Диофантово приближение - Diophantine approximation

Наилучшие рациональные аппроксимации для

π

(зеленый круг), e (синий ромб), ϕ (продолговатый розовый), (√3) / 2 (серый шестиугольник), 1 / √2 (красный восьмиугольник) и 1 / √3 (оранжевый треугольник) вычисленные из их разложений в непрерывную дробь, построенные как наклоны y / x с ошибками от их истинных значений (черные штрихи)

В теории чисел , изучение диофантовых приближений касается приближения действительных чисел по рациональным числам . Он назван в честь Диофанта Александрийского .

Первая проблема заключалась в том, чтобы узнать, насколько хорошо действительное число может быть аппроксимировано рациональными числами. Для этой задачи рациональное число a / b является «хорошей» аппроксимацией действительного числа α, если абсолютное значение разницы между a / b и α может не уменьшаться, если a / b заменяется другим рациональным числом с меньшим знаменатель. Эта проблема была решена в 18 веке с помощью непрерывных дробей .

Зная «наилучшие» приближения данного числа, основная проблема данной области состоит в том, чтобы найти точные верхние и нижние границы вышеуказанной разницы, выраженной как функция знаменателя . Похоже, что эти оценки зависят от природы приближаемых действительных чисел: нижняя оценка для приближения рационального числа другим рациональным числом больше, чем нижняя оценка для алгебраических чисел , которая сама по себе больше, чем нижняя оценка для все реальные числа. Таким образом, действительное число, которое может быть аппроксимировано лучше, чем оценка для алгебраических чисел, безусловно, является трансцендентным числом .

Это знание позволило Лиувиллю в 1844 году получить первое явное трансцендентное число. Позже аналогичным методом были получены доказательства трансцендентности $π$ и e .

Диофантовы приближения и трансцендентная теория чисел - очень близкие области, разделяющие многие теоремы и методы. Диофантовы приближения также имеют важные приложения при изучении диофантовых уравнений .

Наилучшие диофантовы приближения действительного числа

Для действительного числа $α$ есть два способа определить наилучшее диофантово приближение $α$ . Для первого определения, рациональное число $р / д$ является лучшим диофантовых приближений в $альфа$ , если

{\ displaystyle \ left | \ alpha - {\ frac {p} {q}} \ right | <\ left | \ alpha - {\ frac {p '} {q'}} \ right |,}

для любого рационального числа $p ' / q',$ отличного от $p / q,$ такого что $0 < q' \leq q$ .

Для второго определения указанное выше неравенство заменяется на

{\ Displaystyle \ left | q \ alpha -p \ right | <\ left | q ^ {\ prime} \ alpha -p ^ {\ prime} \ right |.}

Наилучшее приближение для второго определения также является наилучшим приближением для первого, но обратное неверно.

Теория цепных дробей позволяет вычислить наилучшие приближения действительного числа: для второго определения, они являются дроби его выражения как обычный цепной дроби. Для первого определения необходимо также рассмотреть полуконвергенты .

Например, константа e = 2.718281828459045235 ... имеет (регулярное) представление непрерывной дроби

{\ displaystyle [2; 1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1, \ ldots \;].}

Его наилучшие приближения для второго определения:

{\ displaystyle 3, {\ tfrac {8} {3}}, {\ tfrac {11} {4}}, {\ tfrac {19} {7}}, {\ tfrac {87} {32}}, \ ldots \ ,,}

в то время как для первого определения они

{\ displaystyle 3, {\ tfrac {5} {2}}, {\ tfrac {8} {3}}, {\ tfrac {11} {4}}, {\ tfrac {19} {7}}, { \ tfrac {49} {18}}, {\ tfrac {68} {25}}, {\ tfrac {87} {32}}, {\ tfrac {106} {39}}, \ ldots \ ,.}

