Линеаризация - Linearization

В математике , линеаризация находит линейное приближение к функции в данной точке. Линейное приближение функции - это разложение Тейлора первого порядка вокруг интересующей точки. При исследовании динамических систем , линеаризация представляет собой способ оценки локальной стабильности в качестве точки равновесия в виде системы из нелинейных дифференциальных уравнений или дискретных динамических систем . Этот метод используется в таких областях, как инженерия , физика , экономика и экология .

Линеаризация функции

Линеаризация функции - это линии, обычно линии, которые можно использовать для расчетов. Линеаризация - это эффективный метод аппроксимации выхода функции в любой точке на основе значения и наклона функции в точке , при условии, что она дифференцируема по (или ) и близка к . Короче говоря, линеаризация приближает результат функции, близкой к . ${\ Displaystyle у = е (х)}$${\ Displaystyle х = а}$${\ displaystyle x = b}$${\ displaystyle f (x)}$${\ Displaystyle [а, б]}$${\ Displaystyle [б, а]}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ Displaystyle х = а}$

Например, . Однако что было бы хорошим приближением ? ${\ displaystyle {\ sqrt {4}} = 2}$${\ displaystyle {\ sqrt {4.001}} = {\ sqrt {4 + .001}}}$

Для любой заданной функции , можно приблизить , если он находится рядом с известной дифференцируемой точкой. Самым основным требованием является то , что , где - линеаризация at . Форма уравнения « точка-наклон» образует уравнение прямой с учетом точки и наклона . Общий вид этого уравнения: . ${\ Displaystyle у = е (х)}$${\ displaystyle f (x)}$${\ Displaystyle L_ {а} (а) = е (а)}$${\ Displaystyle L_ {а} (х)}$${\ displaystyle f (x)}$${\ Displaystyle х = а}$${\ displaystyle (H, K)}$${\ displaystyle M}$${\ Displaystyle уК = М (хН)}$

Используя точку , становится . Поскольку дифференцируемые функции локально линейны , лучшим наклоном для замены будет наклон прямой, касательной к at . ${\ Displaystyle (а, е (а))}$${\ Displaystyle L_ {а} (х)}$${\ Displaystyle у = е (а) + М (ха)}$${\ displaystyle f (x)}$${\ Displaystyle х = а}$

В то время как концепция локальной линейности наиболее применима к точкам, произвольно близким к , те относительно близкие работают относительно хорошо для линейных приближений. Наклон должен быть, точнее всего, наклоном касательной в точке . ${\ Displaystyle х = а}$${\ displaystyle M}$${\ Displaystyle х = а}$

Приближение f (x) = x ^ 2 at ( x , f ( x ))

Визуально на прилагаемой диаграмме показана касательная к точке at . At , где любое небольшое положительное или отрицательное значение, очень близко к значению касательной в точке . ${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle x}$${\ Displaystyle f (х + ч)}$${\ displaystyle h}$${\ Displaystyle f (х + ч)}$${\ Displaystyle (х + ч, L (х + ч))}$

Окончательное уравнение для линеаризации функции при : ${\ Displaystyle х = а}$

${\ Displaystyle у = (е (а) + е '(а) (ха))}$

Для , . Производная от это , и наклон на это . ${\ Displaystyle х = а}$${\ Displaystyle е (а) = е (х)}$${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle f '(x)}$${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle f '(а)}$

Пример

Чтобы найти , мы можем использовать тот факт, что . Линеаризация at происходит потому, что функция определяет наклон функции at . Подставив , получим линеаризацию на 4 . В этом случае , так приблизительно . Истинное значение близко к 2,00024998, поэтому приближение линеаризации имеет относительную ошибку менее 1 миллионной доли процента. ${\ displaystyle {\ sqrt {4.001}}}$${\ displaystyle {\ sqrt {4}} = 2}$${\ displaystyle f (x) = {\ sqrt {x}}}$${\ Displaystyle х = а}$${\ displaystyle y = {\ sqrt {a}} + {\ frac {1} {2 {\ sqrt {a}}}} (xa)}$${\ displaystyle f '(x) = {\ frac {1} {2 {\ sqrt {x}}}}}$${\ displaystyle f (x) = {\ sqrt {x}}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle a = 4}$${\ displaystyle y = 2 + {\ frac {x-4} {4}}}$${\ displaystyle x = 4,001}$${\ displaystyle {\ sqrt {4.001}}}$${\ displaystyle 2 + {\ frac {4.001-4} {4}} = 2.00025}$

