дзета-функции на критической прямой, ζ (1/2 +  it ) = Z ( t ) e  -  i θ ( t ) , где функция Харди, Z , действительна при вещественном t , а θ - риманова –Тета-функция Зигеля , мы видим, что дзета действительна, когда sin (θ ( t )) = 0. Это означает, что θ ( t ) является целым числом, кратным π, что позволяет довольно легко вычислить местоположение точек Грама с помощью обращение формулы для θ. Обычно они нумеруются как g n для n = 0, 1, ..., где g n - единственное решение θ ( t ) = n π.

Грам заметил, что часто между любыми двумя точками Грама находился ровно один ноль дзета-функции; Хатчинсон назвал это наблюдение законом Грама . Есть несколько других тесно связанных утверждений, которые также иногда называют законом Грама: например, (−1) n Z ( g n ) обычно положительно, или Z ( t ) обычно имеет противоположный знак в последовательных точках Грама. Мнимые части γ n первых нескольких нулей (синим цветом) и первых нескольких точек Грама g n приведены в следующей таблице.

г −1 γ 1 г 0 γ 2 г 1 γ 3 г 2 γ 4 г 3 γ 5 г 4 γ 6 г 5
0 3,436 9,667 14,135 17,846 21,022 23,170 25,011 27,670 30,425 31,718 32,935 35,467 37 586 38,999
Это полярный график первых 20 нетривиальных нулей дзета-функции Римана (включая точки Грама ) вдоль критической линии для реальных значений от 0 до 50. Последовательно помеченные нули имеют 50 красных точек между каждым, с идентифицированными нулями. концентрическими пурпурными кольцами, масштабируемыми для отображения относительного расстояния между их значениями t. Закон Грама гласит, что кривая обычно пересекает действительную ось один раз между нулями.

Первое нарушение закона Грама происходит при 127-м нуле и точке Грама g 126 , которые расположены в «неправильном» порядке.

г 124 γ 126 г 125 г 126 γ 127 γ 128 г 127 γ 129 г 128
279,148 279 229 280,802 282,455 282,465 283,211 284,104 284 836 285,752

Точка Грама t называется хорошей, если дзета-функция положительна при 1/2 + it . Индексы «плохих» точек Грама, где Z имеет «неправильный» знак, равны 126, 134, 195, 211, ... (последовательность A114856 в OEIS ). Блок Грама - это интервал, ограниченный двумя хорошими точками Грама, так что все точки Грама между ними плохие. Уточнение закона Грама, названное правилом Россера из-за Россера, Йохе и Шенфельда (1969), гласит, что блоки Грама часто имеют в себе ожидаемое количество нулей (такое же, как количество интервалов Грама), даже если некоторые из отдельных интервалов Грама в блоке может не быть ровно одного нуля. Например, интервал, ограниченный g 125 и g 127, является блоком Грама, содержащим уникальную плохую точку Грама g 126 , и содержит ожидаемое число 2 нулей, хотя ни один из его двух интервалов Грама не содержит уникального нуля. Россер и др. проверил, что не было исключений из правила Россера в первых 3 миллионах нулей, хотя существует бесконечно много исключений из правила Россера для всей дзета-функции.

И правило Грама, и правило Россера говорят, что в некотором смысле нули не отклоняются слишком далеко от своих ожидаемых позиций. Расстояние нуля от его ожидаемого положения контролируется функцией S, определенной выше, которая растет чрезвычайно медленно: ее среднее значение порядка (log log T ) 1/2 , которое достигает только 2 для T около 10 24 . Это означает, что оба правила большую часть времени справедливы для малых T, но в конечном итоге часто нарушаются. Действительно, Trudgian (2011) показал, что и закон Грама, и правило Россера терпят неудачу в положительной пропорции случаев. В частности, ожидается, что примерно в 73% один ноль заключен в две последовательные точки Грама, но в 14% нет нуля, а в 13% два нуля находятся в таком грамм-интервале в долгосрочной перспективе.

Аргументы за и против гипотезы Римана

Математические статьи о гипотезе Римана, как правило, осторожно уклоняются от ее истинности. Из авторов, которые выражают мнение, большинство из них, например Риман (1859) и Бомбьери (2000) , подразумевают, что они ожидают (или, по крайней мере, надеются), что это правда. К немногим авторам, выражающим серьезные сомнения по этому поводу, относятся Ивич (2008) , который перечисляет некоторые причины для скептицизма, и Литтлвуд (1962) , который категорически заявляет, что он считает это ложным, что нет никаких доказательств для этого и нет никаких мыслимых причин, по которым это могло бы быть. быть правдой. Консенсус статей обзора ( Bombieri 2000 , Conrey 2003 и Sarnak 2005 ) состоит в том, что доказательства этого веские, но не исчерпывающие, так что, хотя это, вероятно, правда, есть разумные сомнения.

