Коллинеация - Collineation

В проективной геометрии , A коллинеация является одним-к-одному , и на карте (а биекция ) от одного проективного пространства в другой, или из проективного пространства к себе, таким образом, что изображения из коллинеарных точек сами коллинеарна. Таким образом, коллинеация - это изоморфизм между проективными пространствами или автоморфизм проективного пространства в себя. Некоторые авторы ограничивают определение коллинеации случаем, когда это автоморфизм. Множество всех коллинеаций пространства к себе образует группу , называемую группой коллинеаций .

Определение

Просто коллинеация - это взаимно однозначное отображение одного проективного пространства в другое или из проективного пространства в себя, так что изображения коллинеарных точек сами коллинеарны. Это можно формализовать, используя различные способы представления проективного пространства. Кроме того, случай проективной прямой является особым и поэтому обычно трактуется по-разному.

Линейная алгебра

Для проективного пространства, определенного в терминах линейной алгебры (как проективизация векторного пространства ), коллинеация - это отображение между проективными пространствами, которое сохраняет порядок относительно включения подпространств.

Формально, пусть V векторное пространство над полем K и W векторного пространства над полем L . Рассмотрим проективные пространства PG ( V ) и PG ( W ), состоящий из векторных линий из V и W . Назовем D ( V ) и D ( W ) множеством подпространств V и W соответственно. Коллинеацией PG ( V ) в PG ( W ) называется отображение α: D ( V ) → D ( W ), такое что:

• α - биекция.
• A ⊆ B ⇔ α ( A ) ⊆ α ( B ) для всех A , B в D ( V ).

Аксиоматически

Учитывая проективное пространство, определенное аксиоматически в терминах структуры инцидентности (набор точек P, прямые L и отношение инцидентности I, определяющее, какие точки лежат на каких линиях, удовлетворяющее определенным аксиомам), коллинеация между таким образом определенными проективными пространствами является биективная функция f между множествами точек и биективная функция g между множеством прямых, сохраняющая отношение инцидентности.

Каждое проективное пространство размерности больше или равной трем изоморфно проективизации линейного пространства над телом , поэтому в этих измерениях это определение не более общее, чем линейно-алгебраическое определение, приведенное выше, но в размерности два есть другие проективные плоскости, а именно недезарговы плоскости , и это определение позволяет определять коллинеации в таких проективных плоскостях.

Для размерности один набор точек, лежащих на одной проективной прямой, определяет проективное пространство, и результирующее понятие коллинеации - это просто любая биекция этого множества.

Коллинеации проективной линии

Для проективного пространства размерности один (проективная линия; проективизация векторного пространства размерности два) все точки коллинеарны, поэтому группа коллинеаций - это в точности симметрическая группа точек проективной прямой. Это отличается от поведения в более высоких измерениях, и, таким образом, дается более ограничительное определение, определенное так, чтобы выполнялась основная теорема проективной геометрии .

В этом определении, когда V имеет размерность два, коллинеация PG ( V ) в PG ( W ) - это отображение α  : D ( V ) → D ( W ) , такое, что:

• Нулевое подпространство в V переходит в нулевое подпространство в W .
• V отображается на W .
• Существует неособый полулинейная отображение β от V до W такой , что для всех V в V ,
  $${\ Displaystyle \ альфа (\ langle v \ rangle) = \ langle \ beta (v) \ rangle}$$

  

Это последнее требование гарантирует, что все коллинеации являются полулинейными отображениями.

Типы

Основными примерами коллинеаций являются проективные линейные преобразования (также известные как гомографии ) и автоморфные коллинеации . Для проективных пространств, происходящих из линейного пространства, основная теорема проективной геометрии утверждает, что все коллинеации являются их комбинацией, как описано ниже.

Проективные линейные преобразования

Проективные линейные преобразования (омографии) являются коллинеациями (плоскости в векторном пространстве соответствуют линиям в ассоциированном проективном пространстве, а линейные преобразования отображают плоскости в плоскости, поэтому проективные линейные преобразования преобразуют линии в прямые), но в целом не все коллинеации являются проективными линейными трансформации. PGL - это вообще собственная подгруппа группы коллинеаций.

Автоморфные коллинеации

An Автоморфная коллинеация - это карта, которая в координатах являетсяполевым автоморфизмом,примененным к координатам.

Основная теорема проективной геометрии

Если геометрическая размерность паппового проективного пространства не меньше 2, то каждая коллинеация является продуктом гомографии (проективного линейного преобразования) и автоморфной коллинеации. Точнее, группа коллинеаций - это проективная полулинейная группа , которая является полупрямым произведением гомографий на автоморфные коллинеации.

В частности, коллинеации PG (2, R ) являются в точности гомографиями, поскольку R не имеет нетривиальных автоморфизмов (т.е. Gal ( R / Q ) тривиален).

Предположим, что φ - неособое полулинейное отображение из V в W с размерностью V не менее трех. Определим α  : D ( V ) → D ( W ) , сказав, что Z ^α = { φ ( z ): z ∈ Z } для всех Z в D ( V ). Поскольку отображение φ полулинейно, легко проверить, что это отображение правильно определено, и, кроме того, поскольку φ не является сингулярным, оно биективно. Теперь очевидно, что α - коллинеация. Мы говорим, что α индуцировано φ .