Линеаризация функции многих переменных

Уравнение линеаризации функции в точке : ${\ displaystyle f (x, y)}$${\ displaystyle p (a, b)}$

${\ displaystyle f (x, y) \ приблизительно f (a, b) + \ left. {\ frac {\ partial f (x, y)} {\ partial x}} \ right | _ {a, b} ( xa) + \ left. {\ frac {\ partial f (x, y)} {\ partial y}} \ right | _ {a, b} (yb)}$

Общее уравнение для линеаризации функции многих переменных в точке : ${\ Displaystyle е (\ mathbf {х})}$${\ displaystyle \ mathbf {p}}$

${\ displaystyle f ({\ mathbf {x}}) \ приблизительно f ({\ mathbf {p}}) + \ left. {\ nabla f} \ right | _ {\ mathbf {p}} \ cdot ({\ mathbf {x}} - {\ mathbf {p}})}$

где - вектор переменных, а - интересующая нас точка линеаризации. ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$${\ displaystyle \ mathbf {p}}$

Использование линеаризации

Линеаризация позволяет использовать инструменты исследования линейных систем для анализа поведения нелинейной функции вблизи заданной точки. Линеаризация функции - это член первого порядка ее разложения Тейлора вокруг интересующей точки. Для системы, определяемой уравнением

${\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {x}} {dt}} = \ mathbf {F} (\ mathbf {x}, t)}$,

линеаризованная система может быть записана как

${\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {x}} {dt}} \ приблизительно \ mathbf {F} (\ mathbf {x_ {0}}, t) + D \ mathbf {F} (\ mathbf {x_ { 0}}, t) \ cdot (\ mathbf {x} - \ mathbf {x_ {0}})}$

где есть точка интереса и является якобиан из оценивается в . ${\ displaystyle \ mathbf {x_ {0}}}$${\ Displaystyle D \ mathbf {F} (\ mathbf {x_ {0}})}$${\ Displaystyle \ mathbf {F} (\ mathbf {x})}$${\ displaystyle \ mathbf {x_ {0}}}$

Анализ устойчивости

В стабильности анализа автономных систем , можно использовать собственные значения на матрицы Якоби вычисляется на гиперболической точки равновесия , чтобы определить природу этого равновесия. Это содержание теоремы о линеаризации . Для нестационарных систем линеаризация требует дополнительного обоснования.

Микроэкономика

В микроэкономике , правила принятия решений могут быть приближены под пространством состояний подхода к линеаризации. При таком подходе эти уравнения Эйлера о задаче максимизации полезности линеаризуются вокруг стационарного стационарного состояния. Затем находится единственное решение полученной системы динамических уравнений.

Оптимизация

В математической оптимизации функции затрат и нелинейные компоненты внутри могут быть линеаризованы для применения метода линейного решения, такого как симплексный алгоритм . Оптимизированный результат достигается намного эффективнее и детерминирован как глобальный оптимум .

Мультифизика

В мультифизических системах - системах, включающих несколько физических полей, которые взаимодействуют друг с другом, - может выполняться линеаризация по каждому из физических полей. Эта линеаризация системы по отношению к каждому из полей приводит к линеаризованной монолитной системе уравнений, которую можно решить с помощью процедур монолитного итерационного решения, таких как метод Ньютона – Рафсона . Примеры этого включают системы сканирования МРТ, которые создают систему электромагнитных, механических и акустических полей.

Смотрите также

• Линейная устойчивость
• Матрица касательной жесткости
• Производные устойчивости
• Теорема линеаризации
• Приближение Тейлора
• Функциональное уравнение (L-функция)

использованная литература

внешние ссылки

Учебники по линеаризации

• Линеаризация для анализа моделей и разработки средств управления