Мера точности приближений

Очевидная мера точности диофантова приближения действительного числа $α$ рациональным числом $p / q$ : Однако эту величину всегда можно сделать сколь угодно малой, увеличив абсолютные значения $p$ и $q$ ; таким образом, точность приближения обычно оценивается путем сравнения этой величины с некоторой функцией $φ$ знаменателя $q$ , обычно с ее отрицательной степенью. ${\ textstyle \ left | \ alpha - {\ frac {p} {q}} \ right |.}$

Для такого сравнения может потребоваться верхняя или нижняя границы точности. Нижняя граница обычно описывается теоремой типа «для каждого элемента $α$ некоторого подмножества действительных чисел и каждого рационального числа $p / q$ , которое мы имеем ». В некоторых случаях «каждое рациональное число» может быть заменено «всеми рациональными числами, кроме конечного их числа», что равносильно умножению $φ$ на некоторую константу, зависящую от $α$ . ${\ textstyle \ left | \ alpha - {\ frac {p} {q}} \ right |> \ phi (q)}$

При оценке сверху необходимо учитывать, что не все «лучшие» диофантовы приближения, обеспечиваемые подходящими дробями, могут иметь желаемую точность. Следовательно, теоремы принимают вид «для каждого элемента $α$ некоторого подмножества действительных чисел существует бесконечно много рациональных чисел $p / q$ таких, что ». ${\ textstyle \ left | \ alpha - {\ frac {p} {q}} \ right | <\ phi (q)}$

Плохо аппроксимируемые числа

Плохо аппроксимируем номер является AN х , для которого существует положительная константа гр такого , что для все рационального р / д мы имеем

{\ displaystyle \ left | {x - {\ frac {p} {q}}} \ right |> {\ frac {c} {q ^ {2}}} \.}

Плохо аппроксимируемые числа - это в точности числа с ограниченными частными частными .

Точно так же число плохо аппроксимируется тогда и только тогда, когда его константа Маркова ограничена.

Нижние оценки диофантовых приближений

Аппроксимация рационального другими рациональными числами

Рациональное число может быть очевидно и идеально аппроксимировано для любого положительного целого числа i . ${\ textstyle \ alpha = {\ frac {a} {b}}}$ ${\ textstyle {\ frac {p_ {i}} {q_ {i}}} = {\ frac {i \, a} {i \, b}}}$

Если у нас есть ${\ textstyle {\ frac {p} {q}} \ not = \ alpha = {\ frac {a} {b}} \ ,,}$

{\ displaystyle \ left | {\ frac {a} {b}} - {\ frac {p} {q}} \ right | = \ left | {\ frac {aq-bp} {bq}} \ right | \ geq {\ frac {1} {bq}},}

потому что является положительным целым числом и, следовательно, не меньше 1. Таким образом, точность приближения плохая по сравнению с иррациональными числами (см. следующие разделы). ${\ displaystyle | aq-bp |}$

Можно заметить, что в предыдущем доказательстве используется вариант принципа голубиной дыры : неотрицательное целое число, отличное от 0, не меньше 1. Это очевидно тривиальное замечание используется почти во всех доказательствах нижних оценок диофантовых приближений, даже самые сложные.

Таким образом, рациональное число прекрасно аппроксимируется само по себе, но плохо аппроксимируется любым другим рациональным числом.

Аппроксимация алгебраических чисел, результат Лиувилля

В 1840-х годах Джозеф Лиувилль получил первую оценку снизу для приближения алгебраических чисел : если x - иррациональное алгебраическое число степени n над рациональными числами, то существует константа c ( x )> 0 такая, что

{\ displaystyle \ left | x - {\ frac {p} {q}} \ right |> {\ frac {c (x)} {q ^ {n}}}}

выполняется для всех целых чисел p и q, где q > 0 .

Этот результат позволил ему получить первый проверенный пример трансцендентного числа - константу Лиувилля.

{\ displaystyle \ sum _ {j = 1} ^ {\ infty} 10 ^ {- j!} = 0.110001000000000000000001000 \ ldots \ ,,}

что не удовлетворяет теореме Лиувилля, какая бы степень n ни была выбрана.