Некоторые аргументы за и против гипотезы Римана перечислены Сарнак (2005) , Конри (2003) и Ивич (2008) и включают следующее:

  • Уже доказано несколько аналогов гипотезы Римана. Доказательство гипотезы Римана для многообразий над конечными полями Делинем (1974) , возможно, является единственной сильнейшей теоретической причиной в пользу гипотезы Римана. Это дает некоторые доказательства более общей гипотезы о том, что все дзета-функции, связанные с автоморфными формами, удовлетворяют гипотезе Римана, которая включает классическую гипотезу Римана как частный случай. Точно так же дзета-функции Сельберга удовлетворяют аналогу гипотезы Римана и в некотором смысле похожи на дзета-функцию Римана, имея функциональное уравнение и бесконечное разложение произведения, аналогичное разложению произведения Эйлера. Но есть и некоторые важные отличия; например, их не дает ряд Дирихле. Гипотеза Римана для дзета-функции Госса была доказана Шетсом (1998) . В отличие от этих положительных примеров, некоторые дзета-функции Эпштейна не удовлетворяют гипотезе Римана, даже если они имеют бесконечное количество нулей на критической прямой. Эти функции очень похожи на дзета-функцию Римана и имеют разложение в ряд Дирихле и функциональное уравнение , но те, которые, как известно, не соответствуют гипотезе Римана, не имеют эйлерова произведения и не имеют прямого отношения к автоморфным представлениям .
  • Поначалу численное подтверждение того, что на линии лежит много нулей, кажется убедительным доказательством этого. Но в аналитической теории чисел было много предположений, подтвержденных значительными численными доказательствами, которые оказались ложными. См. Число Скьюза в качестве печально известного примера, где первое исключение из правдоподобного предположения, связанного с гипотезой Римана, вероятно, происходит около 10 316 ; контрпример к гипотезе Римана с мнимой частью такого размера будет намного больше, чем что-либо, что в настоящее время может быть вычислено с использованием прямого подхода. Проблема в том, что на поведение часто влияют очень медленно растущие функции, такие как log log T , которые стремятся к бесконечности, но делают это так медленно, что это не может быть обнаружено с помощью вычислений. Такие функции встречаются в теории дзета-функции, контролирующей поведение ее нулей; например, функция S ( T ) выше имеет средний размер около (log log T ) 1/2 . Поскольку S ( T ) перескакивает по крайней мере на 2 в любом контрпримере к гипотезе Римана, можно ожидать, что любые контрпримеры к гипотезе Римана начнут появляться только тогда, когда S ( T ) станет большим. Насколько было вычислено, оно никогда не бывает намного больше 3, но известно, что оно неограниченно, что предполагает, что вычисления, возможно, еще не достигли области типичного поведения дзета-функции.
  • Данжу вероятностное аргумент «ы для гипотезы Римана основано на наблюдении , что , если μ ( х ) представляет собой случайная последовательность„1“и с„-1“S , то для любых х> 0 , то частичные суммы
    (значения которых являются позициями в простом случайном блуждании ) удовлетворяют оценке
    с вероятностью 1 . Гипотеза Римана эквивалентна этой оценке для функции Мёбиуса  μ и функции Мертенса M, полученной из нее таким же образом. Другими словами, гипотеза Римана в некотором смысле эквивалентна утверждению, что μ ( x ) ведет себя как случайная последовательность подбрасываний монеты. Когда μ ( x ) отличен от нуля, его знак дает четность числа простых множителей x , поэтому неформально гипотеза Римана утверждает, что четность числа простых множителей целого числа ведет себя случайным образом. Такие вероятностные аргументы в теории чисел часто дают правильный ответ, но, как правило, их очень трудно сделать строгими, и иногда они дают неправильный ответ для некоторых результатов, таких как теорема Майера .
  • Расчеты в Odlyzko (1987) показывают, что нули дзета-функции ведут себя очень похоже на собственные значения случайной эрмитовой матрицы , предполагая, что они являются собственными значениями некоторого самосопряженного оператора, что подразумевает гипотезу Римана. Все попытки найти такого оператора не увенчались успехом.
  • Есть несколько теорем, таких как слабая гипотеза Гольдбаха для достаточно больших нечетных чисел, которые сначала были доказаны с использованием обобщенной гипотезы Римана, а затем были доказаны безоговорочно истинными. Это можно рассматривать как слабое свидетельство обобщенной гипотезы Римана, поскольку некоторые из ее «предсказаний» верны.
  • Феномен Лемера , когда два нуля иногда очень близки, иногда приводится как причина не верить гипотезе Римана. Но можно было бы ожидать, что это будет происходить случайно, даже если гипотеза Римана верна, а расчеты Одлыжко предполагают, что соседние пары нулей встречаются так же часто, как предсказывает гипотеза Монтгомери .
  • Паттерсон (1988) предполагает, что наиболее веской причиной гипотезы Римана для большинства математиков является надежда на то, что простые числа распределяются как можно более равномерно.

Примечания

использованная литература

Существует несколько нетехнических книг по гипотезе Римана, таких как Derbyshire (2003) , Rockmore (2005) , Sabbagh ( 2003a , 2003b ), du Sautoy (2003) и Watkins (2015) . Книги Эдвардса (1974) , Паттерсона (1988) , Борвейна и др. (2008) , Mazur & Stein (2015) и Broughan (2017) дают математические представления, в то время как Titchmarsh (1986) , Ivić (1985) и Karatsuba & Voronin (1992) представляют собой продвинутые монографии .

Популярные экспозиции

внешние ссылки