Основная теорема проективной геометрии утверждает обратное:

Предположим, что V - векторное пространство над полем K с размерностью не менее трех, W - векторное пространство над полем L , а α - коллинеация от PG ( V ) к PG ( W ). Отсюда следует, что K и L - изоморфные поля, V и W имеют одинаковую размерность, и существует полулинейное отображение φ такое, что φ индуцирует α .

При n ≥ 3 группа коллинеаций является проективной полулинейной группой , PΓL - это PGL, скрученная полевыми автоморфизмами ; формально, полупрямое произведение PΓL ≅ PGL ⋊ Gal ( К / К ) , где K является простым полем для K .

Линейная структура

Таким образом, для K - простого поля ( или ), мы имеем PGL = PΓL , но для K, не простого поля (например, или для n ≥ 2 ), проективная линейная группа, вообще говоря, является собственной подгруппой группы коллинеаций, которая может можно рассматривать как «преобразования, сохраняющие проективную полулинейную структуру». Соответственно, фактор-группа PΓL / PGL ≅ Gal ( K / k ) соответствует «выбору линейной структуры», где тождество (базовая точка) является существующей линейной структурой. Для проективного пространства без идентификации как проективизации линейного пространства не существует естественного изоморфизма между группой коллинеаций и PΓL, и выбор линейной структуры (реализация как проективизация линейного пространства) соответствует выбору подгруппы PGL <PΓL , эти выборы образуют торсор над Gal ( K / k ). ${\ displaystyle \ mathbb {F} _ {p}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$${\ displaystyle \ mathbb {F} _ {p ^ {n}}}$

История

Идея линии была абстрагирована до тернарного отношения, определяемого коллинеарностью (точки, лежащие на одной линии). Согласно Вильгельму Блашке, именно Август Мебиус первым абстрагировался от этой сущности геометрического преобразования:

Что теперь означают наши геометрические преобразования? Мебиус отбросил и поставил этот вопрос уже в своем барицентрическом исчислении (1827). Там он говорил не о преобразованиях, а о перестановках [Verwandtschaften], когда он сказал, что два элемента, взятые из области, переставляются, когда они меняются местами посредством произвольного уравнения. В нашем частном случае линейные уравнения между координатами однородных точек Мёбиус назвал перестановкой [Verwandtschaft] обоих пространств точек, в частности, коллинеацией . Позже Часл изменил это значение на омографию . Выражение Мёбиуса сразу становится понятным, когда мы вслед за Мёбиусом называем точки коллинеарными, когда они лежат на одной линии. Обозначение Мебиуса можно выразить словами: коллинеарные точки отображаются перестановкой в ​​коллинеарные точки, или, говоря простым языком, прямые линии остаются прямыми.

Современные математики рассматривают геометрию как структуру инцидентности с группой автоморфизмов, состоящей из отображений основного пространства, сохраняющих инцидентность . Такое отображение переставляет линии структуры инцидентности, и понятие коллинеации сохраняется.

Как уже упоминалась Бляшкой и Клейном, Мишель Шаль предпочел термин омографию к коллинеации . Различие между терминами возникло, когда выяснилось различие между реальной проективной плоскостью и сложной проективной линией . Поскольку нет нетривиальных полевых автоморфизмов поля действительных чисел , все коллинеации являются гомографиями в вещественной проективной плоскости, однако из-за полевого автоморфизма комплексного сопряжения не все коллинеации комплексной проективной прямой являются гомографиями. В таких приложениях, как компьютерное зрение, где основным полем является поле действительных чисел, гомография и коллинеация могут использоваться как взаимозаменяемые.

Анти-гомография

Операция комплексного сопряжения в комплексной плоскости представляет собой отражение в действительной прямой . С обозначением г ^* для конъюгата г , анти-гомография даются

${\ displaystyle f (z) = {\ frac {az ^ {*} + b} {cz ^ {*} + d}}.}$

Таким образом, антигомография - это композиция конъюгации с гомографией , и поэтому это пример коллинеации, которая не является гомографией. Например, геометрически отображение представляет собой инверсию окружности . Преобразования инверсивной геометрии плоскости часто описываются как совокупность всех гомографий и анти-гомографий комплексной плоскости. ${\ Displaystyle е (г) = 1 / г ^ {*}}$

Примечания

использованная литература

• Бойтельшпахер, Альбрехт ; Розенбаум, Юте (1998), Проективная геометрия / От основ до приложений , Cambridge University Press, ISBN 0-521-48364-6
• Блэр, Дэвид Э. (2000), Теория инверсии и конформное отображение , Студенческая математическая библиотека, 9 , Американское математическое общество, ISBN 9780821826362
• Блашке, Вильгельм (1948), проективная геометрия , Wolfenbütteler Verlagsanstalt
• Касс, Рей (2006), Проективная геометрия / Введение , Oxford University Press, ISBN 9780199298860
• Морли, Фрэнк ; Морли, Ф.В. (1933), Инверсивная геометрия , Лондон: Г. Белл и сыновья
• Швердтфегер, Ханс (2012), Геометрия комплексных чисел , Courier Dover Publications, ISBN 9780486135861
• Йель, Пол Б. (2004) [впервые опубликовано в 1968 году], Геометрия и симметрия , Довер, ISBN 0-486-43835-X

внешние ссылки

• проективность в PlanetMath .