Эта связь между диофантовыми приближениями и трансцендентной теорией чисел сохраняется и по сей день. Многие методы доказательства используются в этих двух областях.

Аппроксимация алгебраических чисел, теорема Туэ – Зигеля – Рота.

Более чем за столетие было предпринято множество попыток улучшить теорему Лиувилля: каждое улучшение оценки позволяет нам доказать, что больше чисел трансцендентны. Основные улучшения были внесены Акселем Туэ ( 1909 ), Сигелем ( 1921 ), Фрименом Дайсоном ( 1947 ) и Клаусом Ротом ( 1955 ), что в конечном итоге привело к теореме Туэ – Зигеля – Рота: если $x$ - иррациональное алгебраическое число и $ε$ (малое) положительное действительное число, то существует положительная постоянная $c (x, ε)$ такая, что

{\ displaystyle \ left | x - {\ frac {p} {q}} \ right |> {\ frac {c (x, \ varepsilon)} {q ^ {2+ \ varepsilon}}}}

выполняется для любых целых $p$ и $q$ таких, что $q > 0$ .

В каком-то смысле этот результат является оптимальным, поскольку при ε = 0 теорема была бы неверной . Это непосредственное следствие приведенных ниже оценок сверху.

Совместные приближения алгебраических чисел

Впоследствии, Вольфганг М. Шмидт обобщен это на случай совместных приближений, доказательства того, что: если $х 1, ..., х п$ являются алгебраические числа , такие , что $1, х 1, ..., х п$ являются линейно независимыми над рациональным чисел и $ε$ - любое заданное положительное действительное число, то существует только конечное число рациональных $n$ -наборов $(p 1 / q, ..., p n / q)$ таких, что

{\ displaystyle \ left | x_ {i} - {\ frac {p_ {i}} {q}} \ right | <q ^ {- (1 + 1 / n + \ varepsilon)}, \ quad i = 1, \ ldots, n.}

Опять же, этот результат оптимален в том смысле, что нельзя удалить $ε$ из показателя степени.

Эффективные границы

Все предыдущие нижние оценки неэффективны в том смысле, что доказательства не предоставляют никакого способа вычислить константу, подразумеваемую в утверждениях. Это означает, что нельзя использовать результаты или их доказательства для получения оценок размера решений связанных диофантовых уравнений. Однако эти методы и результаты часто можно использовать для оценки количества решений таких уравнений.

Тем не менее, уточнение теоремы Бейкера Фельдманом дает эффективную оценку: если x - алгебраическое число степени n над рациональными числами, то существуют эффективно вычислимые константы c ( x )> 0 и 0 < d ( x ) < n такие что

{\ displaystyle \ left | x - {\ frac {p} {q}} \ right |> {\ frac {c (x)} {| q | ^ {d (x)}}}}

выполняется для всех целых рациональных чисел.

Однако, как и для любой эффективной версии теоремы Бейкера, константы d и 1 / c настолько велики, что этот эффективный результат не может быть использован на практике.

Верхние оценки диофантовых приближений

Общая верхняя граница

Первым важным результатом о верхних оценках диофантовых приближений является аппроксимационная теорема Дирихле , из которой следует, что для любого иррационального числа $α$ существует бесконечно много дробей таких, что ${\ Displaystyle {\ tfrac {p} {q}} \;}$

{\ displaystyle \ left | \ alpha - {\ frac {p} {q}} \ right | <{\ frac {1} {q ^ {2}}} \ ,.}

Отсюда сразу следует, что нельзя исключить $ε$ в формулировке теоремы Туэ-Зигеля-Рота.

