Порядок приближения - Order of approximation

В науке , технике и других количественных дисциплинах порядок приближения относится к формальным или неформальным выражениям того, насколько точным является приближение .

Использование в науке и технике

В формальных выражениях порядковый номер, используемый перед порядком слов , относится к наивысшему порядку производной в расширении ряда, используемом в приближении . Выражения: а нулевого порядка аппроксимации , А первого порядка аппроксимации , А второго порядка аппроксимации , и так далее, используются в качестве фиксированных фраз . Выражение нулевого приближения также является распространенным. Числительные иногда используются в выражениях как нулевого порядка аппроксимации , в одном порядке приближения и т.д.

Упущение слова порядка приводит к фразам , которые имеют менее формальный смысл. Такие фразы, как первое приближение или первое приближение, могут относиться к приблизительному значению величины . Фраза с нулевым приближением указывает на безумную догадку . Порядок аппроксимации выражения иногда неофициально используется для обозначения количества значащих цифр в порядке увеличения точности или в порядке величины . Однако это может сбивать с толку, поскольку эти формальные выражения не относятся напрямую к порядку производных.

Выбор расширения ряда зависит от научного метода исследования явления . Ожидается, что порядок аппроксимации выражений будет указывать на все более точные приближения функции в заданном интервале . Выбор порядка приближения зависит от цели исследования . Можно упростить известное аналитическое выражение для разработки нового приложения или, наоборот, попытаться подогнать кривую к точкам данных . Более высокий порядок приближения не всегда более полезен, чем более низкий. Например, если величина постоянна в пределах всего интервала, аппроксимация ее рядом Тейлора второго порядка не повысит точность.

В случае гладкой функции , то п приближение го порядка является полиномом от степени п , которое получается путем усечения ряда Тейлора в этой степени. Формальное использование порядка приближения соответствует пропуску некоторых членов ряда, используемых в разложении (обычно более высоких членов). Это влияет на точность . Ошибка обычно колеблется в пределах интервала. Таким образом, числа нулевой , первый , второй и т. Д., Используемые формально в вышеуказанном значении, не дают напрямую информации о процентной ошибке или значащих цифрах .

Нулевой порядок

Приближение нулевого порядка - это термин, который ученые используют для первого грубого ответа. Делается много упрощающих предположений , и когда требуется число, часто выдается ответ по порядку величины (или нулевые значащие цифры ). Например, вы можете сказать «в городе несколько тысяч жителей», когда в действительности в нем проживает 3914 человек. Это также иногда называют приближением порядка величины . Ноль «нулевого порядка» представляет собой тот факт, что даже единственное указанное число, «несколько», само по себе определяется слабо.

Аппроксимация функции нулевого порядка (то есть математическое определение формулы для соответствия нескольким точкам данных ) будет постоянной или плоской линией без наклона : полиномом нулевой степени. Например,

{\ Displaystyle х = [0,1,2] \,}

{\ Displaystyle у = [3,3,5] \,}

{\ Displaystyle у \ сим е (х) = 3,67 \,}

может быть - если была указана точность точки данных - приблизительным соответствием данным, полученным путем простого усреднения значений x и значений y. Однако точки данных представляют результаты измерений и действительно отличаются от точек в евклидовой геометрии . Таким образом, цитирование среднего значения, содержащего три значащих цифры на выходе, с одной значащей цифрой во входных данных, может быть распознано как пример ложной точности . При предполагаемой точности точек данных ± 0,5 приближение нулевого порядка могло бы в лучшем случае дать результат для y ~ 3,7 ± 2,0 в интервале x от -0,5 до 2,5 с учетом стандартного отклонения .

