Теория Чепмена – Энскога - Chapman–Enskog theory

Теория Чепмена – Энскога обеспечивает основу, в которой уравнения гидродинамики для газа могут быть выведены из уравнения Больцмана . Этот метод оправдывает в остальном феноменологические определяющие соотношения, появляющиеся в гидродинамических описаниях, таких как уравнения Навье – Стокса . При этом выражения для различных коэффициентов переноса, таких как теплопроводность и вязкость , получаются в терминах молекулярных параметров. Таким образом, теория Чепмена – Энскога представляет собой важный шаг в переходе от микроскопического описания, основанного на частицах, к гидродинамическому континууму .

Теория названа в честь Сидни Чепмена и Дэвида Энскога , которые независимо друг от друга представили ее в 1916 и 1917 годах.

Описание

Отправной точкой теории Чепмена – Энскога является уравнение Больцмана для одночастичной функции распределения :

где - нелинейный интегральный оператор, моделирующий эволюцию межчастичных столкновений. Эта нелинейность затрудняет решение полного уравнения Больцмана и мотивирует развитие приближенных методов, таких как метод, предоставляемый теорией Чепмена – Энскога.

Учитывая эту отправную точку, различные предположения, лежащие в основе уравнения Больцмана, переносятся и на теорию Чепмена – Энскога. Самые основные из них требует разделений шкалы между длительностью столкновений и временем свободного пробега между столкновениями : . Это условие гарантирует, что столкновения являются четко определенными событиями в пространстве и времени, и выполняется, если безразмерный параметр мал, где - диапазон межчастичных взаимодействий и - числовая плотность. В дополнение к этому предположению теория Чепмена – Энскога также требует, чтобы это было намного меньше, чем любые внешние временные рамки . Это временные рамки, связанные с членами в левой части уравнения Больцмана, которые описывают изменения состояния газа на макроскопических длинах. Обычно их значения определяются начальными / граничными условиями и / или внешними полями. Такое разделение масштабов означает, что член столкновения в правой части уравнения Больцмана намного меньше, чем член потока в левой части. Таким образом, приближенное решение можно найти из

Можно показать, что решение этого уравнения является гауссовским :

где - масса молекулы, - постоянная Больцмана . Говорят, что газ находится в локальном равновесии, если он удовлетворяет этому уравнению. Предположение о локальном равновесии непосредственно приводит к уравнениям Эйлера , которые описывают жидкости без диссипации, то есть с теплопроводностью и вязкостью, равными . Основная цель теории Чепмена – Энскога состоит в том, чтобы систематически получать обобщения уравнений Эйлера, которые действительно включают диссипацию. Это достигается выражением отклонений от локального равновесия в виде ряда возмущений по числу Кнудсена , которое мало, если . Концептуально полученные гидродинамические уравнения описывают динамическое взаимодействие между свободным течением и межчастичными столкновениями. Последнее , как правило , водить газ по направлению к локальному равновесию, в то время как бывшие действуют через пространственные неоднородности для привода газа вдали от локального равновесия. Когда число Кнудсена порядка 1 или больше, газ в рассматриваемой системе не может быть описан как жидкость.

В первую очередь получаются уравнения Навье – Стокса . Второй и третий порядки приводят к уравнениям Бернетта и супербернеттовским уравнениям.

Математическая формулировка

Поскольку число Кнудсена не появляется явно в уравнении Больцмана, а скорее неявно в терминах функции распределения и граничных условий, вводится фиктивный параметр для отслеживания соответствующих порядков в разложении Чепмена – Энскога:

Можно видеть, что малое означает, что член столкновения доминирует над термином потоковой передачи , что равносильно утверждению малого числа Кнудсена. Таким образом, подходящей формой разложения Чепмена – Энскога является

Решения, которые можно формально разложить таким образом, известны как нормальные решения уравнения Больцмана. Ясно, что этот класс решений исключает непертурбативные вклады (такие как ), которые появляются в пограничных слоях или вблизи внутренних ударных слоев . Таким образом, теория Чепмена – Энскога ограничивается ситуациями, в которых такими решениями можно пренебречь.

Подставив это расширение и приравняв порядки отведений к иерархии

где - линейный по обоим аргументам интегральный оператор, удовлетворяющий и . Решение первого уравнения является гауссовским:

для некоторых функций , и . Заманчиво приравнять эти функции к физическим гидродинамическим полям, определяемым как моменты :

Однако с чисто математической точки зрения два набора функций не обязательно одинаковы для (поскольку они равны по определению). В самом деле, если систематически продвигаться по иерархии, можно обнаружить, что, как и каждое, также содержит произвольные функции от и , отношение которых к физическим гидродинамическим полям априори неизвестно. Одно из ключевых упрощающих предположений теории Чепмена – Энскога состоит в том, чтобы предположить, что эти в противном случае произвольные функции могут быть записаны в терминах точных гидродинамических полей и их пространственных градиентов. Другими словами, пространственно-временная зависимость входит только неявно через гидродинамические поля. Это утверждение физически правдоподобно, поскольку при малых числах Кнудсена ожидается вход в гидродинамический режим, в котором состояние газа определяется исключительно гидродинамическими полями. В случае , функции , и полагаются в точности равными физическим гидродинамическим полям.

Хотя эти предположения физически правдоподобны, возникает вопрос, действительно ли существуют решения, удовлетворяющие этим свойствам. Точнее, нужно показать, что существуют решения, удовлетворяющие

Более того, даже если такие решения существуют, остается дополнительный вопрос, охватывают ли они полный набор нормальных решений уравнения Больцмана, т.е. не представляют ли они искусственное ограничение исходного разложения по . Одним из ключевых технических достижений теории Чепмена – Энскога является положительный ответ на оба эти вопроса. Таким образом, по крайней мере на формальном уровне, в подходе Чепмена – Энскога нет потери общности.