С годами эта теорема была улучшена до следующей теоремы Эмиля Бореля (1903 г.). Для любого иррационального числа $α$ существует бесконечно много дробей таких, что ${\ Displaystyle {\ tfrac {p} {q}} \;}$

{\ displaystyle \ left | \ alpha - {\ frac {p} {q}} \ right | <{\ frac {1} {{\ sqrt {5}} q ^ {2}}} \ ,.}

Следовательно, это верхняя граница диофантовых приближений любого иррационального числа. Константу в этом результате нельзя улучшить без исключения некоторых иррациональных чисел (см. Ниже). ${\ displaystyle {\ frac {1} {{\ sqrt {5}} \, q ^ {2}}}}$

Эквивалентные действительные числа

Определение : Два действительные числа , называются эквивалентными , если существуют такие целые числа с таким образом, что: ${\ displaystyle x, y}$ ${\ displaystyle a, b, c, d \;}$ ${\ displaystyle ad-bc = \ pm 1 \;}$

{\ displaystyle y = {\ frac {ax + b} {cx + d}} \ ,.}

Таким образом, эквивалентность определяется целочисленным преобразованием Мёбиуса действительных чисел или членом модульной группы , множества обратимых матриц 2 × 2 над целыми числами. Каждое рациональное число эквивалентно 0; таким образом, рациональные числа являются классом эквивалентности этого отношения. ${\ Displaystyle {\ текст {SL}} _ {2} ^ {\ pm} (\ mathbb {Z})}$

Эквивалентность может быть прочитана на представлении регулярной непрерывной дроби, как показано следующей теоремой Серре :

Теорема : два иррациональных числа x и y эквивалентны тогда и только тогда, когда существуют два натуральных числа h и k такие, что представления x и y регулярной цепной дробью

{\ displaystyle {\ begin {align} x & = [u_ {0}; u_ {1}, u_ {2}, \ ldots] \ ,, \\ y & = [v_ {0}; v_ {1}, v_ { 2}, \ ldots] \ ,, \ end {выровнено}}}

проверять

{\ Displaystyle и_ {ч + я} = v_ {к + я}}

для каждого неотрицательного целого i .

Таким образом, за исключением конечной начальной последовательности, эквивалентные числа имеют такое же представление непрерывной дроби.

Эквивалентные числа аппроксимируются в одинаковой степени в том смысле, что они имеют одну и ту же константу Маркова .

Спектр Лагранжа

Как было сказано выше, константа в теореме Бореля может не улучшиться, как показал Адольф Гурвиц в 1891 году. Позвольте быть золотым сечением . Тогда для любой действительной константы c с существует только конечное число рациональных чисел $p$ $/$ $q$ таких, что ${\ displaystyle \ phi = {\ tfrac {1 + {\ sqrt {5}}} {2}}}$ ${\ displaystyle c> {\ sqrt {5}} \;}$

{\ displaystyle \ left | \ phi - {\ frac {p} {q}} \ right | <{\ frac {1} {c \, q ^ {2}}}.}

Следовательно, улучшение может быть достигнуто, только если исключить числа, эквивалентные . Точнее: для каждого иррационального числа , которое не эквивалентно , существует бесконечное множество дробей, таких что ${\ displaystyle \ phi}$ ${\ displaystyle \ alpha}$ ${\ displaystyle \ phi}$ ${\ Displaystyle {\ tfrac {p} {q}} \;}$

{\ displaystyle \ left | \ alpha - {\ frac {p} {q}} \ right | <{\ frac {1} {{\ sqrt {8}} q ^ {2}}}.}

Посредством последовательных исключений - затем нужно исключить числа, эквивалентные - все большего и большего числа классов эквивалентности, нижняя граница может быть еще больше расширена. Значения, которые могут быть получены таким образом, являются числами Лагранжа , которые являются частью спектра Лагранжа . Они сходятся к числу 3 и связаны с числами Маркова . ${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$

Теорема Хинчина о метрических диофантовых приближениях и расширениях

Позвольте быть положительной действительнозначной функцией на положительных целых числах (т. Е. Положительной последовательностью), такой что не возрастает. Действительное число х (не обязательно алгебраический) называется - аппроксимируемо , если существует бесконечно много рациональных чисел р / д , такие , что ${\ displaystyle \ psi}$ ${\ displaystyle q \ psi (q)}$ ${\ displaystyle \ psi}$