Если точки данных представлены как

{\ Displaystyle х = [0,00,1,00,2,00] \,}

{\ displaystyle y = [3.00,3.00,5.00] \,}

нулевое приближение приводит к

{\ Displaystyle у \ сим е (х) = 3,67 \,}

Точность результата оправдывает попытку вывести мультипликативную функцию для этого среднего, например,

{\ Displaystyle у \ сим \ х + 2,67}

Однако следует быть осторожным, потому что мультипликативная функция будет определена для всего интервала. Если доступны только три точки данных, никто не знает об остальной части интервала , которая может составлять большую его часть. Это означает, что y может иметь другой компонент, равный 0 на концах и в середине интервала. Известен ряд функций, обладающих этим свойством, например y = sin π x . Ряды Тейлора полезны и помогают предсказать аналитическое решение, но само по себе приближение не дает убедительных доказательств.

Первый заказ

Приближение первого порядка - это термин, который ученые используют для чуть лучшего ответа. Делаются некоторые упрощающие предположения, и, когда требуется число, часто дается ответ только с одной значащей цифрой («в городе есть4 × 10 ³ или четыре тысячи жителей "). В случае приближения первого порядка, по крайней мере, одно указанное число является точным. В приведенном выше примере нулевого порядка было указано количество" несколько ", но в примере первого порядка , дается цифра "4".

Аппроксимация функции первого порядка (то есть математическое определение формулы для соответствия нескольким точкам данных) будет линейной аппроксимацией, прямой линией с наклоном: многочленом степени 1. Например,

{\ Displaystyle х = [0,00,1,00,2,00] \,}

{\ displaystyle y = [3.00,3.00,5.00] \,}

{\ Displaystyle у \ сим е (х) = х + 2,67 \,}

приблизительно соответствует данным. В этом примере используется приближение нулевого порядка, такое же, как и в первом порядке, но метод получения отличается; то есть дикий удар в темноте в отношениях оказался столь же хорошим, как «обоснованное предположение».

Второго порядка

Приближение второго порядка - это термин, который ученые используют для получения качественного ответа. Делается несколько упрощающих предположений, и когда требуется число, ответ состоит из двух или более значащих цифр ("в городе есть3,9 × 10 ³ или тридцать девятьсот жителей »). В финансовой математике приближения второго порядка известны как поправки на выпуклость . Как и в приведенных выше примерах, термин« 2-й порядок »относится к количеству приведенных точных цифр. для неточного количества. В этом случае «3» и «9» даны как два последовательных уровня точности, а не просто «4» из первого порядка или «несколько» из нулевого порядка, найденного в приведенные выше примеры.

Приближение второго порядка функции (то есть математическое определение формулы для соответствия нескольким точкам данных) будет квадратичным многочленом , геометрически параболой : многочленом степени 2. Например,

{\ Displaystyle х = [0,00,1,00,2,00] \,}

{\ displaystyle y = [3.00,3.00,5.00] \,}

{\ Displaystyle у \ сим е (х) = х ^ {2} -x + 3 \,}

приблизительно соответствует данным. В этом случае, имея только три точки данных, парабола является точной подгонкой на основе предоставленных данных. Однако точки данных для большей части интервала недоступны, что требует осторожности (см. « Нулевой порядок »).

Более высокого порядка

Хотя приближения более высокого порядка существуют и имеют решающее значение для лучшего понимания и описания реальности, их обычно не называют числами.

Продолжая вышесказанное, потребуется приближение третьего порядка для точного соответствия четырем точкам данных и так далее. См. Полиномиальную интерполяцию .

Разговорное использование

Эти термины также используются в разговорной речи учеными и инженерами для описания явлений, которыми можно пренебречь как незначительными (например, «Конечно, вращение Земли влияет на наш эксперимент, но это такой эффект высокого порядка, что мы не сможем его оценить»). измерить его "или" При этих скоростях относительность - это эффект четвертого порядка, о котором мы беспокоимся только при ежегодной калибровке "). В этом случае порядковый номер приближения не точен, но используется для того, чтобы подчеркнуть его незначительность; чем выше использованное число, тем менее важен эффект. Терминология в этом контексте представляет собой высокий уровень точности, необходимый для учета эффекта, который считается очень небольшим по сравнению с общим предметом изучения. Чем выше порядок, тем большая точность требуется для измерения эффекта и, следовательно, малость эффекта по сравнению с общим измерением.

Languages

In other projects