Установив эти формальные соображения, можно приступить к расчетам . Результат

где представляет собой вектор и тензор , каждый представляет собой решение линейного неоднородного интегрального уравнения , которые могут быть решены в явном виде полиномиального разложения. Обратите внимание , что двоеточие означает двойное скалярное произведение , для тензоров , .

Прогнозы

Для первого порядка по числу Кнудсена, поток тепла оказывается подчиняется закону Фурье теплопроводности ,

а тензор потока импульса - это тензор ньютоновской жидкости ,

с тождественным тензором. Здесь и - константы, которые мы теперь отождествляем с теплопроводностью и вязкостью. Их можно явно рассчитать в терминах молекулярных параметров, решив линейное интегральное уравнение; в таблице ниже приведены результаты для нескольких важных молекулярных моделей ( - масса молекулы и - постоянная Больцмана).

Таблица 1: Прогнозируемые выражения для теплопроводности и вязкости.
Модель Примечания
Жесткие упругие шары диаметром Правильно до 3-х знаков после запятой.
Молекулы с силой отталкивания обозначает гамма-функцию и является числовым коэффициентом. Чепмен и Коулинг перечисляют несколько значений последнего, например, и .
Потенциал Леннарда-Джонса : является функцией, которую можно рассчитать численно. Он варьируется от Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (рекомендуется для современных браузеров и инструментов специальных возможностей): Неверный ответ («Расширение Math не может подключиться к Restbase.») От сервера «/ mathoid / local / v1 /» :): {\ displaystyle 5.682} for to for .


С этими результатами легко получить уравнения Навье – Стокса. Принимая скорость моменты уравнения Больцмана приводит к точным уравнениям баланса для гидродинамических полей , и :

Как и в предыдущем разделе двоеточие обозначает двойное скалярное произведение, . Подставляя выражения Чепмена – Энскога для и , мы приходим к уравнениям Навье – Стокса.

Сравнение с экспериментом

Важное предсказание теории Чепмена-Энскога состоит в том, что вязкость не зависит от плотности (это можно увидеть для каждой молекулярной модели в таблице 1, но на самом деле она не зависит от модели). Этот удивительный результат восходит к Джеймсу Клерку Максвеллу , который вывел его в 1860 году на основе более элементарных кинетических аргументов. Это хорошо проверено экспериментально для газов при обычных плотностях.

Таблица 2: экспериментально измеренные значения для первых пяти благородных газов.
Гелий 2,45
Неон 2,52
Аргон 2,48
Криптон 2,535
Ксенон 2,58

С другой стороны, теория предсказывает, что это зависит от температуры. Для жестких упругих сфер прогнозируемое масштабирование равно , в то время как другие модели обычно показывают большее изменение в зависимости от температуры. Например, для молекул, отталкивающих друг друга с силой, прогнозируемое масштабирование составляет , где . Взятие , соответствующее , показывает разумное согласие с экспериментально наблюдаемым скейлингом для гелия. Для более сложных газов согласие не такое хорошее, скорее всего, из-за пренебрежения силами притяжения. В самом деле, модель Леннарда-Джонса , которая действительно включает в себя аттракционы, можно привести в большее соответствие с экспериментом (хотя и за счет более непрозрачной зависимости; см. Запись Леннарда-Джонса в таблице 1).

Теория Чепмена – Энскога также предсказывает простую связь между и в форме , где - удельная теплоемкость при постоянном объеме, а - чисто числовой коэффициент. Для сферически-симметричных молекул его значение, как предполагается, будет очень близким к немного зависящим от модели способом. Так , например, жесткие упругие сферы имеют , и молекулу с отталкивающей силой имеет (последнее отклонение игнорируются в таблице 1). Частный случай молекул Максвелла (сила отталкивания ) точно имеет . Поскольку , и могут быть измерены непосредственно в эксперименте, простой экспериментальной проверкой теории Чепмена – Энскога является измерение сферически-симметричных благородных газов . Таблица 2 показывает, что существует разумное согласие между теорией и экспериментом.

Расширения

Основные принципы теории Чепмена – Энскога можно распространить на более разнообразные физические модели, включая газовые смеси и молекулы с внутренними степенями свободы. В режиме высокой плотности теория может быть адаптирована для учета столкновительного переноса импульса и энергии, то есть переноса по диаметру молекулы во время столкновения, а не по длине свободного пробега ( между столкновениями). Включение этого механизма предсказывает зависимость вязкости от плотности при достаточно высокой плотности, которая также наблюдается экспериментально.

Можно также провести теорию до более высокого порядка по числу Кнудсена. В частности, Бернетт рассчитал вклад третьего порядка . В общих обстоятельствах, однако, к этим исправлениям высокого порядка следует подходить с осторожностью, учитывая, что расширение Чепмена – Энскога не всегда может сходиться. (С другой стороны, расширение считается по крайней мере асимптотическим для решений уравнения Больцмана, и в этом случае усечение на низком уровне все равно дает точные результаты.) Даже если поправки более высокого порядка действительно позволяют улучшить данную систему, Интерпретация соответствующих гидродинамических уравнений до сих пор обсуждается.

Смотрите также

Примечания

использованная литература

Классическая монография по теме:

  • Чепмен, Сидней; Каулинг, Т.Г. (1970), Математическая теория неоднородных газов (3-е изд.), Cambridge University Press

Содержит техническое введение в нормальные решения уравнения Больцмана:

  • Град, Гарольд (1958), «Принципы кинетической теории газов», в Flügge, S. (ed.), Encyclopedia of Physics , XII , Springer-Verlag, pp. 205–294.