{\ displaystyle \ left | x - {\ frac {p} {q}} \ right | <{\ frac {\ psi (q)} {| q |}}.}

Александр Хинчин доказал в 1926 году, что если ряд расходится, то почти каждое действительное число (в смысле меры Лебега ) -аппроксимируемо, а если ряд сходится, то почти каждое действительное число не -аппроксимируемо. Круг идей, окружающих эту теорему и ее родственников, известен как метрическое диофантово приближение или метрическая теория диофантова приближения (не путать с «метриками» высоты в диофантовой геометрии ) или метрическая теория чисел . ${\ textstyle \ sum _ {q} \ psi (q)}$ ${\ displaystyle \ psi}$ ${\ displaystyle \ psi}$

Даффин и Шеффер (1941) доказали обобщение результата Хинчина и выдвинули то, что теперь известно как гипотеза Даффина – Шеффера по аналогу дихотомии Хинчина для общих, не обязательно убывающих, последовательностей . Бересневич и Велани (2006) доказали, что аналог гипотезы Даффина – Шеффера для меры Хаусдорфа эквивалентен исходной гипотезе Даффина – Шеффера, которая является априори более слабой. В июле 2019 года Димитрис Кукулопулос и Джеймс Мейнард объявили о доказательстве гипотезы. ${\ displaystyle \ psi}$

Хаусдорфова размерность исключительных множеств

Важным примером функции, к которой применима теорема Хинчина, является функция , где c > 1 - действительное число. Для этой функции соответствующий ряд сходится, и поэтому теорема Хинчина говорит нам, что почти каждая точка не является -аппроксимируемой. Таким образом, множество чисел, которые являются -аппроксимируемыми, образует подмножество вещественной прямой нулевой меры Лебега. Теорема Ярника-Безиковича, принадлежащая В. Ярнику и А.С. Безиковичу , утверждает, что размерность Хаусдорфа этого множества равна . В частности, набор чисел, которые являются -аппроксимируемыми для некоторых (известный как набор очень хорошо аппроксимируемых чисел ), имеет размерность Хаусдорфа один, в то время как набор чисел, которые являются -аппроксимируемыми для всех (известный как набор чисел Лиувилля ), имеет Нулевая размерность Хаусдорфа. ${\ displaystyle \ psi}$ ${\ displaystyle \ psi _ {c} (q) = q ^ {- c}}$ ${\ displaystyle \ psi _ {c}}$ ${\ displaystyle \ psi _ {c}}$ ${\ displaystyle 1 / c}$ ${\ displaystyle \ psi _ {c}}$ ${\ displaystyle c> 1}$ ${\ displaystyle \ psi _ {c}}$ ${\ displaystyle c> 1}$

Другой важный пример - функция , где - действительное число. Для этой функции соответствующий ряд расходится, и поэтому теорема Хинчина говорит нам, что почти каждое число является -аппроксимируемым. Это то же самое, что сказать, что каждое такое число хорошо аппроксимируется , где число называется хорошо аппроксимируемым, если оно не плохо аппроксимируется. Таким образом, подходящий аналог теоремы Ярника-Безиковича должен касаться размерности Хаусдорфа множества плохо аппроксимируемых чисел. И действительно, В. Ярник доказал, что размерность Хаусдорфа этого множества равна единице. Этот результат был улучшен В. М. Шмидтом , который показал, что множество плохо аппроксимируемых чисел несжимаемо , что означает, что если есть последовательность билипшицевых отображений, то множество чисел x, для которых все плохо аппроксимируются, имеет размерность Хаусдорфа один. Шмидт также обобщил теорему Ярника на более высокие измерения, что является значительным достижением, поскольку аргумент Ярника по существу одномерный, в зависимости от аппарата непрерывных дробей. ${\ Displaystyle \ psi _ {\ epsilon} (q) = \ epsilon q ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle \ epsilon> 0}$ ${\ displaystyle \ psi _ {\ epsilon}}$ ${\ displaystyle f_ {1}, f_ {2}, \ ldots}$ ${\ Displaystyle f_ {1} (х), f_ {2} (x), \ ldots}$

Равномерное распределение

Еще одна тема, которая получила серьезное развитие, - это теория равномерного распределения mod 1 . Возьмем последовательность a ₁ , a ₂ , ... действительных чисел и рассмотрим их дробные части . То есть, более абстрактно, посмотрите на последовательность в R / Z , которая представляет собой круг. Для любого интервала I на окружности мы смотрим на пропорции элементов последовательности, что лежит в ней, вплоть до некоторых целого числа N , и сравнить его с долей окружности , занятой I . Равномерное распределение означает, что в пределе с ростом N доля совпадений на интервале стремится к «ожидаемому» значению. Герман Вейль доказал основной результат, показывающий, что это эквивалентно оценкам экспоненциальных сумм, образованных из последовательности. Это показало, что результаты диофантова приближения были тесно связаны с общей проблемой сокращения в экспоненциальных суммах, которая возникает во всей аналитической теории чисел при ограничении членов ошибки.

С равномерным распределением связана тема неоднородностей распределения , которая носит комбинаторный характер.

Нерешенные проблемы

Есть еще просто заявил , оставшиеся в теории диофантовых приближений, например , нерешенные проблемы гипотезы Литтлвуда и одинокую бегун догадку . Также неизвестно, есть ли алгебраические числа с неограниченными коэффициентами в их разложении в цепную дробь.

Недавние улучшения

В своем пленарном выступлении на Международном математическом конгрессе в Киото (1990) Григорий Маргулис изложил обширную программу, основанную на эргодической теории, которая позволяет доказывать теоретико-числовые результаты, используя динамические и эргодические свойства действий подгрупп полупростых групп Ли . Работа Д. Клейнбока, Г. Маргулиса и их сотрудников продемонстрировала мощь этого нового подхода к классическим проблемам в диофантовом приближении. Среди его заметных успехов - доказательство многолетней гипотезы Оппенгейма Маргулисом с более поздними расширениями Дэни, Маргулисом и Эскином – Маргулисом – Мозесом, а также доказательство гипотез Бейкера и Спринджука в диофантовых приближениях на многообразиях Клейнбоком и Маргулисом. В этих рамках также получены различные обобщения приведенных выше результатов Александра Хинчина в метрическом диофантовом приближении.

Смотрите также

Примечания

использованная литература

Бересневич Виктор; Велани, Санджу (2006). «Принцип массового переноса и гипотеза Даффина-Шеффера для мер Хаусдорфа». Анналы математики . 164 (3): 971–992. arXiv : математика / 0412141 . DOI : 10.4007 / анналы.2006.164.971 . Zbl 1148.11033 .
Берник, В .; Бересневич, В .; Götze, F .; Куксо, О. (2013). «Распределение алгебраических чисел и метрическая теория диофантова приближения». В Эйхельсбахере, Питере; Эльснер, Гвидо; Кестерс, Хольгер; Лёв, Матиас; Меркль, Франц; Роллс, Силке (ред.). Предельные теоремы в теории вероятностей, статистики и чисел: в честь Фридриха Гетце . Springer Proceedings по математике и статистике. 42 . Гейдельберг: Springer. С. 23–48. DOI : 10.1007 / 978-3-642-36068-8_2 . Руководство по ремонту 3079136 .
Бюжо, Янн (2012). Распределение по модулю один и диофантово приближение . Кембриджские трактаты по математике. 193 . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-11169-0. Zbl 1260.11001 .
Касселс, JWS (1957). Введение в диофантово приближение . Кембриджские трактаты по математике и математической физике. 45 . Издательство Кембриджского университета .
Даффин, RJ; Шеффер, AC (1941). «Проблема Хинчина в метрическом диофантовом приближении». Математический журнал герцога . 8 (2): 243–255. DOI : 10,1215 / s0012-7094-41-00818-9 . ISSN 0012-7094 . Zbl 0025.11002 .
Дайсон, Фримен Дж. (1947). «Приближение алгебраических чисел рациональными числами» . Acta Mathematica . 79 : 225–240. DOI : 10.1007 / BF02404697 . ISSN 0001-5962 . Руководство по ремонту 0023854 . Zbl 0030.02101 .
Харди, GH ; Райт, EM (1979). Введение в теорию чисел (5-е изд.). Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-853170-8. Руководство по ремонту 0568909 .
Гурвиц, А. (1891). "Ueber die angenäherte Darstellung der Irrationalzahlen durch rationale Brüche" [О приближенном представлении иррациональных чисел рациональными дробями]. Mathematische Annalen (на немецком языке). 39 (2): 279–284. DOI : 10.1007 / BF01206656 . Руководство по ремонту 1510702 .
Хинчин, А.Я. (1997) [1964]. Непрерывные дроби . Дувр. ISBN 0-486-69630-8.
Kleinbock, DY; Маргулис, Г.А. (1998). «Потоки на однородных пространствах и диофантовы приближения на многообразиях». Анна. Математика . 148 (1): 339–360. arXiv : math / 9810036 . DOI : 10,2307 / 120997 . JSTOR 120997 . Руководство по ремонту 1652916 . Zbl 0922.11061 .
Ланг, Серж (1995). Введение в диофантовы приближения (Новое расширенное издание). Springer-Verlag . ISBN 0-387-94456-7. Zbl 0826.11030 .
Маргулис, Г.А. (2002). «Диофантовы приближения, решетки и потоки на однородных пространствах». В Wüstholz, Gisbert (ред.). Панорама по теории чисел или вид из сада Бейкера . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . С. 280–310. ISBN 0-521-80799-9. MR 1975458 .
Перрон, Оскар (1913). Die Lehre von den Kettenbrüchen [ Теория непрерывных дробей ] (на немецком языке). Лейпциг: BG Teubner.
Перрон, Оскар (1929). Die Lehre von den Kettenbrüchen [ Теория непрерывных дробей ] (на немецком языке) (2-е изд.). Челси.
Рот, Клаус Фридрих (1955). «Рациональные приближения к алгебраическим числам». Математика . 2 : 1–20, 168. DOI : 10.1112 / S0025579300000644 . ISSN 0025-5793 . Руководство по ремонту 0072182 . Zbl 0064.28501 .
Шмидт, Вольфганг М. (1980). Диофантово приближение . Конспект лекций по математике. 785 (изд. 1996 г.). Берлин-Гейдельберг-Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 3-540-09762-7. Zbl 0421.10019 .
Шмидт, Вольфганг М. (1996). Диофантовы приближения и диофантовы уравнения . Конспект лекций по математике. 1467 (2-е изд.). Springer-Verlag . ISBN 3-540-54058-Х. Zbl 0754.11020 .
Сигель, Карл Людвиг (1921). "Аппроксимация алгебры Зален" . Mathematische Zeitschrift . 10 (3): 173–213. DOI : 10.1007 / BF01211608 . ISSN 0025-5874 .
Спринджук, Владимир Г. (1979). Метрическая теория диофантовых приближений . Серия Scripta по математике. Пер. с русского и под ред. Ричард А. Сильверман. С предисловием Дональда Дж. Ньюмана. Джон Вили и сыновья. ISBN 0-470-26706-2. Руководство по ремонту 0548467 . Zbl 0482.10047 .
Туэ, А. (1909). "Über Annäherungswerte algebraischer Zahlen" . Журнал für die reine und angewandte Mathematik . 1909 (135): 284–305. DOI : 10,1515 / crll.1909.135.284 . ISSN 0075-4102 .

внешние ссылки

Диофантово приближение: исторический очерк . Из курса Мишеля Вальдшмидта « Введение в диофантовы методы » .
"Диофантовы приближения" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]

Languages

In other projects